第八章：向量数量积与三角恒等变换章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

第八章：向量数量积与三角恒等变换章末重点题型复习 题型一 向量数量积的计算 1．（2025·河北·一模）已知正三角形的边长为2，点满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量的线性运算可得的表达式，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，所以， ， 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．8 D．18 【答案】BC 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】由题意建立标系，利用平面向量数量积的坐标表示，可得.答案 【详解】取线段的中点为，连接， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立直角坐标系，如下图： 则，，， 由图易知， 可得，， ， 易知. 故选：BC. 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】建立如图所示直角坐标系，设，利用向量共线求出点，再利用向量的数量积求解即可. 【详解】依题意，在坐标系中表示直角梯形，，，，， ，设， 因为，所以，即， 所以，所以，， 所以． 故选：A 4．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F在边上，且，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知模求数量积 【分析】先将与用和表示出来，再根据向量数量积的运算规则进行计算. 【详解】已知点为的中点，所以. 因为，所以， 所以 ， 在矩形中，根据向量垂直的性质可知. 已知，，则，，那么，. 将，，代入上式可得： 故答案为： 5．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知中，，，D为上一点，且，，垂足为E，则 ． 【答案】/ 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示 【分析】以E为坐标原点，EA,EB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出的坐标，即可求得结果. 【详解】 如图，以E为坐标原点，EA,EB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系， 因为,所以，则 又，过D作于F，易知，所以， 得到，设，则， 所以. 故答案为： 题型二 求投影的数量 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为， 故选：A． 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知向量，向量，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的计算公式，在上的投影向量为. 【详解】在上的投影向量为． 故选:A． 3．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据数量积的定义，利用投影向量的公式，可得答案. 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，则 ，在上的投影的数量为 ． 【答案】 3 1 【知识点】求投影向量、用定义求向量的数量积 【分析】由向量数量积定义及投影公式计算即可计算； 【详解】； 在上的投影的数量为. 故答案为：3；1 题型三 向量模的计算问题 1．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（   ） A． B．3 C． D．7 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用投影向量的概念结合平面向量数量积的坐标表示及模长公式计算即得. 【详解】因向量在向量上的投影向量是， 则， 故， 于是. 故选：A 2．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）平面内给定两个向量 (1)求夹角的余弦值. (2)求 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积，结合夹角余弦值，可得答案； （2）由向量的坐标，利用线性运算以及模长公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，， 则夹角的余弦值. （2）由题意可得， 则. 3．（24-25高一下·福建龙岩·阶段练习）已知向量，． (1)当，求的值； (2)当取得最大值时，是否存在实数，使，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，且 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】（1）求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算结合可求得的值； （2）由向量数量积的坐标运算法则，结合配方法求出取最大值时的值，再由，即可列式求解，从而得出结论. 【详解】（1）因为向量，，则， 因为，则，解得或. （2）由向量，知， 所以， 当时，取得最大值，此时， 若存在实数，使，则， 又因为，，， 所以，即，解得， 因此，存在实数，且，使得. 题型四 向量夹角（函数值）的运算 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、坐标计算向量的模 【分析】应用向量数量积的运算律及模长坐标表示可得，再应用向量夹角公式求夹角. 【详解】因为，所以， 又，，所以，得， 所以， 因为，所以， 故选：C 2．（2025·安徽马鞍山·一模）已知平面向量，满足，，，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、坐标计算向量的模 【分析】根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算得解. 【详解】由，得，由，得，而， 解得，则，而，因此， 所以向量与向量的夹角为. 故选：D 3．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】先根据投影向量公式求出，再代入向量夹角公式求出夹角. 【详解】已知，则. 因为在上的投影向量为，且投影向量的坐标为，所以. 将，代入上式可得：，即，那么，解得. 设向量与的夹角为，，可得：. 因为，且，所以. 则向量与的夹角为. 故选：A. 4．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解. 【详解】因在上的投影向量为，即， 则，又，则得， 所以， 又，故向量与向量的夹角为， 故答案为：. 5．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可； （2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为，设，则，解得． 因此或． （2）由已知可得，因为， 则，可得， ． 6．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知向量. (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、利用向量垂直求参数 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以. （2）， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 题型五 向量垂直关系的判断与应用 1．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知向量.若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】利用坐标计算，再利用数量积即可求. 【详解】因，则， 因，，则， 得. 故选：C 2.（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知平面内两向量，若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于，又向量， 所以，所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数 【分析】依据向量平行和垂直的坐标表示形式来求得的值即可. 【详解】（1）由题知，. 若，则， 解得，故实数的值为. （2）若，则，整理得， 解得或. 4．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，，，且与的夹角为．P为线段AB上的一点，设． (1)若，用基向量，表示，并求； (2)若，求实数t的值． 【答案】(1)， (2)． 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、利用向量垂直求参数 【分析】（1）利用向量的线性运算求得，再利用数量积的定义及运算律求出. （2）用基向量，表示，再利用垂直关系的向量表示列式求出t的值． 【详解】（1）在中，，则，因此； 由，，且与的夹角为，得，    所以． （2）由，得，， 由，得， 因此， ，所以. 题型六 求参数问题 1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知向量，其中m，n均为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影向量为 C． D．mn的最大值为2 【答案】CD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、基本不等式求积的最大值、求投影向量 【分析】对于A：根据数量积的符号分析向量夹角；对于B：根据投影向量的定义运算求解；对于C：根据向量共线运算求解即可；对于D：利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于A，向量，则， 又因为，可知不共线， 所以的夹角为锐角，故A错误； 对于B，因为， 所以向量在上的投影向量为，B错误； 对于C，因为，， 若，则，整理可得，C正确； 对于D，因为，且m，n均为正数， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以mn的最大值为2，D正确． 故选：CD. 2．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知平面向量． (1)若，求的值； (2)若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、利用向量垂直求参数 【分析】（1）先计算出向量，，再根据向量垂直列出方程求解即可. （2）先根据与的夹角为锐角得出，且夹角不为，再分别求出和夹角不为时的取值范围即可. 【详解】（1）因为 所以，. 又因为，所以，解得. （2）因为， 所以. 因为与的夹角为锐角， 所以，且夹角不为. 当时，，解得； 当与的夹角为时，，解得， 故与的夹角不为时，； 综上可得：的取值范围是. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图，，E是线段的中点，过点E的直线交线段于M，交线段于N，，，其中，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求m，n的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，. 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用向量垂直求参数 【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法表示即可； （2）由平面向量的基本定理结合题意可得； （3）结合图形，由向量的加减运算与向量垂直数量积为零解方程组可得. 【详解】（1）因为，所以， 则. 因为E是线段的中点，所以. （2）证明：因为M，E，N三点共线，所以. 因为，，所以. 由（1）可知，则， 所以，所以. （3）因为，，所以. 由（1）可知，所以. 因为，，，且，所以. 由（2）可知，联立，解得，. 题型七 数量积的最值、范围问题 1．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴.    如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，表示各点坐标，利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，即可得. 【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，    由题意，，，， 设，（）， 设，（）， 由，则，， ， ， 解得，则， ，， 又， ， 因为，所以， 的最大值为，的最小值为， 的最大值与最小值的差为：4 故选：D 3．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、已知向量共线（平行）求参数、用定义求向量的数量积 【分析】过作交于点，可知当与半圆相切时，最大，再利用三角函数求解即可. 【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得， 设，所以， 当与半圆相切时，取得最大值，此时最大， 过作交于点，连接， 当取得最大值时，且， 因为，正方形边长为4，则，， 所以， 所以， 则，所以， 得，所以的最大值为. 所以最大值为. 故答案为：24. 4．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 【答案】 /； . 【知识点】数量积的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据向量相等求出可得空一；设，用表示出，利用二次函数性质求解可得空二. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 得， 因为，所以， 得，所以， 设，则， 所以， 所以 由二次函数性质可知，当时，取得最小值. 故答案为：；. 5．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. （2）由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. （3）由图可得， ， ， 由，则. 题型八 向量模的最值、范围问题 1．（2023·福建泉州·三模）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，由已知可得，由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可. 【详解】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】根据已知的向量数量积等式，利用向量投影的性质得出投影向量长度，再结合向量垂直的条件构建几何关系，进而分析的最小值情况. 【详解】不妨固定向量，，的起点为同一点，因为，由向量投影的性质，在方向上的投影向量的长度为1． 由，可知，故在向量方向上的投影向量的长度为1． 又因为，所以，，可以围成如图所示的直角三角形， 由图知，当与的夹角为时，平行于，此时取得最小值2． 故答案为：2. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】通过已知条件先求出的值，再利用绝对值不等式来确定的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】由，，，得， 又，即,.即， 即 故答案为：. 题型九 夹角（函数值）及参数的最值、范围问题 1．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求参数 【分析】根据已知及数量积的运算律求得，，，再应用数量积的夹角公式求的范围. 【详解】由， 所以，故， 又，， 所以 ，而，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得到为关键. 2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）根据向量坐标运算和向量平行的坐标表示求解可得； （2）根据且不同向列方程求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，， 又向量与共线，所以，解得. （2）若向量与的夹角为锐角，则且不同向， 由，解得， 由得，此时同向，不满足题意. 综上，实数的取值范围为. 3．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知单位向量，，夹角为，向量，，且与的夹角为. (1)求及； (2)求在上的投影向量； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2) (3) 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】（1）根据与的夹角列方程求得，利用平方的方法求得. （2）根据投影向量的知识求得在上的投影向量 （3）根据向量夹角是锐角列不等式，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）已知单位向量，夹角为，则， ，， 将上述结果代入可得： ，两边平方可得， 即，解得（舍去）. 将代入得，则. . （2）由（1）知，，. 根据向量投影向量公式，在上的投影向量为. （3）已知，， 则，. 因为与所成的角是锐角， 则且与不共线. 解得. 若与共线，则存在实数，使得， 即，可得，解得， 所以且. 综上，实数的取值范围是. 题型十 三角函数公式的“正用” 1.（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】应用二倍角余弦公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B. 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由三角恒等变换得，进一步即可求解. 【详解】， 解得， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知，则 【答案】/ 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由，根据二倍角公式即可求解. 【详解】由，所以 ， 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）设都是第二象限的角，已知 . (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）先由同角三角函数的关系可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为都是第二象限的角，由可得， 由可得， 则. （2）因为，， 则. 题型十一 三角函数公式的“逆用”“变用” 1．（2024·全国·模拟预测）则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由角的正弦值求得余弦值，利用余弦与正切的和角公式，可得答案. 【详解】由，则， 由 ，则， 当时，， 则， ， ； 当时，， 则， ， . 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx(型)函数的值域、逆用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）根据两角和的正切公式和诱导公式即可求解， （2）根据三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由， 可得：， 则， 又，所以., 由于为三角形的内角，所以, （2）由于，所以, 故, 由于为锐角三角形，所以且，故， 则，故， 故的取值范围为 题型十二 给角求值问题 1．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给角求值型问题 【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式. 【详解】原式 . 故选：B. 2．（多选）（21-22高三上·山东济南·阶段练习）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】求15°等特殊角的余弦、求15°等特殊角的正弦、求15°等特殊角的正切、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】对于A，利用两角差的正弦余弦公式求出的值即可，对于B，利用两角和的余弦公式求解，对于C，求出的值代入化简即可，对于D，利用两角和的正切公式求解 【详解】对于A，因为， ， 所以，所以A正确， 对于B，因为，所以B错误， 对于C，因为， 所以，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 3．（2025高三·全国·专题练习） ． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式分别求出与的值即可. 【详解】∵ ， ， ∴． 故答案为：4. 4．（22-23高一·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）逆用余弦的和角公式即可得解； （2）逆用正弦的和角公式即可得解； （3）逆用、正用正切的和角公式即可得解； （4）利用诱导公式及余弦差角公式的逆用即可得解. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 题型十三 给值求值问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】给值求值型问题 【分析】由两角和的正弦公式及辅助角公式得到，再结合二倍角公式、诱导公式即可求解. 【详解】由得， 所以． 又， 故． 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】先利用诱导公式和二倍角的正弦公式化简已知，再根据结合两角差的余弦公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 由得， 则， 又， 且， 所以． 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正切公式 【分析】由，及为第三象限角，得的值，由为第三象限角确定的范围，再根据2倍角公式求的值. 【详解】为第三象限角， ，，， ，即， 即， 解得： 为第三象限角， 为第二或第四象限， . 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若，是第二象限角，，是第三象限角，求的值. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数关系求出的值，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又是第二象限角，所以， 因为，且是第三象限角，所以， 所以. 题型十四 给值求角问题 1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】由已知数据可得和的值，而，代入值计算可得． 【详解】因为三角形的两个内角，且， 则，， 因，， 得， 则， 故， 因，，则． 故选：B． 2．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）若，且均为锐角，，则 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、给值求角型问题 【分析】利用配凑法将表示成,再去求解即可得到的值. 【详解】因为、为锐角，且，所以,, 所以,, 所以, 且因为，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点和，已知点的坐标为. (1)若，求点的坐标； (2)若将角的终边按逆时针方向旋转至第一象限，且为锐角，，求的大小. 【答案】(1) (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）依题意求出，再结合任意角的三角函数的定义与诱导公式求解即可； （2）利用二倍角的正切公式求得，利用同角的三角函数求得，利用两角和的正切公式求得，进而求得的大小. 【详解】（1）因为点在单位圆上，利用三角函数的定义，解 由三角函数的定义知， 因为，且，所以 所以 故 （2）因为，所以， 因为，且，所以 因为，，所以， 所以， 因为，且，所以； 因为， 且， 所以. 题型十五 三角恒等式的化简、求值 1．（2025高三下·全国·专题练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】利用平方和公式和二倍角公式化简即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以同号，即，从而， 所以． 故选：C. 2．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）若，则 . 【答案】－1 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式对进行化简，再利用三角恒等变换公式对进行化简即可得到答案. 【详解】由得，即， 所以 . 故答案为：. 3．（24-25高一上·重庆·期末） 如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标记为． (1)求的表达式，并求的值； (2)若为任意角，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由条件等式求正、余弦、求15°等特殊角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）分析可知射线为角的终边，利用三角函数的定义可得出的表达式，再利用余弦函数的周期和两角和的余弦公式可求得的值； （2）解法一：由已知结合三角恒等变换可得出关于、的方程组，解出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解； 解法二：由已知可得出的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式可计算出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解. 【详解】（1）设射线为锐角的终边，则，则， 射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，则射线为角的终边， 由三角函数的定义可得， . （2）法一：因为， 联立，解得或， 又因为或； 法二：因为，则， 所以，， 当时，则 ， 此时，； 当时，则 ， 所以，. 综上所述，或. 题型十六 三角恒等式的证明 1．（多选）（22-23高一下·江苏南通·期中）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】给角求值型问题、二倍角的余弦公式、逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用两角差的正切公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合诱导公式可判断C选项；利用两角差的余弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为， 所以，，B对； 对于C选项， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：BD. 2．（22-23高一下·湖北荆州·阶段练习）求证： ． 【答案】证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、无条件的恒等式证明 【分析】由二倍角公式，可得左边，通分后即可证明左边等于右边. 【详解】证明：因. 则， . 故左边 右边. 题型十七 条件恒等式的证明问题 1．（多选）（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、给值求值型问题、给值求角型问题 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 2.（20-21高一下·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用差角的正切公式、二倍角的正余弦公式、弦化切化简等式两边，由此可证得结论成立. 【详解】左边， 右边， 因此，. 题型十八 三角恒等变换与向量 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知向量，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、数量积的运算律、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据向量数量积公式求出，再求出，最后将二者相加并结合三角函数和二次函数性质即可求出最大值. 【详解】由题， ， 所以 ， 所以， 令，则，. 所以时取得最大值为. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（   ） A．最大值为 B．最大值为1 C．最大值是 D．的最大值为 【答案】BC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质即可对选项进行判定. 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ，，，，，设，， 则，，，由， 得，则，解得， 对于A，，其中锐角由确定， ，则当时，，A错误； 对于B，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，其中锐角由确定， ，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，，则 ，而，当时，取得最大值为，D错误. 故选：BC 3．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）已知向量，，且. (1)若，求值； (2)若，求值； (3)求与的夹角的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】辅助角公式、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算，结合辅助角公式，即可求出结果； （2）利用向量平行的坐标运算，结合辅助角公式，即可求出结果； （3）利用坐标运算表示出向量夹角的余弦值，并得到夹角范围，利用换元法以及基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）由题知，因为， 所以， 所以，， 又，则. （2）因为， 所以， 所以，， 又，则. （3）由，， 且， 又， 所以， 所以， 因为，所以，， 令，则，， 令，，则， 所以， 当且仅当，即，，或时，等号成立， 所以角的最大值为. 题型十九 三角函数图像和性质 1．（多选）（24-25高一下·河南·阶段练习）已知函数，φ为常数，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为π B．当时，的值域为 C．在，上单调递增 D．若对于任意的φ，函数（a为常数）的图象均与曲线相交，则 【答案】ACD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用三角恒等变形化简得，然后利用三角函数的性质求解判定ABC；利用分类讨论方法，研究函数的值域，进而得到实数的取值范围. 【详解】由题意可得 ． 易得的最小正周期为，故A正确. 当时，，其值域为，故B错误. 当时，单调递增， 故在上单调递增，故C正确. 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 故且. 当时，，此时； 当时，，此时. 故． 综上所述，，故D正确. 故选：ACD． 2．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 【详解】由题设有， 令，则有，即， 因为在区间内没有零点， 故存在整数，使得， 即，因为，所以且，故或， 所以或. 故答案为：. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，， (1)求的值以及的对称轴; (2)将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，若 ，求的取值范围; (3)已知 ，求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、辅助角公式 【分析】（1）根据已知条件代入运算，求得，再根据余弦函数的性质求解； （2）利用图象变换求出的解析式，根据余弦函数的性质解不等式； （3）利用平方关系求出，将转化为，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）根据题意，，又， ，解得， ，令，， 所以的对称轴为. （2）由题可得，， 所以，即， ，         即，      所以的取值范围是，. （3）， ， 当时，， 当时，， 所以. 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若求的值域 (3)若求的值 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）应用正弦函数的单调性计算求解； （2）应用正弦函数的值域计算求解； （3）先应用同角三角函数求解得出，最后结合两角和正弦公式计算即可. 【详解】（1）因为， 令， 得， 所以的单调递增区间为 （2）函数，当时，， 结合正弦函数的性质可得： 当时，即，函数； 当时，即，函数． 所以，故的值域为． （3）． ，． 5．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知函数，的周期是. (1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间. (2)解不等式. (3)求当时，函数的值域. 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】解正弦不等式、求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的余弦公式化简、求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简，结合周期求出确定，根据的范围确定的范围，即可确定函数的单调递增区间. （2）将看成整体，解不等式，即可求解. （3）根据的范围确定的范围，由此确定的值域. 【详解】（1）因为 ， 因为，所以，所以， 因为，所以， 当时，即时函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为：. （2）因为，即， 所以，， 解得：，， 所以不等式的解集为：. （3）当时，， 当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 此时. 6．（24-25高一下·云南昆明·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； (2)若函数在上不单调，求的取值范围； (3)若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，  对称轴; (2); (3). 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角函数诱导公式和二倍角公式、两角和正弦公式化简，再求周期和对称轴； （2）利用区间里面一定有，所以去分析函数的单调递增区间中也有0，从而利用不单调来判断区间端点的取值范围； （3）利用三角函数在区间的值域，结合任意变量都满足不等式恒成立，可得，从而可得参数范围. 【详解】（1）函数 , 所以函数的最小正周期， 由，所以函数图象的对称轴为； （2）由， 可得函数在区间上单调递增， 由于区间里面一定有，而， 所以函数在上不单调的等价条件是， 即满足或，解得：， 故的取值范围； （3）当时，，则， 所以函数的值域为， 再由，，都有恒成立， 则有，即， 故实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章：向量数量积与三角恒等变换章末重点题型复习 题型一 向量数量积的计算 1．（2025·河北·一模）已知正三角形的边长为2，点满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（多选）（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．8 D．18 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F在边上，且，则的值是 ． 5．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知中，，，D为上一点，且，，垂足为E，则 ． 题型二 求投影的数量 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知向量，向量，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 ． 4．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，则 ，在上的投影的数量为 ． 题型三 向量模的计算问题 1．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（   ） A． B．3 C． D．7 2．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）平面内给定两个向量 (1)求夹角的余弦值. (2)求 3．（24-25高一下·福建龙岩·阶段练习）已知向量，． (1)当，求的值； (2)当取得最大值时，是否存在实数，使，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型四 向量夹角（函数值）的运算 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽马鞍山·一模）已知平面向量，满足，，，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为 . 5．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． 6．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知向量. (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值. 题型五 向量垂直关系的判断与应用 1．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知向量.若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 2.（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知平面内两向量，若，则的值为 ． 3．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 4．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，，，且与的夹角为．P为线段AB上的一点，设． (1)若，用基向量，表示，并求； (2)若，求实数t的值． 题型六 求参数问题 1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知向量，其中m，n均为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影向量为 C． D．mn的最大值为2 2．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知平面向量． (1)若，求的值； (2)若与的夹角为锐角，求的取值范围． 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图，，E是线段的中点，过点E的直线交线段于M，交线段于N，，，其中，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求m，n的值. 题型七 数量积的最值、范围问题 1．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 3．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 4．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 5．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 题型八 向量模的最值、范围问题 1．（2023·福建泉州·三模）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 . 题型九 夹角（函数值）及参数的最值、范围问题 1．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 . 2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 3．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知单位向量，，夹角为，向量，，且与的夹角为. (1)求及； (2)求在上的投影向量； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 题型十 三角函数公式的“正用” 1.（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知，则 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）设都是第二象限的角，已知 . (1)求的值； (2)求的值. 题型十一 三角函数公式的“逆用”“变用” 1．（2024·全国·模拟预测）则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 题型十二 给角求值问题 1．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（21-22高三上·山东济南·阶段练习）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习） ． 4．（22-23高一·全国·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十三 给值求值问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则 ． 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若，是第二象限角，，是第三象限角，求的值. 题型十四 给值求角问题 1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）若，且均为锐角，，则 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点和，已知点的坐标为. (1)若，求点的坐标； (2)若将角的终边按逆时针方向旋转至第一象限，且为锐角，，求的大小. 题型十五 三角恒等式的化简、求值 1．（2025高三下·全国·专题练习）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）若，则 . 3．（24-25高一上·重庆·期末） 如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标记为． (1)求的表达式，并求的值； (2)若为任意角，，求的值． 题型十六 三角恒等式的证明 1．（多选）（22-23高一下·江苏南通·期中）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·湖北荆州·阶段练习）求证： ． 题型十七 条件恒等式的证明问题 1．（多选）（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·上海·课后作业）已知，求证：. 题型十八 三角恒等变换与向量 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知向量，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（   ） A．最大值为 B．最大值为1 C．最大值是 D．的最大值为 3．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）已知向量，，且. (1)若，求值； (2)若，求值； (3)求与的夹角的最大值. 题型十九 三角函数图像和性质 1．（多选）（24-25高一下·河南·阶段练习）已知函数，φ为常数，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为π B．当时，的值域为 C．在，上单调递增 D．若对于任意的φ，函数（a为常数）的图象均与曲线相交，则 【答案】ACD 2．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，， (1)求的值以及的对称轴; (2)将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，若 ，求的取值范围; (3)已知 ，求的值. 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若求的值域 (3)若求的值 5．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知函数，的周期是. (1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间. (2)解不等式. (3)求当时，函数的值域. 6．（24-25高一下·云南昆明·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； (2)若函数在上不单调，求的取值范围； (3)若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$