重难点04 几何大综合（5题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

重难点04 几何大综合 题型01 角度从特殊到一般 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，中，点E、F分别在边上，连接交于点G，．   问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求证：； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中结论仍然成立； 问题拓展 （3）如图3，当时，，F为中点，直接写出的值（用含n的式子表示）． 2．（2024·山东枣庄·一模）【问题提出】 在等腰中，，，点P为延长线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接、．判断与的数量关系；与的关系． 【问题特殊化】 （1）如图1所示，当时，与的数量关系为______；______°； （2）如图2所示，当时，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展应用】 （3）当时，若，，请求出线段AD的长． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 4．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 题型02 线段比从特殊到一般 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）问题提出：如图，，，点A在上，连接交于F点，探究的值；    问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的值； （2）再探究一般情况，如图1，证明（1）中的结论依然成立； 拓展创新： （3）如图3，交于点G，若，直接用含k的式子表示的值． 6．（2023·湖北武汉·模拟预测）问题提出如图（1），在中，，,连接，探究．    问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，求的值． （2）再探究一般情形．如图（1），当时，求的值； 问题拓展 如图（3），在中，，，P是内一点，，交于F，当的面积最大时，求的值． 7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知等腰三角形，，，． (1)如图1，当时， ①探究与之间的数量关系； ②探究，与之间的关系（用含α的式子表示）． (2)如图2，当时，探究，与之间的数量关系（用含k，α的式子表示）． 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： (1)求证：； (2)探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； (3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 题型03 新定义型从特殊到一般 9．（2025·河南周口·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____． 【问题解决】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积． 10．（2025·江西·模拟预测）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图2，若与互为“旋转位似图形”，，，则 ； ③如图2，若与互为“旋转位似图形”，若，则 ，若连接，则 ． (2)知识运用： 如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转位似图形”； (3)拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求和的长． 11．（2024·辽宁·一模）【问题初探】 定义：过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图.，，垂足分别为、，则为“点足三角形”，为“垂角”． 【性质探究】 （）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）． （）如图，点为平面内一点，，，垂足分别为、，将“垂角”绕着点旋转一个角度．分别与、相交于、.连接．求证：． 【迁移运用】 （）如图，，点在射线上，点是射线上的点，且，，则的外部是否存在一点使得“点足三角形”的面积为，若存在，求出此时的长；着不存在，请说明理由． 12．（2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°； (2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示） 题型04 旋转模型的运用 13．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 14．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．      15．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 16．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若P为所在平面上一点，且，则点P叫做的费马点．如图，在中，如果三角形内部有一点P满足，则的值最小．理由如下： 将绕点A逆时针旋转至，连接 是等边三角形 点四点在同一条直线上．此时，的值最小． 【应用】 （1）如图（一）所示，点P是内一点，且点P是的费马点，已知，，求的长； （2）如图（二）所示，分别以锐角的边向三角形外部作等边，等边，连接交于点P，求证：点P为的费马点； 【拓展】 （3）如图（三），圆内接矩形内有一点于点E，已知，且的最小值是，求的半径． 题型05 一线三等角模型的运用 17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 18．（2023·山东泰安·三模）【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明． 【拓展训练】 如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出） 【知识迁移】 将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：． 19．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 20．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【模拟预测】 1．（2025·广西·一模）【经典回顾】 （1）如图1，，都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，，都是等腰直角三角形，，连接，相交于点，与相交于点，类比（1）有．点，，分别为，，的中点，连接，，与相交于点．请判断，的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，如图3，绕点旋转，若，．求旋转过程中，面积的最大值． 2．（2025·河南濮阳·一模）综合与探究 如图，，点在的平分线上，于点． (1)【操作判断】 如图1，过点作于点，根据题意，在图1中画出，并直接写出的度数： _______________． (2)【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，作，交射线于点，探究，与之间的数量关系，并给出证明． (3)【拓展延伸】 点在射线上，连接，作，交射线于点，射线与射线相交于点．若，请直接写出的值． 3．（2024·湖北武汉·二模）问题提出 如图（1），的四边上依次有，，，四点，连接，交于点，，，试用含的式子表示． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，且时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），求的值（用表示）． 问题拓展 （3）如图（3），在四边形中，，，点，分别在，的延长线上，连接，交于点，且，若，，直接写出的值． 4．（2024·湖南邵阳·二模）问题提出 如图（），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （）先将问题特殊化如图（），当点，重合时，易证（），请利用全等探究，，之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）； （）再探究一般情形如图（），当点，不重合时，证明（）中的结论仍然成立． 问题拓展 （）如图（），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系． 5．（23-24九年级上·广东茂名·期末）问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； （2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系； 问题拓展： 将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值． 6．（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且 ，探究线段之间的数量关系． (1)特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． (2)类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． (3)拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的正对．在中，，顶角的正对记作．由此可知一个角的大小与这个角的正对也是相互唯一确定的，所以我们可按上述方式定义的正对，例如，，请根据材料，完成以下问题：如图1，是线段上的一动点（不与点重合），点分别是线段的中点，以，为边分别在的同侧作等边三角形，连接和． (1)【阅读应用】①若等边三角形的边长分别为，则三者之间的关系为______； ②______； (2)【猜想证明】如图2，连接，猜想的值是多少，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，连接，若，则的周长是多少？此时的长为多少？（直接写出上述两个结果） 8．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 几何大综合 题型01 角度从特殊到一般 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，中，点E、F分别在边上，连接交于点G，．   问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求证：； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中结论仍然成立； 问题拓展 （3）如图3，当时，，F为中点，直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）先证明是矩形，再证明，即可得证； （2）先证明，得到，进而得到，再证明，得到，即可得证； （3）设，过点作，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，，进而得到，勾股定理求出，利用（2）中的结论得到，设，在中，利用勾股定理求出的值，再利用正切的定义，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴不妨设， ∴， ∵为的中点， ∴， 过点作，过点作，    则：，， ∴，， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，找准角度之间的关系，证明三角形相似，是解题的关键． 2．（2024·山东枣庄·一模）【问题提出】 在等腰中，，，点P为延长线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接、．判断与的数量关系；与的关系． 【问题特殊化】 （1）如图1所示，当时，与的数量关系为______；______°； （2）如图2所示，当时，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展应用】 （3）当时，若，，请求出线段AD的长． 【答案】（1），；（2）不成立．理由见解析；（3）线段的长为 【分析】（1）由旋转的性质可知，进而可知、是等边三角形，可证得，由全等三角形的性质得出，可知，设BD交PC于点O，由可得，进而可得答案； （2）由旋转可知，由等腰三角形的性质可知，，，作，，可得，，进而可得，，可知，进而可证，可得，，结合即可求解； （3）类比（2）证明，再结合勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）∵将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段， ∴． ∵，，， ∴、是等边三角形． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 设BD交PC于点O．    ∵， ∴． ∵， 则， ∴，即． 故答案为：，； （2）不成立．理由如下：由旋转可知， ∵，，， ∴，，， 作，，    则，， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故（1）中的结论不成立，，； （3）如图所示，点P在线段的延长线上，作于点Q，连接． 在中，， 由旋转可知， ∵，，， ∴，， 则，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴，． 又∵，， ∴， ∴四边形为正方形． ∴； 综上所述，线段的长为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在 上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 4．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【详解】（1）延长过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴．      故答案为：． （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ， ． ．    （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ． 在中， ， ． ，由（2）知，． ． ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ．    【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． 题型02 线段比从特殊到一般 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）问题提出：如图，，，点A在上，连接交于F点，探究的值；    问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的值； （2）再探究一般情况，如图1，证明（1）中的结论依然成立； 拓展创新： （3）如图3，交于点G，若，直接用含k的式子表示的值． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3） 【分析】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）由可证，可得，由可证，可得，即可求解； （2）通过证明，可得，由可证，可得，即可求解； （3）设，由等腰三角形的性质和锐角三角函数可求，，，，通过证明，可求的长，即可求解． 【详解】（1）如图2，过点B作于N，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图1，过点B作于N，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， （1）的结论仍然成立； （3）如图3，过点B作于N，延长交于M，    ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2023·湖北武汉·模拟预测）问题提出如图（1），在中，，,连接，探究．    问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，求的值． （2）再探究一般情形．如图（1），当时，求的值； 问题拓展 如图（3），在中，，，P是内一点，，交于F，当的面积最大时，求的值． 【答案】问题探究（1）当时的值为；（2）的值为；问题拓展（3）当的面积最大时的值为 【分析】（1）通过证明，可得，即可求解； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）由题意可得当时，的面积最大，先证明，由相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴点E在以为直径的圆上， ∴当时，的面积最大， 如图，      ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点A，点E，点D，点C四点共圆， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知等腰三角形，，，． (1)如图1，当时， ①探究与之间的数量关系； ②探究，与之间的关系（用含α的式子表示）． (2)如图2，当时，探究，与之间的数量关系（用含k，α的式子表示）． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似等综合知识，解题的关键是构造三角形相似． （1）①作交于H，推导，，从而，从而求得；②由①，推出，，作于I，，进一步求得． （2）由（1）的同样的方法，由特殊推出一般，方法不变． 【详解】（1）①作交于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A、G、E、F共圆， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②由上得，，， ∴， 作于I， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作交CG的延长线于H，作于I， 由（1）得，， ∴点A、G、F、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： (1)求证：； (2)探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； (3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①②，证明见解析 (3) 【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论； （2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果； ②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论； （3）过点作，角平分线的性质，得到，推出，等角的余角相等，得到，进而得到，得到，根据，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； （2）解：①当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， ∴当时，； ②当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； （3），理由如下： 过点作， ∵，， ∴， 由（2）知，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． 题型03 新定义型从特殊到一般 9．（2025·河南周口·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____． 【问题解决】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（），；（）；（）或 【分析】（）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （）如图，过点作于点，由（）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点的对应点在的上方时；②当点的对应点在的下方时， 分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，； （）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）如图，过点作于点， 由（）知，， ∴， ∵， ∴， 同理（）可得，， ∴， 由折叠的性质可知四边形为正方形， 连接，则，， 分两种情况：①如图，当点的对应点在的上方时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴； ②如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得， ∴； 综上可得，的面积为或． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的性质，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键． 10．（2025·江西·模拟预测）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图2，若与互为“旋转位似图形”，，，则 ； ③如图2，若与互为“旋转位似图形”，若，则 ，若连接，则 ． (2)知识运用： 如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转位似图形”； (3)拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求和的长． 【答案】(1)①是；②50，③10， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握“旋转位似图形”的定义是解题的关键． （1）①根据“旋转位似图形”的定义判断即可； ②根据“旋转位似图形”可得即，再根据三角形内角和定理求解即可； ③根据“旋转位似图形”可得，根据相似三角形的性质列比例式求解即可，进而证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． （2）先证明可得，再先后证明、，最后根据“旋转位似图形”的定义即可证明结论； （3）如图：如图，过E作于点H，根据等腰直角三角形的性质易得，再根据“旋转位似图形”的定义可得可得，再解直角三角形可得、，然后说明，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①∵，都是等边三角形， ∴， ∵有公共顶点A， ∴是的“旋转位似图形”． 故答案为：是． ②∵与互为“旋转位似图形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； ③如图：连接， ∵与互为“旋转位似图形”， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：10，． （2）证明：∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形， ∴和互为“旋转位似图形”． （3）解：如图：如图，过E作于点H， ∵为等腰直角三角形，点G为中点， ∴， ∵与互为“旋转位似图形”， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 11．（2024·辽宁·一模）【问题初探】 定义：过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图.，，垂足分别为、，则为“点足三角形”，为“垂角”． 【性质探究】 （）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）． （）如图，点为平面内一点，，，垂足分别为、，将“垂角”绕着点旋转一个角度．分别与、相交于、.连接．求证：． 【迁移运用】 （）如图，，点在射线上，点是射线上的点，且，，则的外部是否存在一点使得“点足三角形”的面积为，若存在，求出此时的长；着不存在，请说明理由． 【答案】（）；（）证明见解析；()或． 【分析】()通过证明点四点共圆，可得，即可求解； ()根据旋转的性质可得 ，根据余弦的定义可推，根据相似三角形的判定可得； ()分三种情况讨论，由锐角三角函数表示出线段长，再由面积的数量关系列出方程可求解即可． 【详解】（）解：如图，∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴“垂角”度数为度， 故答案为：； （）将“垂角”绕着点旋转一个角度，分别与、相交于， ∴， ∵，， ∴在中，，     在中，， ∴, 即， 又∵， ∴； ()当定点在两直线的同侧，且在的下方时，令与交于点，过点作 于点，如图， ∵，，且， ∴， 又∵，，， ∴， 在中，， ， ∴ ， ∴， 在中，， 设，则，且， 在中，， 即， 解得， ∴，， 在中，， 设，则， ∵， 即， 解得（不合，舍去），， ∴，， ∴； 当定点在两直线的同侧，且在的上方时，令与交于点，过点作于点，如图， ∵，，且， ∴， 又∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， 整理得， 设，则，， ∵ ， 即， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得，(不合，舍去)， ∴； 当定点在直线的下方，直线的上方时，过点作于点，延长交于点，如图, ∵在四边形中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， 在中，， 即，设，则，， 在中，， ∴， 在中，， 即， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 整理得，， ∴，方程无解； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了垂直的性质，旋转的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，割补法计算不规则图形的面积，等角的补角相等，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式等，熟练掌握以上性质和运用分类讨论的方法求解是解题的关键． 12．（2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°； (2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示） 【答案】(1)=；120 (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理和等腰三角形的性质： （1）先判断出，进而判断出，得出，，即可得出答案； （2）在上截取，使，连接，先判断出，进而判断出，最后利用等边三角形性质求解，即可得出答案； （3）方法同（2）可得解 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴和是等边三角形， ∴ ∴； 故答案为：=；120； （2）解：；理由如下：如图， 在上截取，使，连接， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴ 由（1）知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3）解：；理由如下：如图， 在上截取，使，连接交于K， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴ 由（1）知，， ∴， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 题型04 旋转模型的运用 13．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 14．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】 【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中，，，， ∴①． ∴． 又∵， ∴在中，②． ∵，， ∴③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到． 过点作交边于点，连接．    由旋转的特征得． 由题意得， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 又∵为正方形的对角线， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，    将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则． 则，， ， ， 在和中 ， ， ∴， 过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴， 即， 又∴， ∴， 即， 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．    由旋转的特征得． ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 同理可得． ， ， ， 又∵， ∴四边形为矩形． ， ， 在中，． ， 解得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键． 15．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 16．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若P为所在平面上一点，且，则点P叫做的费马点．如图，在中，如果三角形内部有一点P满足，则的值最小．理由如下： 将绕点A逆时针旋转至，连接 是等边三角形 点四点在同一条直线上．此时，的值最小． 【应用】 （1）如图（一）所示，点P是内一点，且点P是的费马点，已知，，求的长； （2）如图（二）所示，分别以锐角的边向三角形外部作等边，等边，连接交于点P，求证：点P为的费马点； 【拓展】 （3）如图（三），圆内接矩形内有一点于点E，已知，且的最小值是，求的半径． 【答案】（1）  （2）见解析  （3） 【分析】（1）根据费马点的定义证明，得到对应边成比例解题即可； （2）连接，过点A作，于点F，G，根据等边三角形得到，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可； （3）先根据费马点的定义得到当G、F、P、D四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可． 【详解】（1）解：∵点P是的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， （2）证明：连接，过点A作，于点F，G， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是的费马点； （3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，， 根据题目可知当G、F、P、D四点共线时，此时，的值最小，且， 如图，延长交于点，则，连接， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴点P为外接圆的圆心， ∴，即 ∴的值最小为， ∴． 【点睛】此题考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键． 题型05 一线三等角模型的运用 17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)10 (3) (4)或 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．   ， ， ， ， ， 又且 ， ； （2）解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； （4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点    ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，    ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述， 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（2023·山东泰安·三模）【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明． 【拓展训练】 如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出） 【知识迁移】 将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析 【分析】（1）由，，推出，进而得出结论； （2）在上截取，连接，可证得，从而，进而得出； （3）以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，可得出，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）解：如图， 在上截取，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ， 故答案为：； （3）证明：如图， 以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 由（1）知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”． 19．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （3）证明，得，由，得，进而可得结论： （4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 20．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识， 添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）证明，则，，即可得到结论； （2）延长至点N，使，证明，则，设，则，，则，解得（负值已舍去）．则，过点M作于点D，求出，，，在中，利用勾股定理求值即可； （3）延长至点P，使，则，连接交的延长线于点Q，过点M作于点N，则四边形为矩形，证明是等腰直角三角形，则，证明为等腰直角三角形，则．设，则，，，证明，得到，即，解得．证明，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：． 证明：四边形为矩形， ． ， ， 又， ∵， ∴， ， ，， ． 故答案为：； （2）如图1，延长至点N，使， ． 为等边三角形， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 设，则，， ， 解得（负值已舍去）． ∴， 过点M作于点D， 在中，， ，，， 在中，， （3）如图3，延长至点P，使，则， 连接交的延长线于点Q， 过点M作于点N，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， 为等腰直角三角形，． 设，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， 解得，（舍去）， ． ， ， ， ∴． 【模拟预测】 1．（2025·广西·一模）【经典回顾】 （1）如图1，，都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，，都是等腰直角三角形，，连接，相交于点，与相交于点，类比（1）有．点，，分别为，，的中点，连接，，与相交于点．请判断，的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，如图3，绕点旋转，若，．求旋转过程中，面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）结合等边三角形的性质证明，从而可得结论； （2）由（1）知，可得，，结合和的中位线，可得，，，，再进一步求解即可； （3）由（2）可知，，可得，可得当最大时，最大，再进一步求解即可； 【详解】解：（1），为等边三角形， ，，， ， 即， ； （2）且； 证明：由（1）知， ，， ， 点，，分别为，，的中点， ，分别是和的中位线， ∴，，，， . ，，， 在和中，， ∵， ， ， ∵， ， ； （3）由（2）可知，， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大. 在绕点旋转时，， 当点恰好在的延长线上时最长，最大长度为， 的最大值. 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，旋转的性质，熟练的掌握基础几何图形的性质是解本题的关键. 2．（2025·河南濮阳·一模）综合与探究 如图，，点在的平分线上，于点． (1)【操作判断】 如图1，过点作于点，根据题意，在图1中画出，并直接写出的度数： _______________． (2)【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，作，交射线于点，探究，与之间的数量关系，并给出证明． (3)【拓展延伸】 点在射线上，连接，作，交射线于点，射线与射线相交于点．若，请直接写出的值． 【答案】(1)图见解析， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据尺规基本作图——作垂线，作出；再利用四边形内角和等于360度求出即可； （2）作于C，证明，得到，再证明，得到，从而得到，然后证明，由勾股定理，得，即可得，从而得出结论． （3）证明，得到，，从而可证得是等边三角形，得出，，再证明，设，则，由（2）知：，，从而求得，然后证明，得，即可求出，即可代入求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． （2）解：， 证明：如图，作于C， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵点在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴． （3）解：如图， 由（1）知：， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵点在的平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由（2）知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 3．（2024·湖北武汉·二模）问题提出 如图（1），的四边上依次有，，，四点，连接，交于点，，，试用含的式子表示． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，且时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），求的值（用表示）． 问题拓展 （3）如图（3），在四边形中，，，点，分别在，的延长线上，连接，交于点，且，若，，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作于，过点作于点N，根据正方形性质可证明，从而可得； （2）过点作于，过点作于点N，由平行四边形面积公式可得：，再证明，即可得； （3）连接BD，过点A作，过点D作，交于N，交延长线于，延长交延长线于K，构造（2）模型，可得：，再证明，，进而证明，再利用相似三角形的性质求出，，，在等腰构造直角三角形求出即可解题． 【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于点N， ∴， 又∵四边形是平行四边形，且，， ∴四边形是正方形， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作于，过点作于点N， ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，过点A作，过点D作，交于N，交延长线于M，延长交延长线于K， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴平行四边形是菱形， 设，则， 由，得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质，解题关键是构造相似三角形转化线段比例关系，解（3）的关键是构造同（2）的模型线段之间的关系，再利用求解线段． 4．（2024·湖南邵阳·二模）问题提出 如图（），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （）先将问题特殊化如图（），当点，重合时，易证（），请利用全等探究，，之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）； （）再探究一般情形如图（），当点，不重合时，证明（）中的结论仍然成立． 问题拓展 （）如图（），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先证明，得到，； （2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可； （3）过点作交于点，则，证明，，得，，，再利用勾股定理即可得解． 【详解】解：问题探究 （）．理由如下：如图（）， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （）证明：过点作交于点，则， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴． ∴，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． （）．理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 过点作交于点，则， ∴． ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键． 5．（23-24九年级上·广东茂名·期末）问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； （2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系； 问题拓展： 将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值． 【答案】问题探究（1）；（2）；问题拓展： 【分析】问题探究（1）在上截取，使得，证明得到，进一步证明，，即可求出； （2）在上截取，使，连接，证明得到，求出得到，进而得到； 问题拓展：过点A作的垂线交的延长线于点P，先计算出，．在中，，，再求出，进而证明，得到，即可求出． 【详解】解：问题探究（1）如图2中，在上截取，使得． ∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ∵，， ， ∵， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （2）结论：； 理由：如图1中，在上截取，使，连接． ∵，， ． ∵， ， ． ∵，， ． ∵， ， ∴， ； 问题拓展：如图3中，过点A作的垂线交的延长线于点P． ∵，， ，． ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴在中，， ，， ∴． ∵， ∴由（2）知，， ∴， 又∵， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，综合性强，理解题意，根据题意添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题关键． 6．（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且 ，探究线段之间的数量关系． (1)特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． (2)类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． (3)拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）证明，则，即可得到结论； （2）证明，得到，则，即可得到结论； （3）作，求出，证明，得到，则，，求出，，由得到，则，即可得到． 【详解】（1）证明：当时， ，， ∵， ∴ ∴ 当时，， ∴ ∴， ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ （3）作 ∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 7．（2024·广东深圳·模拟预测）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的正对．在中，，顶角的正对记作．由此可知一个角的大小与这个角的正对也是相互唯一确定的，所以我们可按上述方式定义的正对，例如，，请根据材料，完成以下问题：如图1，是线段上的一动点（不与点重合），点分别是线段的中点，以，为边分别在的同侧作等边三角形，连接和． (1)【阅读应用】①若等边三角形的边长分别为，则三者之间的关系为______； ②______； (2)【猜想证明】如图2，连接，猜想的值是多少，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，连接，若，则的周长是多少？此时的长为多少？（直接写出上述两个结果） 【答案】(1)①；② (2)猜想的值是，理由见解析 (3)的周长是，或8 【分析】（1）①利用中点的定义，证明，可得结论；②证明，作等腰三角形可得结论； （2）如图中，连接，通过全等证明，可得结论； （3）证明，可得，如图中，过点作交的延长线于点，求出的值，再利用对称性解决问题即可． 【详解】（1）解：①点，分别是线段，的中点， ，， ，， ， 即， ②由题意得，，， ， 同理，， ， 如图，， 则：， ∴， ． 故答案为：，； （2）解：猜想：． 理由：如图中，连接． 点是的中点，，都是等边三角形， ，， ， ， ， 同理可得，， ， ； （3）解：， ， 同理可证：， ， ，， ， 点，分别是线段，的中点，等边三角形，，的边长分别为，，， ，，， ，， ， ． 如图中，过点作交的延长线于点． ，， ，， 在中，， ， ， 由对称性可知，的长还可以为， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 8．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则 （2）由，则，即，即，解得：，即可求解 （3）①如图2所示，当时，设，则，则，即，解得：，即可求解； ②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由三角函数可求解． 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等知识．属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$