专题03 空间向量及其应用(九大题型+优选提升题)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题03 空间向量及其应用 题型概览 题型01 概念综合辨析 题型02 空间向量的表示 题型03 共面及其求参问题 题型04 由空间向量的夹角类型求参数 题型05 空间向量的数量积及应用 题型06 求点到平面的距离 题型07 利用空间向量求夹角 题型08 个数、集合问题 题型09 解答题（含存在性问题） ( 题型01 )概念综合辨析 1．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据空间向量的坐标表示可得. 【解析】由题意，故，，， 故， 故答案为： 2．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知向量，则向量的单位向量 ． 【答案】 【分析】计算出，从而可得出，即可求出向量的坐标. 【解析】， 因此向量的单位向量. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据在方向上的投影向量为计算可得. 【解析】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 【答案】/ 【分析】由条件，结合向量垂直的坐标表示列方程求即可. 【解析】因为与互相垂直，，， 所以， 解得. 故答案为：. ( 题型02 )空间向量的表示 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，三棱柱中，若，则 （用表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【解析】由题意， 故答案为：． 6．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【解析】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【解析】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【解析】因为， 所以， 所以， 故选：B. 9．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【解析】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： ( 题型03 ) 共面及其求参问题 10．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【解析】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 【答案】 【分析】向量共面定理建立等式，解方程求出的值. 【解析】∵共面， ∴一定存在，使得， 即，解得， 故答案为：5 12．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【解析】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【解析】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 14．（24-25高二上·上海·期中）已知空间非零向量、、，则下列命题中正确的是（   ） A．若、、共面，则、、，中至少存在一对向量平行； B．若，那么与、共面； C．若、、，不共面，那么、、所在直线中至少存在两条直线异面； D．若、、，不共面，那么、、所在直线中不可能存在两条直线异面. 【答案】B 【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【解析】对于A：当、、共面时，这时、、相当于这个平面内的三个平面向量， 因此这三个平面向量可以都不共线，故A错误； 对于B：若根据共面向量定理可知与、共面，故B正确； 对于C：设、、，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，故C错误； 对于D：如下图所示：    若、、，显然异面，故D错误. 故选：B. ( 题型04 ) 由空间向量的夹角类型求参数 15．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【解析】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 16．（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据且不共线求解即可. 【解析】由题意，且不共线，故，即. 当共线时，，此时，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： ( 题型0 5 )空间向量的数量积及应用 17．（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【答案】 【分析】由平方求解. 【解析】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. 18．（24-25高二上·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【解析】在空间直角坐标系中，可得点关于平面的对称点为， 则， 所以. 故答案为：. 19．（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 【答案】5 【分析】根据空间向量的线性运算可得，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可. 【解析】如图， 由题意知，设， 则， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 20．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积运算求解. 【解析】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以：或. 故答案为： 21．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】由点满足，其中，得到点是平面内的一点，再由当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高达到最小值求解. 【解析】如图所示： 根据题意，点满足，其中 所以， 所以， 所以点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故选：A． 22．（24-25高三上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题设得、，令，画出以为轴，，为母线画圆锥体，确定轨迹，即可得的范围，进而求的范围. 【解析】由题意，即，，即， 所以单位向量的位置关系如下图示，且， 以为轴，，为母线画圆锥体，底面中心分别为， 所以轨迹分别是圆锥、圆锥的底面圆周， 结合图知，，即. 故答案为： ( 题型0 6 ) 求点到平面的距离 23．（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】求出，则点到平面的距离. 【解析】因为平面经过点，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 24．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可． 【解析】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,1,，,1,，,0,， 所以,1,，,1,，,0,， 设平面的法向量为,,，则， 令，则，所以,,， 所以点到平面的距离为． 故答案为：． ( 题型0 7 ) 利用空间向量求夹角 25．（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据空间两直线所成角的以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】由，可以推出与所成角为， 但与所成角为时，或， 所以是与所成角为的充分不必要条件. 故选：A. 26．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】应用向量法求线面角的大小即可. 【解析】由题设，且平面OMQ的一个法向量， 令直线OP与平面OMQ所成角为， 则，所以. 故答案为： 27．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，求出后即可得解. 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. ( 题型0 8 ) 个数、集合问题 28．（21-22高二上·上海黄浦·期中）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 【答案】D 【分析】利用异面直线的定义，从正方体的八个顶点两两连线中任取两条异面直线，可以分类讨论其夹角可能取值，进而得解. 【解析】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为； 体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 故选：D 29．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可判断元素个数. 【解析】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. ( 题型 09 ) 解答题（含存在性问题） 30．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出、的坐标，即可求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，即可求出，再由面积公式求出，即可得解. 【解析】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； （2）因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 31．（24-25高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直棱柱的性质及，建立空间直角坐标系，根据，即可证明； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离. 【解析】（1）在直三棱柱中，即平面，， 又平面，所以，，如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，所以，即； （2）由（1）可得，，，所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以点到平面的距离. 32．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，的中点分别为，，连接，根据正棱柱的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面、平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【解析】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以.    因为为的中点，所以， 从而， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 33．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 (1)求证；平面，并求四棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正方形的性质得，结合正四棱锥的特征可由线线垂直得线面垂直；再根据锥体体积公式计算即可； （2）作出二面角的一个平面角，利用等积法及余弦定理计算解三角形即可. 【解析】（1）由题意可知底面，， 因为底面，则， 又平面， 所以平面， 因为该四棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则，底面正方形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （2）如图所示，作，垂足为E，连接， 结合正四棱锥的特征，易知，即， 所以为二面角的一个平面角， 在等腰中，由等面积法可知：， 即，所以， 在中，由余弦定理， 所以， 即二面角的大小为. 34．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到为等边三角形，故⊥，结合，得到⊥平面，从而面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出两法向量的夹角余弦值，结合二面角的大小为锐角，得到二面角的大小. 【解析】（1）连接，因为底面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形， 又为的中点，故⊥， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面， 所以平面平面； （2）由（1）知，⊥平面， 取的中点，则，故⊥平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 由图形可看出二面角的大小为锐角， 故二面角的大小为. 35．（23-24高二下·上海黄浦·期中）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质得到，又由线面垂直的性质得到，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【解析】（1）底面是正方形，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面． （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以， 所以，即二面角的正弦值为. 36．（23-24高二下·上海·期中）已知在三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，计算出，即可证明； （2）求出平面的法向量，利用向量法求出线面角的正弦值，即可求出夹角； 【解析】（1）因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以. （2）设平面的法向量，， 则，即，取，得， 又， 设直线与平面所成角为， 则，又， 所以，所以直线与平面所成角的大小为. 37．（24-25高三上·上海·期中）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点为母线的中点，为上一点，且平面，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，得到直线的方向向量与平面的法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得； （2）设，求出平面与平面的法向量后，利用空间向量的数量积的运算可得结论. 【解析】（1）由题意可知，平面平面，则，为中点， 又，， ，则． 过作平行线， 如图以此平行线所在直线为轴，，为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面法向量为，则， 则， 取，则直线与平面所成角的正弦值为； （2）不存在 ，， 所以， 设平面法向量为， 则， 则，令，则， 取，平面法向量为． 因为二面角为直二面角，，解得， 又因为，不符题意． 所以在线段上不存在一点，使得二面角为直二面角. 38．（23-24高二上·上海·期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点为靠近的三等分点处，使得. 【分析】（1）首先取的中点，连接，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角大小即可. （2）利用空间向量法求解直线到平面的距离即可. （3）设，再利用求解即可. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为垂直于底面，，所以垂直于底面， 又因为为等边三角形，为中点，所以. 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即. 又因为平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为二面角的平面角为为锐角， 所以，即. （2）因为，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，， 所以平面， 即直线到平面的距离等于点到平面的距离. ，设直线到平面的距离为， 则. （3）设，，，， 因为，所以，解得. 即. 因为，所以存在点为靠近的三等分点处，使得. 一、填空题 1．（23-24高三上·上海普陀·期中）在中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心，此时易得.类似在三棱锥中，各个顶点分别与对面三角形的重心的连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设，，，则 .（用、、表示） 【答案】 【分析】确定，，根据代入数据计算得到答案. 【解析】设点D为的重心，点E为的重心， ， ， ，， ，即， 故，解得，故， 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知空间四个单位向量满足：，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将该四个单位向量平移至共起点置于球中，利用空间向量的数量积计算，借助圆锥图形确定即可. 【解析】 如图所示，令共起点， 由题意易得， 同理， 设，则， 根据条件有， 所以分别在以所在直线为轴，O为顶点， 以夹角旋转一周得到的圆锥的侧面上， 观察图形可知当在平面内时，此时夹角最小， 易知， 则， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·期中）如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，则的取值范围为 【答案】 【分析】设交于点，，分析可知可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面，建系，设点，可得，进而确定截面的形状，整理可得，分析长度的最值即可得解. 【解析】设交于点，且，的中点为， 因为 ， 则，即， 可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面， 如图，以为坐标运算，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，则， 可得，可得， 直线上的点满足，结合可得， 可知直线与平面的交点为， 同理可得：平面与直线的交点依次为 ， 又因为， 注意到，则， 即，可知平面， 当点为与平面的交点时，取到最小值， 可设， 可得，结合可得，即， 则，所以取到最小值， 检验可知：当点为时，取到最大值， 所以取到最大值； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用空间向量求平面上的点满足的关系式，进而确定平面与正八面体的棱的交点，进而分析求解. 二、单选题 4．（24-25高三上·上海·期中）在正方体中，点P，Q分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题： ①对任意点P，均存在点Q，使得； ②存在点P，对任意的Q，均有，则（    ） A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来确定正确答案. 【解析】设正方体的边长为，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设，，， ① ，所以与不垂直，①错误. ② ，令，解得. 所以对任意的，存在，使得，此时是的中点，②正确. 故选：D 5．（23-24高三上·上海奉贤·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（    ）    A．与所成的角是 B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是 C．与平面所成的角的正弦值是 D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为 【答案】C 【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题. 【解析】 ，， ， 平面， 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ，，， 对于A， ， 且， ， 与所成的角是，故A错误； 对于B，设平面的法向量为， 则 令，则，，所以， 显然平面的法向量为， ， 平面与平面所成的锐二面角余弦值是，故B错误. 对于C，，故C正确； 对于D， 是线段上动点， 设， 为中点， ，， ， 当时，位于点，此时点到平面距离为, 当时，设平面的法向量为， 则 令，则，，所以， 点到平面距离 ， 当，即时，， 此时， ， 点到平面距离的最大值为，故D错误. 故选：C. 三、解答题 6．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）连接，可证，根据线面平行的判断定理可得平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可用表示平面的法向量，根据距离公式可求. （3）设，则根据夹角公式可得关于的方程，利用换元法可求的取值范围. 【解析】（1）证明：连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以//， 故四边形为平行四边形，则，//， 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又平面，不在平面内， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，故， 点到平面的距离为：， 解得， 故正四棱柱的高为； （3） 设，则， 由（2）知平面的一个法向量为， 设，则， 则， 故，设， 则， 故，设， 则在上有解； 因为的对称轴为， 故，故， 故，所以，故， 故线段的取值范围为． 7．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据已知易得，再由面面垂直的性质证平面BCDE，最后应用线面垂直的性质证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角即可； （3）设，，进而得到，证明平面得该面的法向量，通过的坐标表示列方程求参数，判断存在性. 【解析】（1）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，E为AD中点， 为等边三角形，如图2中O为BE的中点，则. 又平面平面BCDE，且平面平面，面， 所以平面BCDE，平面BCDE，所以. （2）如图2，连结OC，由已知得，又O为BE的中点，则. 由（1）知平面BCDE，面BCDE，则，， 以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2） ，易知. ，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，由， 得，即，取，得. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）如图2，假设在侧棱上存在点P，使得平面. 设，， ， . 易知四边形BCDE为菱形，且，而，则， 由（1）知，，且都在面内，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 由，得. 所以侧棱上存在点P，使得平面，且. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量及其应用 题型概览 题型01 概念综合辨析 题型02 空间向量的表示 题型03 共面及其求参问题 题型04 由空间向量的夹角类型求参数 题型05 空间向量的数量积及应用 题型06 求点到平面的距离 题型07 利用空间向量求夹角 题型08 个数、集合问题 题型09 解答题（含存在性问题） ( 题型01 )概念综合辨析 1．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    2．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知向量，则向量的单位向量 ． 3．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 4．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . ( 题型02 )空间向量的表示 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，三棱柱中，若，则 （用表示） 6．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 7．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 8．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . ( 题型03 ) 共面及其求参问题 10．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 11．（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 12．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 13．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25高二上·上海·期中）已知空间非零向量、、，则下列命题中正确的是（   ） A．若、、共面，则、、，中至少存在一对向量平行； B．若，那么与、共面； C．若、、，不共面，那么、、所在直线中至少存在两条直线异面； D．若、、，不共面，那么、、所在直线中不可能存在两条直线异面. ( 题型04 ) 由空间向量的夹角类型求参数 15．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 16．（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . ( 题型0 5 )空间向量的数量积及应用 17．（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 18．（24-25高二上·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 ． 19．（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 20．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 21．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 22．（24-25高三上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是 . ( 题型0 6 ) 求点到平面的距离 23．（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 24．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . ( 题型0 7 ) 利用空间向量求夹角 25．（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 26．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 27．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． ( 题型0 8 ) 个数、集合问题 28．（21-22高二上·上海黄浦·期中）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 29．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 斜率为 ． ( 题型 09 ) 解答题（含存在性问题） 30．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 31．（24-25高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 32．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 33．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 (1)求证；平面，并求四棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 34．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 35．（23-24高二下·上海黄浦·期中）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 36．（23-24高二下·上海·期中）已知在三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小. 37．（24-25高三上·上海·期中）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点为母线的中点，为上一点，且平面，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 38．（23-24高二上·上海·期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 一、填空题 1．（23-24高三上·上海普陀·期中）在中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心，此时易得.类似在三棱锥中，各个顶点分别与对面三角形的重心的连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设，，，则 .（用、、表示） 2．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知空间四个单位向量满足：，则的最大值为 . 3．（24-25高三上·上海·期中）如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，则的取值范围为 二、单选题 4．（24-25高三上·上海·期中）在正方体中，点P，Q分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题： ①对任意点P，均存在点Q，使得； ②存在点P，对任意的Q，均有，则（    ） A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 5．（23-24高三上·上海奉贤·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（    ）    A．与所成的角是 B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是 C．与平面所成的角的正弦值是 D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为 三、解答题 6．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 7．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$