精品解析：山东省济宁市开发区2024-2025学年下学期3月九年级学业水平测试数学试题

济宁经开区2025年3月九年级学业水平测试数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至7页．满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中不是中心对称图形的是（       ） A. B. C. D. 2. 2024年中国森林覆盖面积为231000000公顷，森林覆盖率达到．这一数据反映了中国在森林资源保护和生态建设方面取得显著成效．请将数字231000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A m≠2 B. m＝﹣2 C. m＝1 D. m＝﹣2或m＝1 4. 下图是由一个正六棱柱和一个圆锥组成的几何体，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 已知是方程的两个根，则______． 13. .如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______． 14. 某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多______． 15. 如图，已知的半径为4，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的横坐标为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 18. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分） 并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； （5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 19. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 20. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 21. 如图1，抛物线与x轴交于，两点． （1）求该抛物线解析式； （2）若点是抛物线的顶点，求的面积； （3）如图2，若是抛物线上位于直线下方的一个动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 22. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁经开区2025年3月九年级学业水平测试数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至7页．满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中不是中心对称图形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选A． 2. 2024年中国森林覆盖面积为231000000公顷，森林覆盖率达到．这一数据反映了中国在森林资源保护和生态建设方面取得的显著成效．请将数字231000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 3. 一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≠2 B. m＝﹣2 C. m＝1 D. m＝﹣2或m＝1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，且判别式△=0即可求解． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴m-2≠0，解得m≠2， ∵方程有两个相等的实数根， ∴判别式△=b²-4ac=4m²-4(m-2)×(-1)=4m²+4m-8=0， 解得：m1=-2，m2=1， 综上所述，m的取值范围为：：m1=-2或m2=1， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式的使用，当△=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等实数根；当△=b²-4ac<0时，方程没有实数根． 4. 下图是由一个正六棱柱和一个圆锥组成的几何体，它的主视图为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的定义， 理解 “从正面看几何体，所看到的视图是主视图．”，理解画图时是画轮廓线，看见的轮廓线线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：从正面看到的平面图形如图所示： ， 故选：B． 5. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有， 共六种可能， 只有是“平稳数” ∴恰好是“平稳数”的概率为 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数（）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内随的增大而减小，而点在第三象限双曲线上，则，进而判断，于是，，对的大小关系做出判断． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象在一、三象限， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵点，在第一象限双曲线上， ∴， ∵点在第三象限双曲线上， ∴， ∴， 故选A． 7. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵ ∴是的直径， 在中，，， 又（圆周角定理）， 故选 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 详解】解∶A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意； B、由抛物线可知， ，， ，则，由直线可知， ，，故本选项符合题意； C由抛物线可知，， ，，则，由直线可知，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，， ，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意． 故选∶B． 9. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本作图得到垂直平分，，根据线段垂直平分线的性质对选项进行判断；证明为的中位线，利用中位线的性质判定B选项；由， ，可计算出，则，可对C选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用，设，，得，解之得，再计算出可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得垂直平分，， ，，，所以A选项正确，不符合题意； ，， ∴是的中位线， ，，所以B选项正确，不符合题意； ， ， ∵， ， ， ， ，所以C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ，， ， ， ， 设，，得， 解之得（负舍）， ∴， ∴， ， ∴． 所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 10. 已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上可得，根据二次函数的对称轴可得，由此即可判断说法①错误；根据二次函数的对称性可得当时的函数值与当时的函数值相等，即，由此即可判断说法②正确；根据二次函数的增减性即可判断说法③正确；先确定二次函数的解析式为，再将看作为二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断说法④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，说法①错误； 由函数图象可知，当时，， 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，即， ∴，说法②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵、是抛物线上的两点，且， ∴，说法③正确； 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等， ∴二次函数的解析式为， 又∵为方程的两个根， ∴可看作为二次函数与直线的交点的横坐标， 结合函数图象可知，，说法④正确； 综上，说法正确的有②③④， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，且， ∴且， 故答案为：且． 12. 已知是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的加法，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，再对通分化简，代入即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 13. .如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】设圆锥底面圆的半径为 r， ∵AC=6，∠ACB=120°， ∴=2πr， ∴r=2，即：OA=2， 在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA的长是解本题的关键． 14. 某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键． 根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为， 款新能源电动汽车每千米的耗电量为， ∴图象的函数关系式为， 图象的函数关系式为， 当时，， ， ∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：12． 15. 如图，已知的半径为4，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的横坐标为________． 【答案】或或0 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、二次函数的性质，由题意可得点的纵坐标为绝对值为4时，与x轴相切，分两种情况，的纵坐标为4或时，代入抛物线，得到x的解即可；熟练掌握切线的性质及二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：与轴相切， 点的纵坐标的绝对值为4， 当时，，解得， 当时，，解得， 圆心的横坐标为：或或0． 故答案为：或或0． 三、解答题：本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（）先进行零次幂运算，立方根和三角函数值的运算及乘方，再进行实数的运算即可； （）先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算； 本题考查了分式的化简，特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值的运算和掌握运算法则，分式的通分和约分是解题的关键． 【详解】解（1） ． （2） ． 17. 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标； （2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 【答案】（1）作图见解析，； （2）作图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，解决本题的关键是按要求做出图形． 根据网格结构找出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，并写出的坐标； 利用位似的性质，找出点、、的位置，然后画出图形，并写出的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，分别作出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、， 连接点、、得到， 即为所求． 由图可知，的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接并延长到点，使， 连接并延长到点，使， 连接并延长到点，使， 连接点、、得到， 即为所求， 由图可知，点的坐标为． 18. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分） 并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； （5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1）60人 （2）90 （3）图见解析 （4）77 （5）390人 【解析】 【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体： （1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可； （2）360度乘以B组所占的比例，进行求解即可； （3）求出D组人数，补全直方图即可； （4）根据中位数的确定方法进行求解即可； （5）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； 【小问2详解】 ； 故答案为：90； 【小问3详解】 D组人数为：；补全直方图如图： 【小问4详解】 将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78， ∴中位数为：； 【小问5详解】 （人）． 19. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）点到地面的距离为； （2）顶部线段的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 20. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：所对的弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ，， ， 与相切． 【小问2详解】 解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 21. 如图1，抛物线与x轴交于，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是抛物线的顶点，求的面积； （3）如图2，若是抛物线上位于直线下方的一个动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1） （2）8 （3）当时，面积最大，最大值是 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的综合、求一次函数的解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先将抛物线的解析式化成顶点式，求出顶点的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再过点作轴的垂线，交直线于点，求出点的坐标，从而可得的长，然后根据的面积为，利用二次函数的性质求最值即可得． 小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 所以该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，点是抛物线的顶点， 将抛物线化成顶点式为， ∴， ∴的边上的高为， v∵， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：对于抛物线， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， ∵是抛物线上位于直线下方的一个动点，且点的横坐标为， ∴点的坐标为，且， 如图，过点作轴的垂线，交直线于点， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和等于， ∴的面积为， ∵， ∴由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值，最大值为， 所以当时，的面积最大，最大值是． 22. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2 【解析】 【分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解（1）的关键，证明是解（2）（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $