精品解析：江苏省宿迁市沭阳县乡镇联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年度第二学期八年级第一次调研测试 数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若想根据年我国国内生产总值增长率的数据表制成统计图，以便更清楚看出这几年来国内生产总值增长率的变化情况，应优先选取（ ） A. 折线统计图 B. 扇形统计图 C. 条形统计图 D. 以上均不能选 3. 以下事件中，必然发生的是（　　） A. 打开电视机，正在播放体育节目 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 正五边形的外角和为 D. 掷一次骰子，向上一面是5点 4. 为了了解某校2021年中考体育学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考体育成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（ ） A. 150 B. 被抽取的150名考生 C. 被抽取的150名考生的中考体育成绩 D. 该校2021年中考体育成绩 5. 现有同一品牌的足球100个，其中有4个次品，从中任取1个，则（ ） A. 一定是次品 B. 很可能是次品 C. 不大可能是次品 D. 不可能是次品 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点E，F，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 8. 如图，在正方形中，点O是对角线，的交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④，其中正确的是（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案填写在答题纸上） 9. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）． 10. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 11. 如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件：_____，使四边形是平行四边形． 12. 某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中，该运动员在这次训练中投篮命中的频数为______． 13. 某校八年级学生英语测试，参与测试的总人数为240，根据测试结果绘制出扇形统计图，其中表示良好等级的扇形的圆心角是，则达到良好等级的学生有______人． 14. 用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设________． 15. 如图，四边形是正方形、延长到点，使，连接，则的度数是______． 16. 如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是_______．     17. 如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ____． 18. 如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，P、Q分别是、的中点，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共有9小题，共96分．请把答案填写在答题纸上） 19. 设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 ___________名学生， ___________； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中C级对应的圆心角为 ___________度； （4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？ 20. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 21. 某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 （1）______，______； （2）估计这种油菜籽发芽的概率是______（精确到） （3）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 22. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点A顺时针旋转的，并写出点C的对应点的坐标为________； （2）画出关于点O成中心对称的； （3）点D为平面内一点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则所有满足条件的点D的坐标为________． 23. 在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中摇匀，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近________精确到，估计盒子里白球有________个，假如摸一次，摸到白球的概率为________； （2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 24. 已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）①当与满足条件　 　时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是　 　． ②当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论． 25. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 26. 综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． （1）发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． （2）探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； （3）拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 27. 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形PBFE为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期八年级第一次调研测试 数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若想根据年我国国内生产总值增长率的数据表制成统计图，以便更清楚看出这几年来国内生产总值增长率的变化情况，应优先选取（ ） A. 折线统计图 B. 扇形统计图 C. 条形统计图 D. 以上均不能选 【答案】A 【解析】 【分析】根据折线统计图的特点，折线统计图不仅能够表示数量的多少，而且能够表示数量增减变化的趋势，所以制成折线统计图比较合适．本题考查统计图的特点，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 【详解】解：若想根据表中数据制成统计图，以便清楚看出这几年来国内生产总值增长率变化情况，应选择折线统计图； ∴应优先选取折线统计图， 故选：A． 3. 以下事件中，必然发生的是（　　） A. 打开电视机，正在播放体育节目 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 正五边形的外角和为 D. 掷一次骰子，向上一面是5点 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：因为打开电视机，正在播放体育新闻节目是随机事件，所以A不符合题意； 因为任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，所以B符合题意； 因为正五边形的外角和是是不可能事件，所以C不符合题意； 因为掷一次骰子，向上一面是5点是随机事件，所以D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了必然事件的判断，掌握定义是解题的关键．即必然事件是在一定条件下一定能发生的事件． 4. 为了了解某校2021年中考体育学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考体育成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（ ） A. 150 B. 被抽取的150名考生 C. 被抽取的150名考生的中考体育成绩 D. 该校2021年中考体育成绩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，解题的关键是明确考查的对象． 【详解】解：根据定义，样本是被抽取的150名考生的中考体育成绩， 故选：C． 5. 现有同一品牌的足球100个，其中有4个次品，从中任取1个，则（ ） A. 一定是次品 B. 很可能是次品 C. 不大可能是次品 D. 不可能是次品 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查可能性的大小，首先根据随机事件发生的可能性，可得今从中任取一件，可能抽到次品，也可能抽到正品；然后根据正品、次品数量的多少，直接判断可能性的大小即可． 【详解】解：根据随机事件发生的可能性， 因为正品的数量是（个），次品数量是4个，96远大于4， 所以抽到次品的可能性较小，即不大可能抽到次品． 故选：C． 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 已知，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点E，F，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由甲作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 由乙作图可知：分别平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 综上所述：甲乙两人方法都可以． 8. 如图，在正方形中，点O是对角线，的交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④，其中正确的是（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等，掌握相关的性质及判定方法是解题的关键． 先由正方形的性质得，，，，进而证明，可判断①正确；由全等三角形的性质得到，，进一步证明，，由此即可判断②③正确；由勾股定理得，，由此可判断④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，， ， ， 在和中 ， ，故①正确； ，， ∴， ∴ ，故②正确； ∵， ， ， 四边形是正方形， ， ，故③正确； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ，故④正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案填写在答题纸上） 9. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可． 【详解】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 10. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 11. 如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件：_____，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键．添加一个条件：，根据证明得，同理可证，从而可证四边形是平行四边形． 【详解】解：可添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证： ∴ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中，该运动员在这次训练中投篮命中的频数为______． 【答案】64 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数据描述求频数，结合频数的概念进行作答即可． 【详解】解：∵某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中， ∴该运动员在这次训练中投篮命中的频数为64 故答案为：64 13. 某校八年级学生英语测试，参与测试的总人数为240，根据测试结果绘制出扇形统计图，其中表示良好等级的扇形的圆心角是，则达到良好等级的学生有______人． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用总人数乘以表示良好等级的扇形的圆心角占的比例即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：（人）， 故答案为：． 14. 用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 【详解】用反证法证明，应先假设； 故答案为 15. 如图，四边形是正方形、延长到点，使，连接，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据正方形的性质，易知；等腰中，根据三角形内角和定理可求得的度数，进而可由得出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ； 中，，则： (； ． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是_______．     【答案】16 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，直角三角形形斜边上的中线等于斜边的一半．根据四边形是菱形得到，结合点是的中点，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：16． 17. 如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ____． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．根据“对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心”即可找到答案． 【详解】解：如图，连接，，作线段，的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为：． 18. 如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，P、Q分别是、的中点，则的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】延长到，使，连接，则，，当、F、E在同一直线上时，最小，最小值为．根据P、Q分别是、的中点，得到，，的最小值为． 【详解】解：∵ ∴ 延长到，使，连接， 则，， 当、F、E在同一直线上时， 最小，最小值为． 在中， 即最小为10， ∵P、Q分别是、的中点， 的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称-最小值问题，熟练运用轴对称的性质和中位线定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共有9小题，共96分．请把答案填写在答题纸上） 19. 设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 ___________名学生， ___________； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中C级对应的圆心角为 ___________度； （4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？ 【答案】（1）50，24 （2） 补全条形统计图，如图所示： （3）72 （4）160 【解析】 【分析】（1）根据B级学生人数为24人，所占百分比为求出这次调查中的总人数即可；用级学生人数除以总人数乘以，即可得出其所占的百分比； （2）先算出C级学生人数，然后补全条形统计图即可； （3）用乘以C级的百分比即可求出C级对应的圆心角度数； （4）用2000乘以D级所占的百分比即可估算出结果． 【小问1详解】 解：在这次调查中，一共抽取了（人）， ， 故答案为：50；24． 【小问2详解】 解：C级学生人数为：（人），补全条形统计图略 【小问3详解】 解：扇形统计图中C级对应的圆心角为： ， 故答案为：72． 【小问4详解】 解：（人）， 答：该校D级学生有160名． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的综合应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点． 20. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 21. 某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 （1）______，______； （2）估计这种油菜籽发芽的概率是______（精确到） （3）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 【答案】（1）， （2） （3）在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵 【解析】 【分析】（1）用发芽粒数除以每批粒数即可算出a，b的值； （2）根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率即可得出答案； （3）用种子数乘以发芽率再乘以成秧率即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率； ∵发芽的频率接近， ∴概率估计值为，精确到为； 【小问3详解】 解：（棵）， 答：在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． 22. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点A顺时针旋转的，并写出点C的对应点的坐标为________； （2）画出关于点O成中心对称的； （3）点D为平面内一点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则所有满足条件的点D的坐标为________． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，中心对称，平行四边形的性质，熟练掌握旋转和中心对称的性质，平行四边形的性质是解题的关键； （1）根据旋转的性质作图，然后直接读取点的坐标即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）分别以为对角线时，结合平行四边形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由图可得：点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点坐标如图所示， 当以为对角线时，，此时点的坐标为， 当以为对角线时，，此时点的坐标为， 当以为对角线时，，此时点的坐标为， 综上所述：满足条件的点D的坐标为或或． 23. 在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中摇匀，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近________精确到，估计盒子里白球有________个，假如摸一次，摸到白球的概率为________； （2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）0.5，15，0.5；（2）30个 【解析】 【分析】（1）根据“摸到白色球”的概率折线统计图，得出摸到白球的频率；由30×0.5=15，即可得出结果；用频率的稳定值得出摸到白球的概率即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由摸到白色球”的概率折线统计图可得，摸到白球的频率将会接近0.50， ， 盒子里白球为15， 随实验次数的增多，频率的值稳定于0.50， 摸到白球的概率0.5， 故答案为：0.50，15，0.5； （2）设需要往盒子里再放入个白球； 根据题意得：， 解得； 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 故需要往盒子里再放入30个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 24. 已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）①当与满足条件　 　时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是　 　． ②当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵E，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①AB=CD；一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②AB⊥CD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定定理证明结论； （2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；②根据矩形的判定定理解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵F，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，， ∴四边形是菱形； 当与满足条件时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 故答案为：；一组邻边相等的平行四边形是菱形； ② 略 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形和菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形和菱形的判定是解题的关键． 25. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）80 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理等知识； （1）根据菱形的性质，证明是的中位线，得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； （2）利用线段中点和勾股定理，求得的长，然后根据菱形和矩形的性质，得到和的长，再利用勾股定理求出和的长，进而得到对角线和的长，即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，是的中点， ， ， 在中，， 四边形是菱形， ，，， 是的中位线， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 26. 综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． （1）发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． （2）探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； （3）拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】（1） 解：，证明如下： 四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ； （2） 解：的结论不变，理由如下： 过点作于点，作于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）的度数为或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， 又， ， ， ， 又，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 27. 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形PBFE为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 （1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ， ∴点B与点E关于PQ对称， ∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 又∵EF∥AB， ∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∵EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四边形BFEP为菱形； （2）①；②36， 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得AE的长，再在Rt△APE中求得PE，即菱形的边长； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）①∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°， ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝10， 在Rt△CDE中，DE＝＝8， ∴AE＝AD﹣DE＝2； 在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE， ∴，解得：， ∴菱形BFEP的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2，， ， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6， ， ∴菱形的面积范围：． 菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $