精品解析：福建省莆田市莆田第四中学2024-2025学年高一下学期第一次月考考试数学试卷

莆田四中2024-2025学年下学期高一数学第一次月考考试试卷 命题者：许建仙 审核者：吴素萍（考试时间120分钟） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 2. 已知向量，是单位向量，且，则为（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知的三个顶点及平面内一点，满足，则点与的关系为（ ） A. 点在内部 B. 是边的一个五等分点 C. 是边的一个三等分点 D. 是边的中点 7. 如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（，是虚数单位），，定义：，则下列结论正确的是（ ） A. 对任意，都有 B. 若是z的共轭复数，则恒成立 C. 若，则 D. 对任意，则恒成立 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 等式恒成立 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 11. 设的内角所对的边分别为，且.若点是外一点，，下列说法中，正确的命题是（ ） A. 的内角 B. 一定是等边三角形 C. 四边形面积的最大值为 D. 四边形面积无最大值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，其中为虚数单位，，则_________． 13. 在中，内角所对的边长分别为，，求面积的最大值______． 14. 三角形中，分别是角的对边，已知，，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点M，若点是三角形的重心，求的最小值______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知是关于的方程的一个根. （1）求的值； （2）若是纯虚数，求实数的值和. 16. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 17. 在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． （1）设，用含有的式子表示； （2）设，求的最小值； （3）求的最小值． 18. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若，求； （2）若，求． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田四中2024-2025学年下学期高一数学第一次月考考试试卷 命题者：许建仙 审核者：吴素萍（考试时间120分钟） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的计算公式求得复数，然后求得 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A. 2. 已知向量，是单位向量，且，则为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案. 【详解】因为向量，是单位向量，所以 由则， 所以， 故选：B. 3. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 4. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解. 【详解】由题在上的投影向量为. 故选：C. 5. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】拆角后由诱导公式和余弦二倍角公式计算即可； 【详解】. 故选：A. 6. 已知的三个顶点及平面内一点，满足，则点与的关系为（ ） A. 点在内部 B. 是边的一个五等分点 C. 是边的一个三等分点 D. 是边的中点 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的运算法因为则将等式变形，得到，即得出结论． 【详解】因为，所以， 即，即，所以是边的中点. 故选：D. 7. 如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案. 【详解】连接，如下图所示：   因为  ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点， 所以 ， 所以   . 当且仅当 M 、O 、C 共线且  、 同向时，等号成立， 因此， 的最大值为 故选：C. 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期及函数在区间上无零点，列出不等式组，即可解出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 可得的图象，因为，周期， 函数在上没有零点，则， 所以，因为，所以， 又在上没有零点，所以， 解得，， 又因为，所以当，，，， 所以或. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（，是虚数单位），，定义：，则下列结论正确的是（ ） A. 对任意，都有 B. 若是z的共轭复数，则恒成立 C. 若，则 D. 对任意，则恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】利用共轭复数及复数的减法法则，结合新定义逐一计算即可求解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，则，则，故B正确； 对于C，若，则错误，如，满足 ,但，故C错误； 对于D，设，则 ，，，由，，得恒成立，故D正确． 故选：BD． 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 等式恒成立 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 【答案】AB 【解析】 【分析】由余弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化可以判断出B，利用正、余弦定理分析判断C，对于选项D，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解. 【详解】对于选项A. ,故选项A正确. 对于选项B. 在中，若，则，由正弦定理则，故选项B正确. 对于选项C. 若， 由正弦定理可得则， 则角为锐角,但不能确定角A，B是锐角.故选项C不正确. 对于选项D. 由于 ，此时三角形无解，故选项D不正确. 故选：AB 11. 设的内角所对的边分别为，且.若点是外一点，，下列说法中，正确的命题是（ ） A. 的内角 B. 一定是等边三角形 C. 四边形面积的最大值为 D. 四边形面积无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦定理边角关系及已知角的大小可得，即可判断A、B；由余弦定理可得，结合，得到面积关于角D的三角函数式，利用正弦函数的性质及D的范围求最值，判断C、D. 【详解】由题设，又， 所以，，故， 则或，又，故，A正确； 所以是等边三角形，B正确； 由，则，且， 而， 所以当时有最大面积为，故C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，其中为虚数单位，，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及复数相等的条件解方程可得. 【详解】由可得， 即，可得， 解得. 故答案为：1 13. 在中，内角所对的边长分别为，，求面积的最大值______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角函数的性质求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】已知，则，那么. 由，可得：， 令，则，因式分解为. 解得或，因为，所以. 又因为，所以. 由余弦定理得 即，所以，当且仅当时取等号. 所以. 综上，面积的最大值为. 故答案为： 14. 三角形中，分别是角的对边，已知，，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点M，若点是三角形的重心，求的最小值______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正弦定理和三角形面积公式求出角和的值，再利用向量关系建立等式，最后通过向量运算和基本不等式求的最小值. 【详解】依题意，， 由正弦定理得， 整理得， 由正弦定理，， 因为，所以. 由，解得. 设，. 因为点是的中点，点在线段上且， 所以，. ， . 则可得，解方程组得，，所以. 因为点是的重心，则. 所以 . ， 因， 当且仅当即时，等号成立. 所以，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知是关于的方程的一个根. （1）求的值； （2）若是纯虚数，求实数的值和. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数相等的条件求解. （2）利用纯虚数的定义以及复数模的定义求解. 【小问1详解】 由是方程的一个根，得， 整理得，因此， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由是纯虚数，得，解得，则， 所以. 16. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】（1）,对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 . 令，则，， 函数的对称中心为，. 【小问2详解】 由可知，， 化简得， ，，， . 【小问3详解】 由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 17. 在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． （1）设，用含有的式子表示； （2）设，求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； 【小问3详解】 因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 18. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由锐角三角函数求出、，再由余弦定理计算可得； （2）设，AC与BD相交于点，则，又，可得，结合正弦定理与商数关系计算可得. 【小问1详解】 在中，，所以， 在中，，所以，又， 所以， 在中由余弦定理， 即， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 设，AC与BD相交于点，则， 又， 所以， 在中，由正弦定理知，， 所以，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以， 即， 两边同时除以，得， 解得， 因为，所以， 即. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）过作于，结合题意即可求解； （2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，根据基本不等式求解范围即可． 【小问1详解】 因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，满足，且，如图： 过作于，则，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． 【小问2详解】 （i）因为，由正弦定理，且， 所以得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，， 由得：， 整理得， 则 ． （ii）由（i）知，所以点在内部，且， 设， 所以， 由余弦定理得，， ， ， 由勾股定理得，，即， 所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由， 故，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $