精品解析：湖南省邵阳市2025届高三第二次联考数学试题

2025年邵阳市高三第二次联考试题卷 数 学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B. 若随机变量，满足，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. 双曲线的离心率为 C. 当时，的面积为 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 11. 设函数的导函数为，即．当，函数在区间上的图象连续不断时，直线，，和曲线所围成的区域的面积为，且，则（ ） A. B. 当时， C. 存在实数，使得、、成等比数列 D. 直线，，和曲线所围成的区域的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为______． 13. 在中，角所对的边分别是．若，，则______． 14. 已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，，求实数的取值范围． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． （1）证明：平面； （2）是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知等差数列的前项和为，，．数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线的斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）当时，证明：； （3）当恰有四个零点，，，时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年邵阳市高三第二次联考试题卷 数 学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式解出集合，再求并集即可. 【详解】，， 所以. 故选：D 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再写出其共轭复数. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标是，则，故. 故选：B 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词，改量词否定结论即可. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论. 所以命题“，”的否定为“，”. 故选：D. 4. 定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出图象关于直线对称，再利用对数的运算性质和函数的单调性比较即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以即图象关于直线对称， 所以，， 又在上单调递增，所以. 故选：A 5. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性结合导数可得. 【详解】，定义域为， ，为奇函数， 又，所以在上单调递增， 所以即， 即的取值范围是. 故选：C 6. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点、，分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，分析可知，代入韦达定理求出的值，并求出的值，利用弦长公式可求得的值. 【详解】抛物线的焦点为，设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 因为，则， 所以，，可得， 所以，，可得， ，解得， 所以，，，则， 抛物线的准线方程为，所以，点的横坐标为， 所以，. 故选：C. 7. 有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，利用贝叶斯公式可求得的值. 【详解】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的， 事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品， 则，，， ，，， 由贝叶斯公式可得. 因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为. 故选：C. 8. 已知向量满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，向量加法的三角形法则得到，从而将转化为，将转化为椭圆上的点到的中点的距离问题求解即可. 【详解】取，为线段的中点，记，则． ． 又， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 长半轴的长为4，短半轴的长为， ． 故选：A. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B. 若随机变量，满足，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 【答案】ACD 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义计算可判定A;根据方差的线性性质计算可判定B；根据回归方程必经过样本均值点，计算可判定C；根据超几何分布的概念判定D. 【详解】数据组为5，7，9，11，3，13，15，排序后为3，5，7，9，11，13，15. 计算第60百分位数： 根据人教版教材方法，位置计算为 ，向上取整到第5个位置，对应数值11,因此选项A正确; 选项分析： 随机变量，已知，根据方差性质： 方差线性变换公式为 ，选项中错误; 选项分析： 线性回归方程  必经过样本均值点,当  时，代入方程得 ，选项正确; 选项分析： 从12名候选人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布H(12, 7, 5)，选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. 双曲线的离心率为 C. 当时，的面积为 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】BC 【解析】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，联立可得， 所以，直线与恰有只有一个公共点，A错； 对于B选项，对于双曲线，则，，， 所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则，C对； 对于D选项，设点、，线段的中点为， 则，，则， 由题意可得，所以，，则，D错. 故选：BC. 11. 设函数的导函数为，即．当，函数在区间上的图象连续不断时，直线，，和曲线所围成的区域的面积为，且，则（ ） A. B. 当时， C. 存在实数，使得、、成等比数列 D. 直线，，和曲线所围成的区域的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题中定义可判断AD选项；计算出，构造函数，，结合导数可判断B选项；假设结论成立，假设结论成立，可得出，结合基本不等式可判断C选项. 【详解】对于选项A，，为常数，A错； 对于选项B，，为常数， 即要证，． 设，，． 则在上单调递减，所以．B正确； 对于选项C，，，， 要使、、成等比数列， 则．． ． ① 时，， 又． ，． ①不成立，C错误． 对于选项D，，为常数． D正确． 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】首先根据各二项式系数的和为，再令，可得其展开式中各项系数的和，结合题意求解即可. 【详解】根据题意，的展开式中，各二项式系数的和为， 再令，可得其展开式中各项系数的和为， 依据题意有，解得. 故答案为：7. 13. 在中，角所对的边分别是．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦展开式计算可得. 【详解】由， 由即正弦定理可得， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正六棱锥的外接球的半径为、内切球的半径为，由题意及正六棱锥的性质相继求出、正六棱锥的底面积、侧面面积，再利用等体积法求得，设正方体的最大棱长为，此时正六棱锥的内切球是正方体的外接球，由此可得结果. 【详解】设外接球的半径为，则，． 设正六棱锥的底面边长为，则，， 即正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2． 正六棱锥的底面积． 侧面面积． 正六棱锥的体积． 设正六棱锥的内切球的半径为， 则． ． 设正方体的棱长为，则，． 正方体的棱长的最大值为． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期，单调递减区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量数量积得到式子，再用公式将其变形为特定形式. 借助周期公式计算，利用整体代换求单调递减区间.  （2）先根据范围算出. 结合类似图像找到使函数值最小的情况，算出最小值. 再解不等式，得出的范围. 【小问1详解】 ． 函数的最小正周期． 由，， 得，． 的单调递减区间为，． 【小问2详解】 当时，， 结合的图像，当时，． 当时，， ，解得．实数的取值范围为． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． （1）证明：平面； （2）是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：，，，故． 又面面，面面，面， 面． 面，， 又，面，，面． （2）存在；或 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理证明，再由面面垂直的性质定理得到面，最后再由线面垂直的判定定理可得； （2）由几何关系建立如图所示空间直角坐标系，求出面的一个法向量，代入空间点到面的距离公式解一元二次方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 面，，四边形为菱形， 取的中点为，连接，，为等边三角形． ．又，． 又平面，． 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，． 设为面的一个法向量， 则 令，则． 设为点到面的距离， 则． ，即或． 故存在或，满足题意． 17. 已知等差数列的前项和为，，．数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） ，． 又，，为常数． 是首项为1，公比为2的等比数列． （3） 【解析】 【分析】（1）由等差中项求出，再由基本量法求出通项即可； （2）由递推关系构造数列，再由基本量法可证； （3）由裂项相消法可得. 【小问1详解】 是等差数列，，． 又，． 等差数列的公差， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 记， ． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线的斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 【答案】（1） （2）① 证明:设四边形的面积为， 由（1）得，椭圆的焦点， 因为直线的垂直平分线段，所以， 当直线与轴重合时，此时，， ． 由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知． 当直线与轴不重合时，设直线方程为． ，， ． ，则直线的方程为，联立椭圆方程， 得，解得 ． ． ． 综上所述，四边形的面积为定值，定值； ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆中相关量的几何性质列出关于求解即可； （2）（ⅰ）从直线与轴重合这一特殊入手，此时求得．当直线与轴不重合时，设直线方程为，通过几何对称性和椭圆的性质，计算求得，，通过面积公式计算即可证得结论; （ⅱ）由（ⅰ）知，而,继而通过换元法结合基本不等式可求得最小值. 【小问1详解】 根据题意，得，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①四边形的面积为定值，证明略. ②易知，，又， 直线的斜率存在且不为0， ． 由（ⅰ）知， 设，则， ． 当且仅当，即时，等号成立，此时． 故的最小值为． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）当时，证明：； （3）当恰有四个零点，，，时，证明：． 【答案】（1），无极小值 （2） ． 令， ，故在上为减函数． ，即． 由（1）可知在上为增函数，，， 即． （3） 由（2）同理可证，当时，． 令，得， 由题意得直线与两条曲线，共有四个交点． 如图所示，，且． 由，得． ，，且在上为增函数， ，即．．同理：． 故，即，得证． 【解析】 【分析】（1）利用导数分析单调性可得； （2）作差后构造函数，利用导数分析最值可得； （3）先由当时，，令，得到，再结合对数的单调性和运算性质以及与指数的关系可得. 【小问1详解】 由题知， 令，则． 当时，，此时在上为减函数， 当时，，此时在上为增函数， 故，无极小值． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $