精品解析：青海省海东市第二中学等校2025届第二次模拟考试数学试卷

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示集合，再利用补集的定义求解. 【详解】集合，而， 所以. 故选：C 2. 复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出，进而求出对应点的位置. 【详解】依题意，，所以对应点位于第一象限. 故选：A 3. 已知直线：与圆：交于，两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心及半径，再利用圆的弦长公式求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 点到直线：的距离， 直线与圆相交，则. 故选：B 4. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，结合题意，可得边的等量关系与角的不等关系，根据余强定理，可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 5. 如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接， 由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 6. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量减法，向量的数量积及向量共线的坐标表示的公式即可求解. 【详解】因为，，所以. 又与的夹角为锐角，所以，且与不共线， 则，解得，且. 即x的取值范围为. 故选：C 7. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单调性和奇偶性得到，根据基本不等式“1”的妙用求解最小值， 【详解】的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，又在R上单调递增， 由，得， 则，即， 而， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是． 故选：B． 8. 如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小球的体积和原来水中的体积之和为整个圆台的体积，结合圆台体积的计算公式，列出方程，即可求得结果. 【详解】圆台水杯上底面圆半径为，下底面半径为， 当杯底水平放置时，液面半径为， 为方便理解，画出圆台的轴截面图如下所示： 因为此时杯中水的高度为，故为； 整个水杯盛满水时的体积为：， 未放置小球前水的体积为：， 又小球体积为； 故，即，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ） A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用平均数、中位数及众数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可. 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲：，乙：， 甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲得分的众数，乙得分的众数为，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确； 甲得分的平均数，乙得分的平均数，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误； 由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若是的极值点，则是函数的零点 D. 和所有交点的横坐标之和是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出判断A；利用最值及最小正周期判断B；利用极值点的意义，结合同角公式求解判断C；利用对称性求解判断D. 【详解】对于A，由的图象关于直线对称，得， 而，则，A正确； 对于B，，， 因此的最小值为的半周期，B错误； 对于C，由是的极值点，得， 则，即，C正确； 对于D，，由解得：或， 且在，上的图象分别关于直线，对称， 直线和的图象有4个交点，其横坐标由小到大依次为， ，因此，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 8是的一个周期 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，令，得，则， 令，得，函数为偶函数， 则，因此函数为奇函数，A错误； 对于B，令，， 于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确； 对于C，由选项B知，函数的图象关于对称， 又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确； 对于D，由，得， 所以，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出极小值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得；由，得或， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的极小值为. 故答案为： 13. 甲、乙等5名学生到这三个公司实习，要求每个公司至少有1人去实习，且每人只能到1个公司实习，则甲去公司实习的不同情况有______种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】分公司有名学生种情况，根据分类加法计数原理得到答案. 【详解】若公司只有甲名学生，则另外名学生到两个公司， 若两个公司各有名学生，则有种， 若两个公司有一个有名学生，另一个有名学生，则有种， 若公司有名学生，则有种， 若公司有名学生，则有种 根据分类加法计数原理，共有种. 故答案为：. 14. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，如图所示，点，分别在双曲线的左、右支上，且，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】延长与双曲线交于另一点，利用对称性、双曲线的定义及余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】延长与双曲线交于另一点，连接， 由，得，由对称性知四边形为平行四边形， 设，则，， ，在中，， 即，解得， 设双曲线的焦距为，在中，，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用，得出数列是首项，公比为3的等比数列，再计算求出通项公式； （2）应用等比数列求和公式计算求解即可； （3）根据等比数列求和公式结合指数幂的运算求解. 【小问1详解】 因为，令可得， 当时， 所以作差得， 所以，所以， 所以是首项，公比为3的等比数列，； 【小问2详解】 因为，所以； 【小问3详解】 因为，所以； 又因为，所以， 所以，因为单调递增，且， 所以， 则的最小值为5. 16. 已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，两点，且点到抛物线的准线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）已知为坐标原点，直线的斜率为，的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的准线方程，由已知求得即可. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出面积表达式求出值即可. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为，由点到抛物线的准线的距离为， 得，解得，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，直线方程为，设， 由消去得，则解得或， ，， 令直线与轴的交点，则的面积， 因此，解得， 所以直线方程为. 17. 如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）若，直线与平面所成角的正弦值为. ①求四棱柱的体积； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在梯形中，，，则， 在中，，， 则，，而，平面， 所以平面. （2）①24；② 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理证得，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）①取中点，利用线面角的定义求出，进而求出体积；②连接，利用几何法探求出两个平面的夹角，再进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由，平面，得平面， 取中点，连接，由是的中点，得， 由（1）知，平面，则是直线与平面所成的角， 即，，， 所以四棱柱的体积. ②连接，由①知平面，，则平面， 平面，则，而，于是， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 由是的中点，得，共面， 因此是平面与平面的夹角， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值是. 18. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，分析该餐馆订单的好评率是否与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求使事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 好评 非好评 合计 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 有关联； （2） 1 2 3 期望为； （3）80. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的值，将其与对应的小概率值比较即得. （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得. （3）由已知可得，利用二项分布概率公式求出概率表达式，再利用作商法求得使事件“”的概率最大时的值. 【小问1详解】 列联表如下： 好评 非好评 合计 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 零假设为餐馆订单的好评率与更换厨师无关联， 根据列联表中数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个， 而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有， 则， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 【小问3详解】 依题意，更换厨师后好评率为， 从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则， 于是， 由， 由，解得，而，则当时，单调递增； 由，解得，则当时，单调递减， 所以使事件“”的概率最大时的值为80. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出函数解析式，求出导数，根据导数的几何意义即可求出切线方程，求出横纵截距即可求解. （2）化为，构造函数，求出，得到函数的单调性，将表达式转化为，根据函数单调性得到不等式并反解，构造函数，利用求出即可求解. 【小问1详解】 当时，，， 切线的斜率，， 所以切点坐标为，切线方程为，， 当时，，当时，， 所以直线与轴交点为，与轴交点为， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 【小问2详解】 因为，，， 所以， 可化为：， 即， 令，， 所以为上的单调递增函数， 将， 转化为， 因为为上的单调递增函数，所以， 即，即， 整理有：， 令，， 令，即，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以， 因为恒成立， 所以. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用同构的方法对不等式进行变形，构造函数利用函数的单调性解决不等式恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线：与圆：交于，两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 5. 如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6，杯底的直径为4，高为，水杯中盛有部分水.当杯底水平放置时，杯中水的高度为，将半径为的小球放入杯中，小球被完全浸没，水恰好填满水杯，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ） A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若是的极值点，则是函数的零点 D. 和所有交点的横坐标之和是 11. 已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 8是的一个周期 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值是______. 13. 甲、乙等5名学生到这三个公司实习，要求每个公司至少有1人去实习，且每人只能到1个公司实习，则甲去公司实习的不同情况有______种.（用数字作答） 14. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，如图所示，点，分别在双曲线的左、右支上，且，若，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求的最小值. 16. 已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，两点，且点到抛物线的准线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）已知为坐标原点，直线的斜率为，的面积为，求直线的方程. 17. 如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）若，直线与平面所成角的正弦值为. ①求四棱柱的体积； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，分析该餐馆订单的好评率是否与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求使事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $