3.4+乘法公式第2课时 教学课件 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

浙教版 七年级 数学 下册 3.4 乘法公式 第3章 整式的乘除 第2课时 1．从故事中抽象出完全平方公式，激发学生的学习兴趣，培养 学生的探究精神和创新意识． 2．通过实例演示、小组讨论等多种教学方式，培养学生的观察、 交流、归纳和验证能力． 新知导入 相等 一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？ a b b a 直接求：总面积 = 间接求：总面积 = ab b2 a2 ab (a + b)2 a2 + 2ab + b2 活动一：探究完全平方公式 你能用纸片拼出两个农夫土地的总面积吗？你能得到什么结论？ b a a b 农夫二 a 农夫一 b 活动一：探究完全平方公式 用不同的形式表示第二个农夫得到赏赐后田地的总面积，并进行比较，你发现了什么？ b a a b 农夫二 请计算：( a + b )2 = ____________。 02 知识精讲 a2 + 2ab + b2 解：( a + b )2 = ( a + b ) ( a + b ) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2。 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 和的平方 平方 平方 积的2倍 符号跟随 结构特征： ( 1 ) 左边是两个数的和的平方； ( 2 ) 右边是一个三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正， 中间一项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同。 02 知识精讲 两数和的完全平方公式： 一般地，我们有以下两数和的完全平方公式： ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2。 两数和的平方，等于这两数的平方和 ，加上这两数积的2倍。 口诀：首平方，末平方，积的两倍在中央(符号随中央“+”)。 新知讲解 （1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1； （2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4； p2 + 2·p·1 + 12 m2 + 2·m·2 + 22 都是形如 (a ＋ b)2 的多项式相乘 右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍 你能发现什么规律？ 新知讲解 a a b b = + + + a2 ab ab b2 （a+b)2= . a2+2ab+b2 和的完全平方公式： 你能根据图中的面积说明完全平方公式吗? 活动一：探究完全平方公式 活动一：探究完全平方公式 平方差公式和完全平方公式都是常用的乘法公式， 合理运用乘法公式能简化运算． 02 知识精讲 完全平方公式的几何背景： 法一：S大正方形 = ( a + b )2 法二：S大正方形 = a2 + 2ab + b2 S = ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 02 知识精讲 两数差的完全平方公式： 如果把( a - b )2写成[a + ( -b )]2， 就可以由两数和的完全平方公式写出两数差的完全平方公式： ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2。 两数差的平方，等于这两数的平方和 ，减去这两数积的2倍。 口诀：首平方，末平方，积的两倍在中央(符号随中央“-”)。 新知讲解 对任意的、，上述发现的规律都成立吗？ ， ， ， 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数乘积的 倍. 新知讲解 （3）(p – 1)2 = (_____)(_____) = ____________ ； （4）(m – 2)2 = (_____)(_____) = ____________. 探究：计算下列多项式的积. p – 1 p – 1 p2 – 2p + 1 m – 2 m – 2 m2 – 4m + 4 教材 例题 例2．一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1 m， 29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5 m．求两块苗圃 的面积分别增加了多少平方米． 教材 例题 计算：( 1 ) ( 2a + 7b )2； ( 2 ) ( xy - 4 )2； 02 知识精讲 将2a、7b看作整体 做 一做 解：( 1 ) ( 2a + 7b )2 = ( 2a )2 + 2·( 2a )·( 7b ) + ( 7b )2 = 4a2 + 28ab + 49b2； 将xy看作整体 ( 2 ) ( xy - 4 )2 = ( xy )2 - 2·( xy )·4 + 42 = x2y2 - 8xy + 16； 02 知识精讲 完全平方公式的注意点： ( 1 ) 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ( 2 ) 对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式。 新知讲解 （3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1； （4）(m – 2)2 = p2 – 2p + 1. p2 – 2·p·1 + 12 m2 – 2·m·2 + 22 都是形如 (a - b)2 的多项式相乘 右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍 你能发现什么规律？ 新知讲解 a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 . = (a−b)2 a−b a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 差的完全平方公式： 教材 例题 乘法公式： 平方差公式和完全平方公式都是常用的乘法公式， 合理运用乘法公式能简化运算。 02 知识精讲 02 知识精讲 例4 一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m。求两块苗圃的面积分别增加了多少平方米。 解：设原正方形苗圃的边长为a (m)，边长增加1.5m后，新正方形的边长为( a + 1.5 )m。 ( a + 1.5 )2 - a2 = a2 + 3a + 2.25 - a2 = 3a + 2.25。 当a = 30.1时，3a + 2.25 = 3 × 30.1 + 2.25 = 92.55； 当a = 29.5时，3a + 2.25 = 3 × 29.5 + 2.25 = 90.75。 答：两块苗圃的面积分别增加了92.55m2，90.75m2。 新知讲解 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2 公式结构特征： 记忆口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方” 1.左边是二项式的平方，右边是二次三项式； 3.公式中的字母 a，b 可以表示单项式，多项式. 2.右边是两项的平方和与这两项积的2倍； 教材 练习 新知讲解 应用完全平方公式计算时，应注意： （1）项数、符号、字母及其指数； （2）不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行； （3）弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面) 课后总结 完全平方公式： ( a ± b )2 = a2 ± 2ab + b2。 两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和 ，加上(或减去)这两数积的2倍。 口诀：首平方，末平方，积的两倍在中央（符号随中央）。 完全平方公式的注意点： ( 1 ) 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式； ( 2 ) 对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式。 完全平方公式的几何背景： 完全平方公式的拓展公式： ( a + b + c )2 = a2 + b2+ c2+ 2ab + 2bc + 2ca。 $