精品解析：天津市第八中学2024-2025学年高二下学期第一次大单元（3月月考）数学试题

天津八中2024-2025学年第二学期高二年级 第一次大单元（数学学科） 启用前保密等级 满分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式以及求导法则即可求解. 【详解】由可得， 故选：B 2. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按导数公式及法则逐个求导对比即可. 【详解】由求导公式及法则可知： 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，，所以选项D正确. 故选：D 3. 已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ） A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (0，1)(2，3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论． 【详解】由图象知在上是减函数，所以解集是． 故选：B． 4. 函数在处的切线方程为，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义确定导数值和函数值． 【详解】由题意，又切线方程是时，，所以， ． 故选：B． 5. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的导数的运算法则求导函数. 【详解】因为， 所以. 故选：D 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上恒成立求解． 【详解】∵，∴． 又函数 在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立． ∵当时，，∴． 所以实数的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当时，则函数在区间上单调递减；而当函数在区间上单调递减时，则有在区间上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题． 7. 已知函数的图像开口向下，，则 A. B. C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】利用瞬时变化率的定义和导数求解. 【详解】由题意， 由导数的定义可知， 解得， 又因为的图像开口向下，所以， 所以. 故选B 【点睛】本题主要考查瞬时变化率和导数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8. 如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象分析函数的单调性，得到函数的性质，逐项判断各选项的正确性. 【详解】由导函数的图象可知： 当和时，；当和时，. 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为：，. 极大值点为：，极小值点为和. 故ABD选项的内容正确，C选项内容错误. 故选：C 9. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，由此构造函数，判断其单调性，将化为，即，即可求得答案. 【详解】由题意对任意的，都有，即， 令，则， 即为R上的增函数， 而，故， 又即，即， 所以，即不等式的解集为， 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 10. 曲线在点处的切线的斜率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解： 则 所以 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 11. 曲线在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入导函数中可求出切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程. 【详解】由，得， 所以所求切线的斜率为， 所以所求的切线方程为，即. 故答案为： 12. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m的取值范围. 【详解】f′(x)＝3x2＋2mx＋1.由题意得Δ＝4m2－12≤0，解得，即实数m的取值范围是. 故答案为： 13. 函数极小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值. 【详解】由题意可得．由，得或；由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，则． 故答案为： 14. 已知函数，则的单调递增区间为_________. 【答案】， 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调区间. 【详解】因为，， 所以，， 由或. 所以函数的单调递增区间为：，. 故答案为：，. 15. 若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.根据导数的几何意义即可求解． 【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小． 设切点为， ∴切线斜率为， 由题知，解得或(舍)． ∴，此时点到直线距离． 故答案为：． 三、解答题：共4小题，共75分（18+18+18+21=75分） 16. 已知函数，，．若处与直线相切． （1）求，的值； （2）求在，上的最大值． 【答案】（1）；（2） . 【解析】 【分析】（1）对进行求导，先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于，的方程求得，的值． （2）判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值． 【详解】（1）函数，， 函数在处与直线相切， ，解得； （2），， 当时，令得：， 令，得， 在，，上单调递增， 在，上单调递减， 所以函数的极大值就是最大值， （1）． 【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题． 17. 若函数，当时，函数有极值． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导后，由已知列方程组，求出，再由导数的意义得到切线的斜率和点代入曲线方程，得到，最后由点斜式得到直线方程； （2）先求出的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由题意得， 解得， 所以，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由（1）得， 令，解得或， 所以 0 0 递增 递减 递增 所以，当时，有极大值；当时，有极小值， 所以得图像大致如下： 若有3个不同的根，则直线与函数的图像有3个交点， 所以. 18. 已知，函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1）2；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意知切线的斜率为，求导代入可得，求解即可； （2）根据题意可得在上恒成立，参变分离可得，求函数的最值即可得解. 【详解】（1）因为， 所以曲线在点处的切线斜率． 而直线的斜率为，则，得． （2）由在上单调递减， 得在上恒成立， 即在上恒成立． 又时，，所以， 所以的取值范围是． 19. 已知函数，（且） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：； （3），若在上恒成立，求实数取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，从而判断导数正负，即可判断函数单调性； （2）要证明，即证，由此构造函数，利用导数求解函数最值即可证明； （3）将在上恒成立，参变分离整理即为在上恒成立，由此构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为， ， 当时，，则在上单调递增； 当时，令，则， 当时，，则，在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 证明：当时，， 要证明，即证明：，即证； 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时的极大值点，也是最大值点， 则，即， 故. 【小问3详解】 由题意得， 在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，上单调递减， 故， 故 【点睛】方法点睛：（1）利用导数证明不等式时，转化为函数的最值问题解决，即整理变形，构造函数，从而利用导数求解；（2）不等式恒成立问题要参变分离，构造函数，转化为函数最值问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津八中2024-2025学年第二学期高二年级 第一次大单元（数学学科） 启用前保密等级 满分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ） A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (0，1)(2，3) 4. 函数在处的切线方程为，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 5. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图像开口向下，，则 A B. C. 2 D. -2 8. 如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 9. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 10. 曲线在点处切线的斜率为，则________． 11. 曲线在点处的切线方程为________. 12. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____. 13. 函数的极小值是______． 14. 已知函数，则的单调递增区间为_________. 15. 若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为________. 三、解答题：共4小题，共75分（18+18+18+21=75分） 16. 已知函数，，．若在处与直线相切． （1）求，的值； （2）求在，上最大值． 17. 若函数，当时，函数有极值． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围． 18. 已知，函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围． 19. 已知函数，（且） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：； （3），若上恒成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$