精品解析：浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

高三数学学科 命题人：杨海江 审题人：刘武林 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先计算一元二次不等式得出集合B，再应用并集定义计算求解. 【详解】集合， 则元素的个数是3个. 故选：A. 2. 已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或7 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以. 因为共线，所以，解得或. 又反向共线，代入验证可知时为同向，舍去. 而满足条件，所以. 故选：. 3. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算法则可求得，即可知数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果. 【详解】由可得， 即，所以，两式相除可得； 即， 由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列， 所以 . 故选：B 4. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【详解】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断充分性，可用特值法进行验证；再判断必要性，结合不等式的性质可判断. 【详解】若已知，令，则， 所以“”是“”不充分条件； 若已知，因为，则，即， 所以“”是“”必要条件； 综上所述，“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件分别表示出点A、P、Q的坐标，代入可得b与a的关系式，再由及离心率公式可求得结果. 【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为. 又由双曲线，易得双曲线C的渐近线方程为. 当时，如图，设，则. 联立，解得或，所以，. 又因为，所以轴. 所以，.所以，所以. 因为，所以. 同理，当时，亦可得. 故双曲线C的离心率为. 故选：D. 7. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，进而根据题意得在上单调递增，且，进而得，再解不等式即可得答案. 【详解】， 因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即. 因为， 所以，函数在上单调增， 等价于或， 所以，解不等式得或，所以，的取值范围是. 故选：C 8. 已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义得，令，可判断A，对累乘结合组合数的阶乘形式化简即可判断B，根据二项式系数和公式判断C，结合等比数列前n项和公式根据分组求和求解判断D. 【详解】因为，所以， 令，则，所以，故选项A错误； 因为， 所以累乘得， 因为，所以，故选项B错误； 因为，所以， 所以，故选项C正确； 故选项D错误. 故选：C. 【点睛】思路点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 二、多选题（每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，共18分） 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线， ，所以在正态分布曲线上，的峰值较高， 正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ） A. 存在点P使得 B. 直线与点P的轨迹有公共点 C. 点P运动轨迹长为 D. 三棱锥P-BCD体积最大值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理结合轨迹方程即可判断AB，然后根据三棱锥体积公式以及点的运动轨迹，即可判断CD； 【详解】 由题意：，且，如图建系，设，， 所以，所以，， 所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧， 且，点到该直线的距离为， 所以与圆无公共点，B错误； 若，设，所以，所以， 所以，即，联立，解得， 所以点满足条件，所以A正确； 若最大，则到距离最大，即为与圆的交点处，但不在正方形边界上，所以最大值取不到，故D错误； 令，得到点，又因为，所以，所以为等边三角形，所以， 因为为点的运动轨迹，所以，故C正确. 故选：AC 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A．根据函数是偶函数，进行判断即可． B．判断当时，函数的单调性即可． C．求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解． D．利用两点间的距离公式进行判断求解． 【详解】当，时，函数. A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，故A错误； B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，故B正确； C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为， 所以“囧点”为， 设，则，设切点为，， 切线的斜率， 当“囧点”与切点连线垂直切线时，距离最短， ， 解得， 切点坐标为， 故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，故C正确， D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值； 当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中， 则点到圆心的距离的平方为， 令，，则， 再令，（其中， 则， 所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为． 又， 综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为． 故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为，故D正确， 故选：BCD． 【点睛】 本题主要考查抽象函数及其应用，其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式，利用函数的奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数z满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的概念即可解答. 【详解】因为，所以， 故答案为： 13. 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为_______. 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出，再利用赋值法求出，根据二项式通项公式的展开式求出常数项，即可； 【详解】由于的展开式的二项式系数和为64， 即， 解得． 又由于的展开式系数和为729，令得，即， 解得或（舍去）， 的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 又，， 故答案为：240 14. 我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种. 【答案】204 【解析】 【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解. 【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为． 当时，共有1种情况，即； 当时，共有3种情况，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}； 当时，共有5种情况，即，，，，； 当时，共有7种情况，即，，，，，，； 当时，共有2种情况，即， ； 当时，共有7种情况，即，，，，，，； 当时，共有5种情况，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}； 当时，共有3种情况，即，； 当x＝19时，共有1种情况，即{(3，7，9)，(5，6，8)}； 综上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋3＋1＝34(种)情况， ∴不同的放法共有：种． 故答案为：204． 四、解答题（本题共7小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，． （1）求； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理得出，再由正弦定理得出，进而由角平分线的性质得出； （2）先由平方关系以及差角公式求出，再由正弦定理求出，进而由三角形面积公式得出四边形的面积． 【详解】解：（1）中，， 由余弦定理可得，所以， 再由正弦定理，可得 又因为为的角平分线，所以； （2）中，，， 所以 从而 由正弦定理可得 而 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用正余弦定理解三角形，由三角形面积公式得出四边形的面积. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且． （1）求证：平面； （2）设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证； （2）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面， 所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得，，，，，， 所以，，， 因为，，所以，， 又，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 设，即，， 所以，即， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即. 17. 已知实数，设． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，写出切线方程即可； （2）求函数单调区间、极值、零点，，集合，由题意知，由时不成立知， 讨论与1的大小关系求出满足的的取值范围. 【小问1详解】 因为， ，， 所以，则. 故点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由已知有，令，解得或，列表如下： 所以单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合 则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故，，所以A不是B子集.    当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上的值域为，所以，所以满足题意.    综上，的取值范围为 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点. （1）求的离心率； （2）若△的重心为，点，求的最小值； （3）若△的垂心为，求动点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） （3）（去除点）. 【解析】 【分析】（1）将点代入双曲线的方程求出值，即可求得的离心率； （2）根据三角形的重心公式求得动点的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的最小值； （3）根据求动点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为双曲线经过点，所以，解得， 所以的离心率， 【小问2详解】 易知.设. 因为△的重心为 ，所以,解得, 因为，所以，即. 因为不共线，所以 且， 所以的轨迹不含两点. 故，当且仅当时，等号成立， 即最小值为. 【小问3详解】 因为为△的垂心，所以， 设， 当直线或的斜率为0时，点的坐标为或， 此时点与点重合，不合题意，舍. 当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在， 则， 由（2）知，则， 则. 因为，所以， ，则，得， 则，因为构成三角形，故不能在轨迹上， 综上，动点的轨迹方程为（去除点）. 19. 对于无穷数列，，，，，我们称为数列生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数. （1）写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简； （2）证明：； （3）本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求． 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）提出得，解出即可； （2）令，再结合组合和极限计算即可； （3）直接根据题意得到取值集合，再结合方程求出的生成函数为，再结合二项式定理和组合数的计算即可得到答案. 【小问1详解】 ，解得. 【小问2详解】 令， ， 可得，所以. 【小问3详解】 记 表示第一大项中每一个小项获得的分数， 表示第二大项中每一个小项获得的分数， 表示第十大项中每一个小项获得的分数， 表示第十一大项中每一个小项获得的分数. 则. 为方程满足上述范围条件的解的个数. 设的生成函数为，则. 因为，故与的展开式中前的系数相同. 由（1）知， 由（2）知取时有. 故，其中前系数为 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学学科 命题人：杨海江 审题人：刘武林 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或7 3. 已知各项均为正数数列的前n项和为，，，，则（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9 4. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（ ） A B. C. D. 二、多选题（每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，共18分） 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ） A. 存在点P使得 B. 直线与点P的轨迹有公共点 C. 点P运动轨迹长为 D. 三棱锥P-BCD体积最大值为8 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数z满足，则_______． 13. 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为_______. 14. 我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种. 四、解答题（本题共7小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，． （1）求； （2）若，求四边形的面积． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且． （1）求证：平面； （2）设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 17. 已知实数，设． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点. （1）求的离心率； （2）若△的重心为，点，求的最小值； （3）若△的垂心为，求动点的轨迹方程. 19. 对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数. （1）写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简； （2）证明：； （3）本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$