3.4 乘法公式第2课时（教学课件）数学新教材浙教版七年级下册

浙教版 七年级 数学 下册 3.4 乘法公式 第3章 整式的乘除 第2课时 教学目标 01 能理解完全平方公式( a ± b )2 = a2 ± 2ab + b2， 了解完全平方公式的几何背景 02 能利用完全平方公式进行简单的计算和推理 完全平方公式 01 课堂引入 如图，大正方形的边长为a + b。 请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积。通过计算能得出什么结论？能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这个结论？请试一试。 如看作1个大正方形， 则S = ( a + b )2 如看作2个小长方形和2个小正方形， 则S = a2 + 2ab + b2 S = ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 请计算：( a + b )2 = ____________。 02 知识精讲 a2 + 2ab + b2 解：( a + b )2 = ( a + b ) ( a + b ) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2。 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 和的平方 平方 平方 积的2倍 符号跟随 结构特征： ( 1 ) 左边是两个数的和的平方； ( 2 ) 右边是一个三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正， 中间一项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同。 02 知识精讲 两数和的完全平方公式： 一般地，我们有以下两数和的完全平方公式： ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2。 两数和的平方，等于这两数的平方和 ，加上这两数积的2倍。 口诀：首平方，末平方，积的两倍在中央(符号随中央“+”)。 02 知识精讲 完全平方公式的几何背景： 法一：S大正方形 = ( a + b )2 法二：S大正方形 = a2 + 2ab + b2 S = ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 用两数和的完全平方公式计算(填空)： ( 1 ) ( a＋1 )2 = ( )2＋2 ( ) ( ) + ( )2 = __________________； ( 2 ) ( 2a + 3b )2 = ( )2＋2 ( ) ( ) + ( )2 = __________________。 02 知识精讲 做 一做 a a 1 1 a2＋2a + 1 2a 2a 3b 3b 4a2＋12ab + 9b2 02 知识精讲 两数差的完全平方公式： 如果把( a - b )2写成[a + ( -b )]2， 就可以由两数和的完全平方公式写出两数差的完全平方公式： ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2。 两数差的平方，等于这两数的平方和 ，减去这两数积的2倍。 口诀：首平方，末平方，积的两倍在中央(符号随中央“-”)。 计算：( 1 ) ( 2a + 7b )2； ( 2 ) ( xy - 4 )2； 02 知识精讲 将2a、7b看作整体 做 一做 解：( 1 ) ( 2a + 7b )2 = ( 2a )2 + 2·( 2a )·( 7b ) + ( 7b )2 = 4a2 + 28ab + 49b2； 将xy看作整体 ( 2 ) ( xy - 4 )2 = ( xy )2 - 2·( xy )·4 + 42 = x2y2 - 8xy + 16； 02 知识精讲 完全平方公式的注意点： ( 1 ) 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ( 2 ) 对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式。 计算：( 3 ) ( a + b + c ) ( a + b - c )。 02 知识精讲 做 一做 【分析】法一：多项式的乘法法则 ( 3 ) ( a + b + c ) ( a + b - c ) = a2 + ab - ac + ab + b2 - bc + ac + bc - c2 = a2 + b2 - c2 + 2ab。 计算：( 3 ) ( a + b + c ) ( a + b - c )。 02 知识精讲 做 一做 将a + b看作整体 【分析】法二：乘法公式 ( 3 ) ( a + b + c ) ( a + b - c ) = ( a + b )2 - c2 = a2 + 2ab + b2 - c2 = a2 + b2 - c2 + 2ab。 乘法公式： 平方差公式和完全平方公式都是常用的乘法公式， 合理运用乘法公式能简化运算。 02 知识精讲 02 知识精讲 例3 用完全平方公式计算： ( 1 ) ( x + 2y )2； ( 2 ) ( 2a - 5 )2； ( 3 ) ( -2s + t )2； ( 4 ) ( -3x - 4y )2。 解：( 1 ) ( x + 2y )2 = x2 + 2·x·2y + ( 2y )2 = x2 + 4xy + 4y2； ( 2 ) ( 2a - 5 )2 = ( 2a )2 - 2·2a·5 + 52 = 4a2 - 20a + 25； 02 知识精讲 例3 用完全平方公式计算： ( 1 ) ( x + 2y )2； ( 2 ) ( 2a - 5 )2； ( 3 ) ( -2s + t )2； ( 4 ) ( -3x - 4y )2。 ( 3 ) ( -2s + t )2 = ( t - 2s )2 = t2 - 2·t·2s + ( 2s )2 = t2 - 4ts + 4s2； ( 4 ) ( -3x - 4y )2 = ( -3x )2 - 2·( -3x )·4y + ( 4y )2 = 9x2 + 24xy + 16y2。 第( 3 )题和第( 4 )题能直接用两数和的完全平方公式计算吗？ 02 知识精讲 例3 用完全平方公式计算： ( 1 ) ( x + 2y )2； ( 2 ) ( 2a - 5 )2； ( 3 ) ( -2s + t )2； ( 4 ) ( -3x - 4y )2。 ( 3 ) ( -2s + t )2 = ( -2s )2 + 2·( -2s )·t + t2 = 4s2 - 4st + t2； ( 4 ) ( -3x - 4y )2 = [-3x + ( -4y )]2 = ( -3x )2 + 2·( -3x )·( -4y ) + ( -4y )2 = 9x2 + 24xy + 16y2。 02 知识精讲 例4 一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m。求两块苗圃的面积分别增加了多少平方米。 解：设原正方形苗圃的边长为a (m)，边长增加1.5m后，新正方形的边长为( a + 1.5 )m。 ( a + 1.5 )2 - a2 = a2 + 3a + 2.25 - a2 = 3a + 2.25。 当a = 30.1时，3a + 2.25 = 3 × 30.1 + 2.25 = 92.55； 当a = 29.5时，3a + 2.25 = 3 × 29.5 + 2.25 = 90.75。 答：两块苗圃的面积分别增加了92.55m2，90.75m2。 02 知识精讲 课内练习 1.用完全平方公式计算： ( 1 ) ( 3 + x )2； ( 2 ) ( y - 7 )2； ( 3 ) ( 7 - y )2； ( 4 ) ( -2x - 3y )2； ( 5 ) ( 3 - t )2； ( 6 ) ( m - n )2。 解：( 1 ) ( 3 + x )2 = 32 + 2 × 3·x + x2 = 9 + 6x + x2 = x2 + 6x + 9； ( 2 ) ( y - 7 )2 = y2 - 2·y·7 + 72 = y2 - 14y + 49； ( 3 ) ( 7 - y )2 = 72 - 2 × 7·y + y2 = 49 - 14y + y2； = y2 - 14y + 49； 02 知识精讲 课内练习 1.用完全平方公式计算： ( 1 ) ( 3 + x )2； ( 2 ) ( y - 7 )2； ( 3 ) ( 7 - y )2； ( 4 ) ( -2x - 3y )2； ( 5 ) ( 3 - t )2； ( 6 ) ( m - n )2。 ( 4 ) ( -2x - 3y )2 = ( -2x )2 - 2 ( -2x )·3y + ( 3y )2 = 4x2 + 12xy + 9y2； ( 5 ) ( 3 - t )2 = 32 - 2 × 3·t + ( t )2 = 9 - 2t + t2 = t2 - 2t + 9； ( 6 ) ( m - n )2 = ( m )2 - 2·m·n + ( n )2 = m2 - mn + n2。 02 知识精讲 课内练习 2.下列各式的计算错在哪里？应怎样改正？ ( 1 ) ( a - b )2 = a2 - b2； ( 2 ) ( a + 2b )2 = a2 + 2ab + 2b2。 解：( 1 ) 不对， ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2； ( 2 ) 不对， ( a + 2b )2 = a2 + 2·a·2b + ( 2b )2 = a2 + 4ab + 4b2。 已知( 3x + a )2 = 9x2 + bx + 4，则b的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 解：∵( 3x + a )2 = 9x2 + 6ax + a2 = 9x2 + bx + 4， ∴a2 = 4，b = 6a， ∴a = ±2，b = ±12。 D 例1 03 典例精析 计算：( 1 ) 10032； ( 2 ) 99982。 解：(1)10032 = ( 1000 + 3 )2 = 10002 + 2 × 1000 × 3 + 32 = 1000000 + 6000 + 9 = 1006009； ( 2 ) 99982 = ( 10000 - 2 )2 = 100002 - 2 × 10000 × 2 + 22 = 100000000 - 40000 + 4 = 99960004。 例2 03 典例精析 下列等式成立的是（　　） A．( -x - 1 ) ( -x - 1 ) = x2 - 2x + 1 B．( -x + 1 )( -x + 1 ) = -x2 - 2x + 1 C．( 1 + x ) ( -x + 1 ) = 1 - x2 D．( -x + 1 ) ( -x - 1 ) = -x2 - 1 解：A．原式 = ( -x - 1 )2 = ( x + 1 )2 = x2 + 2x + 1 ，×； B．原式 = ( -x + 1 )2 = ( x - 1 )2 = x2 - 2x + 1，×； C．相同项：1，相反项：x与-x，原式 = 1 - x2，√； D．相同项：-x，相反项：1与-1，原式 = x2 - 1，×。 C 例3 03 典例精析 如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片。再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是（　　） A．( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 B．a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b ) C．( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 D．ab = [( a + b )2 - ( a - b )2] B 例4 03 典例精析 计算：( 1 ) ( a + 3b )2 ( a - 3b )2； ( 2 ) ( 2x + 3 + y ) ( 2x + 3 - y )。 解：( 1 ) 法一： 原式 = ( a2 + 6ab + 9b2 ) ( a2 - 6ab + 9b2 ) = …… 过于繁琐 ( 1 ) 法二：原式 = [( a + 3b ) ( a - 3b )]2 =[( a )2 - ( 3b )2)]2 =( a2 - 9b2 )2 = a4 - 18a2b2 + 81b4； 例5 03 典例精析 将2x + 3看作整体 ( 2 ) 原式 = ( 2x + 3 )2 - y2 = 4x2 + 12x + 9 - y2。 完全平方公式的拓展 计算：( a + b + c )2。 大正方形的面积即( a + b + c )2 = 3个小正方形与6个长方形的面积之和 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca。 a c a c b b 【分析】法一：几何法 01 课堂引入 【分析】法二：多项式的乘法法则 计算：( a + b + c )2。 原式= ( a + b + c ) ( a + b + c ) = a2 + ab + ac + ba + b2 + bc + ca + cb + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca。 01 课堂引入 01 课堂引入 计算：( a + b + c )2。 【分析】法三：完全平方公式 原式 = [( a + b ) + c]2 = ( a + b )2 + 2·( a + b )·c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca。 将a + b看作整体 02 知识精讲 完全平方公式的拓展公式： 一般地，我们有以下两数和的完全平方公式： ( a + b + c )2 = a2 + b2+ c2+ 2ab + 2bc + 2ca。 计算：( x - y - z )2。 例1 03 典例精析 将-y、-z看作整体 【分析】 原式 = [x + ( -y ) + ( -z )]2 = x2 + ( -y )2 + ( -z )2 + 2·x·( -y ) + 2·( -y )·( -z ) + 2·( -z )·x = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx。 课后总结 完全平方公式： ( a ± b )2 = a2 ± 2ab + b2。 两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和 ，加上(或减去)这两数积的2倍。 口诀：首平方，末平方，积的两倍在中央（符号随中央）。 完全平方公式的注意点： ( 1 ) 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ( 2 ) 对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式。 完全平方公式的几何背景： 完全平方公式的拓展公式： ( a + b + c )2 = a2 + b2+ c2+ 2ab + 2bc + 2ca。 浙教版 七年级 数学 下册 谢谢观看！ $$