专题02 圆锥曲线+曲线与方程(十一大题型+优选提升题)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题02 圆锥曲线+曲线与方程 题型概览 题型01 圆锥曲线的有关概念 题型02 圆锥曲线的简单性质及求参 题型03 焦距、焦点三角形 题型04 轨迹方程 题型05 根据直线与圆锥曲线的关系求参 题型06 弦长问题 题型07 参数方程、极坐标系方程 题型08 角度问题 题型09 向量问题 题型10 斜率之积问题 题型11 圆锥曲线的其他应用 ( 题型01 )圆锥曲线的有关概念 1．（24-25高二上·上海·期中）双曲线的实轴长为 ． 【答案】； 【分析】根据双曲线标准方程即可得出实轴长为. 【解析】由双曲线标准方程可知，可得； 即可得双曲线的实轴长为. 故答案为： 2．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】化椭圆方程为标准形式，求出长短半轴长，进而求出半焦距即得. 【解析】椭圆，即，长半轴长，短半轴长， 则半焦距，显然椭圆焦点在y轴上， 所以它的焦点坐标为. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的方程得出的值，进而得解. 【解析】抛物线，即为，∴， ∴抛物线的准线方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为 ． 【答案】/ 【分析】由题意，建立方程组，解之即可求解. 【解析】由题意知，设椭圆的标准方程为， 又，椭圆过点， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是 . 【答案】 【分析】由等轴双曲线的对称轴为直线，可求出双曲线的顶点坐标，进而求出和的值，可得出结果. 【解析】等轴双曲线的对称轴为直线， 联立得或， 故双曲线的顶点坐标为：和， 故，所以， 所以焦点坐标是和， 所以等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是. 故答案为：. ( 题型02 )圆锥曲线的简单性质及求参 6．（24-25高二上·上海·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆可求的取值范围，即可判断选项. 【解析】方程可化为. ∵方程表示焦点在轴上的椭圆， ∴， ∴，即， ∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件. 故选：C. 7．（24-25高三上·上海·期中）设 ，若抛物线 的焦点为坐标原点，则 . 【答案】/ 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，再由图象平移规则即可得解. 【解析】易知抛物线的焦点坐标为， 将抛物线向上或向下平移个单位可得到抛物线， 由焦点坐标变为，可得. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的性质求解即可. 【解析】因为椭圆， 所以椭圆上的点的横坐标取值范围为， 故答案为：. 9．（23-24高二下·上海松江·期中）设，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线方程得到，即可表示出离心率，再由的取值范围计算可得. 【解析】双曲线，则， 所以离心率， 因为，所以，所以，则， 所以， 即. 故答案为： 10．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【答案】A 【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断. 【解析】因为，， 又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，即，即， 所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔. 故选：A. 11．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，解得、，即可得解. 【解析】双曲线的渐近线方程为， 依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 12．（23-24高二上·上海·期中）双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ . 【答案】/-0.5 【分析】由点到直线距离公式及得到，结合，求出. 【解析】由于双曲线在左支位于渐近线之间，故， 因为，故， 又，故. 故答案为： 13．（24-25高三上·上海·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 . 【答案】3 【分析】利用双曲线的性质及两直线平行的充要条件计算即可. 【解析】易知的渐近线为， 又一条渐近线与直线平行，所以. 故答案为：3 14．（24-25高二上·上海·期中）若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】将焦点坐标代入直线方程可得. 【解析】由题知，抛物线的焦点为， 代入得，解得. 故选：B ( 题型03 ) 焦距、焦点三角形 15．（24-25高二上·上海松江·期中）设P是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义与性质计算即可. 【解析】由双曲线方程可知，双曲线的右顶点， 显然，所以P在双曲线左支上， 故. 故答案为： 16．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长. 【解析】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 17．（22-23高二下·上海普陀·期中）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则 【答案】12 【分析】根据三角形重心坐标公式以及抛物线的定义求解. 【解析】设三角形的三个顶点， 由条件可知，, 根据三角形的重心坐标公式，可得，所以， 根据抛物线的定义，可得 所以， 故答案为：12. 18．（24-25高二上·上海·期中）若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的几何性质与三角形三边关系定理可求解. 【解析】由，可得，所以， 所以焦点、的坐标分别为， 因为为椭圆上一动点，所以， ，， 所以， 当且仅当三点共线，且在之间时取等号，    所以周长的最小值为. 故答案为：. ( 题型04 ) 轨迹方程 19．（24-25高二上·上海·期中）若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为 【答案】 【分析】由椭圆的定义可知本题点的轨迹为椭圆，由定义即可得到的值，由此写出椭圆方程. 【解析】设，则，满足椭圆定义， ∴，∴，∴， ∵在轴上，所以点P的轨迹方程为. 故答案为：. 20．（22-23高二上·上海浦东新·期末）当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，结合中点坐标公式，利用点坐标表示出点坐标，代入椭圆方程中即可求得点轨迹方程. 【解析】设，， 为中点，，则，即， 又在椭圆上，，即， 点轨迹方程为：. 故选：D. 21．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【解析】因为，故的轨迹为双曲线的右支（扣除顶点）， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. ( 题型0 5 )根据直线与圆锥曲线的关系求参 22．（24-25高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【解析】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时； 当直线与渐近线不平行时，此时， 联立，整理可得， 因此，解得. 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或 23．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】联立方程，消得，再由题设条件即可求出结果. 【解析】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 24．（23-24高二下·上海·期中）若曲线与恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是为 . 【答案】 【分析】分别对曲线能表示的曲线类型进行分类讨论，再作出相对应的图象解不等式即可求得结果. 【解析】根据曲线方程可知与恒过定点和； 当表示圆时，此时，两曲线如下图所示： 显然，曲线与有三个不同的交点，不合题意； 当表示椭圆时，要使曲线与恰有两个不同的交点，如下图所示： 则需满足，解得； 当表示双曲线时，，双曲线的渐近线方程为， 要使曲线与恰有两个不同的交点，如下图所示： 需满足，解得； 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据两曲线方程得出它们恒过定点，再对曲线类型进行分类讨论，结合圆、椭圆、双曲线性质解不等式即可求得结果. ( 题型0 6 ) 弦长问题 22．（24-25高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【解析】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时； 当直线与渐近线不平行时，此时， 联立，整理可得， 因此，解得. 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或 23．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】联立方程，消得，再由题设条件即可求出结果. 【解析】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 24．（23-24高二下·上海·期中）若曲线与恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是为 . 【答案】 【分析】分别对曲线能表示的曲线类型进行分类讨论，再作出相对应的图象解不等式即可求得结果. 【解析】根据曲线方程可知与恒过定点和； 当表示圆时，此时，两曲线如下图所示： 显然，曲线与有三个不同的交点，不合题意； 当表示椭圆时，要使曲线与恰有两个不同的交点，如下图所示： 则需满足，解得； 当表示双曲线时，，双曲线的渐近线方程为， 要使曲线与恰有两个不同的交点，如下图所示： 需满足，解得； 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据两曲线方程得出它们恒过定点，再对曲线类型进行分类讨论，结合圆、椭圆、双曲线性质解不等式即可求得结果. ( 题型0 7 ) 参数方程、极坐标系方程 30．（23-24高二上·上海杨浦·期中）直线（为参数，）和曲线，（为参数，）交于、两点，则 . 【答案】/ 【分析】将参数方程化为直角坐标方程，再求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理、垂径定理计算可得. 【解析】直线（为参数，），即， 曲线，（为参数，），即，表示圆心为坐标原点，半径的圆， 其中坐标原点到直线的距离， 所以. 故答案为： 31．（23-24高二下·上海·期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 【答案】 【分析】根据公式法将极坐标方程化为直角坐标方程，结合点线距计算即可求解. 【解析】圆化为直角坐标方程为，圆心坐标为， 直线化为直角坐标方程为， 所以圆心到直线的距离是. 故答案为： 32．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 【答案】 【分析】由已知得出圆和直线的直角坐标方程，根据点到直线的距离公式，即可得出答案. 【解析】由已知可得. 因为，所以， 所以圆的直角坐标方程为，圆心为. 直线转化为直角坐标方程为，即. 又点到直线的距离， 即圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 33．（21-22高二下·上海宝山·期中）极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为 . 【答案】 【分析】化为直角坐标方程，判断为圆，化成标准形式，得到圆的半径，进而求得面积. 【解析】， ， ， ， 表示半径为5的圆，面积为, 故答案为： 34．（21-22高三下·上海静安·期中）方程（t为参数，）所对应曲线的普通方程为 ． 【答案】 【分析】直接用代入消元法消去t即可求解. 【解析】方程（t为参数，）消去t得：. 故答案为： 35．（21-22高二下·上海浦东新·期中）平面上同时建立直角坐标系和极坐标系，且以原点为极点，x轴正方向为极轴，则表示相同曲线的一对方程是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】逐项将极坐标方程化为直角坐标方程或将直角坐标方程化为极坐标方程即可比较判断． 【解析】对于A，与，表示圆，y=a表示直线，故A不符题意； 对于B，与，y=x表示直线，化为极坐标方程为θ=，与表示不同曲线，故B不符题意； 对于C，与，y=cosx是余弦函数图像，表示圆，故C不符题意； 对于D，与，，故D符合题意． 故选：D． ( 题型0 8 ) 角度问题 36．（22-23高三上·上海·期中）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是 【答案】 【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线联立，求出点的坐标，由此可得，进而可以求出，的长度，再由椭圆的定义即可求解． 【解析】解：设，，则抛物线， 直线，联立方程组，解得，， 所以点的坐标为，所以，又，所以 所以，所以， 则， 所以抛物线的准线方程为：， 故答案为：． 37．（20-21高三上·上海·期中）已知F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若，，则直线FA的斜率为 ． 【答案】 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A的坐标，由斜率公式计算可得所求值． 【解析】 解：的焦点，准线方程为， 如图，设A在x轴上的射影为N，准线与x轴的交点为M， 由，， 可设，， 可得， ， 即有，， 则直线AF的斜率为． 故答案为． 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题． ( 题型 09 ) 向量问题 38．（23-24高二下·上海·期中）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，由，可得，进而可得，可求椭圆的离心率. 【解析】根据题意可得，设， ，，， 又点在椭圆上， ，∴椭圆的离心率为． 故答案为：. 39．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是 （结果用表示） 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式表示，由直线倾斜角的大小得出，并结合向量共线的关系进行计算得出结果. 【解析】设，， 由点在双曲线上得，即. 则 ， 同理，，如图，由直线倾斜角为可知，，   ， ， 设，则， ， ， . 故答案为：. ( 题型 10 ) 斜率之积问题 40．（24-25高三上·上海·期中）已知为正方形，若椭圆与双曲线都以、为焦点，且图象都过、点，则椭圆与双曲线的离心率之积为 . 【答案】1 【分析】令正方形的边长为2，建立平面坐标系，则，利用待定系数法求椭圆、双曲线的参数，进而求离心率，即可得答案. 【解析】令正方形的边长为2，且，如下图， 若且，则，可得， 则； 若且，则，可得， 则； 所以. 故答案为：1 41．（24-25高二上·上海·期中）若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 【答案】 【分析】直接由斜率公式结合双曲线方程即可求解. 【解析】由题意设， 当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，， 则. 故答案为：. 42．（21-22高二下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M､N是椭圆上的两个动点，动点P满足：，直线与直线斜率之积为，若点，则的最大值是 . 【答案】 【分析】设、，根据直线与直线斜率之积为，得到，根据得到，根据两点间的距离公式以及，，，得到，再根据二次函数知识可得结果. 【解析】设、，则，， 因为直线与直线斜率之积为，所以，即， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以当时，取得最大值. 故答案为：. ( 题型 11 ) 圆锥曲线的其他应用 43．（23-24高三上·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，以抛物线的焦点为圆心且与直线相切的圆的面积为 . 【答案】 【分析】根据条件，求出圆心，再利用点到直线的距离公式即可求出结果. 【解析】因为抛物线的焦点为，所以圆心为， 又圆且与直线相切，所以半径， 所以，圆的面积为， 故答案为：. 44．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理、椭圆的离心率公式、基本不等式进行求解即可. 【解析】不妨设该椭圆的焦点在横轴上，如图所示： 在直角三角形中，，， 则有，设椭圆的标准准方程为， 则有，椭圆的焦距为， 因此的离心率为， 当 时，由当且仅当时，取等号， 于是有，时，取等号， 故的离心率的最小值为， 故答案为： 45．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 【答案】 【分析】利用等面积法即可求解，根据取时最大求解. 【解析】 如图所示，由椭圆定义，，， 则，故， 要使最大，则， 故 故答案为： 46．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到抛物线方程. 【解析】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故抛物线的方程为. 故答案为：. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为 ．    【答案】/ 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【解析】由题意，可作图如下：    则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 【答案】 【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可. 【解析】如图，设的内切圆与三边分别相切于， 可得，，， 又由双曲线定义可得， 则， 又，解得， 则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为. 又，可得， 化简得，即， 即是的平分线，由于，， 所以点是的内心，且半径为， 则， 又， 所以. 故答案为：. . 【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据条件式化简求得，即得是的平分线，再结合双曲线定义和内切圆的性质求得点是的内心. 二、单选题 3．（24-25高三上·上海·期中）已知定圆，点A是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：(1)椭圆；(2)双曲线；(3)抛物线；(4)圆；(5)直线；(6)一个点.其中所有可能的结果有（    ）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】作出图像，通过椭圆，双曲线，圆的定义和圆的性质，判断结论. 【解析】(1)椭圆（点A在圆内，不包括圆心） 如图：    ∵，∴，即点的轨迹是以为焦点的椭圆. (2)双曲线（点A在圆外） 如图：    ∵，∴，即点的轨迹是以为焦点的双曲线. (4)圆（点A恰为圆心）    当与重合时，在中点，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. (6)一个点（点A在圆上）    当在圆上时，为弦，所以一定与重合，所以点的轨迹是点. 故选：. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知、是曲线上两点，若对于平面内任意不在曲线上的点，使得曲线上存在点和点使得，则称曲线是“曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“曲线”；②任意双曲线都是“曲线”．则（    ） A．①成立②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】D 【分析】根据“YY曲线”的定义判断椭圆和双曲线是否是“YY曲线”. 【解析】对椭圆：如图： 设椭圆（），作圆，与圆：， 取圆上点，向圆作切线，，则. 因为椭圆必在圆内，所以椭圆上不存在，使能成立.所以椭圆不是“YY曲线”，故①不成立； 对双曲线，取双曲线：，.如图： 过点作直线，与双曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为：； 过作直线的垂线，其斜率为，则与双曲线无公共点，即双曲线上不存在，使能成立.所以不是所有双曲线都是“YY曲线”. 故②不成立. 故选：D 三、解答题 5．（23-24高二下·上海·期中）如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,． (1)求点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设出点坐标,代入椭圆方程,根据列出方程联立即可求出点坐标; (2)设出点坐标,根据M到直线的距离等于,列出方程,求出点坐标,设出椭圆上点的坐标,根据两点间距离公式列出式子,将点坐标满足的椭圆方程代入消,可得到关于的二次函数,配方即可求得距离平方的最小值,进而求得距离的最小值. 【解析】（1）解:由题知 , P在椭圆上,不妨设, ,, , 即, 两式联立可得: , 故点P的坐标为; （2）M是椭圆长轴上的一点, 不妨设, ,, , M到直线的距离等于, , 即,因为 所以 解得 设为椭圆任一点, 则满足,即, 则 , 故当时有最小值为. 6．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点代入椭圆方程，解出、的值，再由椭圆中求出离心率即可； （2）根据已知条件，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论解出符合题意的直线方程即可； （3）根据已知条件设直线方程，与椭圆方程联立，设，，， 写出韦达定理，将转化为的函数，再根据函数值域得出点纵坐标的取值范围，再验证直线斜率不存在的情况，得到最终结果. 【解析】（1）依题意，，解得， 则离心率； （2） 由（1）可知，椭圆C的方程为， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，易知此时 点到直线的距离为，则，与已知矛盾； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 设， 联立， 消去整理可得， 则， 由弦长公式可得，， 整理得：， 点A到直线l的距离为， 则 解得或， 则直线l的方程为或； （3）若过中点的动直线的斜率存在， 则可设该直线方程为 设，，， 由，可得， 故， 且，， 而，， 故 因为恒成立， 故，即， 解得， 若过点的动直线的斜率不存在，则，， 此时需，两者结合可得 故这个点纵坐标的取值范围为. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆锥曲线+曲线与方程 题型概览 题型01 圆锥曲线的有关概念 题型02 圆锥曲线的简单性质及求参 题型03 焦距、焦点三角形 题型04 轨迹方程 题型05 根据直线与圆锥曲线的关系求参 题型06 弦长问题 题型07 参数方程、极坐标系方程 题型08 角度问题 题型09 向量问题 题型10 斜率之积问题 题型11 圆锥曲线的其他应用 ( 题型01 )圆锥曲线的有关概念 1．（24-25高二上·上海·期中）双曲线的实轴长为 ． 2．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为 ． 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）抛物线的准线方程为 ． 4．（23-24高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为 ． 5．（24-25高二上·上海·期中）等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是 . ( 题型02 )圆锥曲线的简单性质及求参 6．（24-25高二上·上海·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高三上·上海·期中）设 ，若抛物线 的焦点为坐标原点，则 . 8．（24-25高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是 ． 9．（23-24高二下·上海松江·期中）设，则双曲线的离心率的取值范围是 . 10．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 11．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 12．（23-24高二上·上海·期中）双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ . 13．（24-25高三上·上海·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 . 14．（24-25高二上·上海·期中）若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 ( 题型03 ) 焦距、焦点三角形 15．（24-25高二上·上海松江·期中）设P是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则 . 16．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 17．（22-23高二下·上海普陀·期中）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则 18．（24-25高二上·上海·期中）若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为 . ( 题型04 ) 轨迹方程 19．（24-25高二上·上海·期中）若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为 20．（22-23高二上·上海浦东新·期末）当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． ( 题型0 5 )根据直线与圆锥曲线的关系求参 22．（24-25高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 23．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 24．（23-24高二下·上海·期中）若曲线与恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是为 . ( 题型0 6 ) 弦长问题 25．（23-24高二上·上海浦东新·期中）过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若两点的横坐标之和为3，则（    ） A．5 B． C． D．4 26．（24-25高二下·上海·期中）椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 27．（23-24高二下·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 28．（23-24高二下·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 29．（24-25高二上·上海·期中）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . ( 题型0 7 ) 参数方程、极坐标系方程 30．（23-24高二上·上海杨浦·期中）直线（为参数，）和曲线，（为参数，）交于、两点，则 . 31．（23-24高二下·上海·期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 32．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 33．（21-22高二下·上海宝山·期中）极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为 . 34．（21-22高三下·上海静安·期中）方程（t为参数，）所对应曲线的普通方程为 ． 35．（21-22高二下·上海浦东新·期中）平面上同时建立直角坐标系和极坐标系，且以原点为极点，x轴正方向为极轴，则表示相同曲线的一对方程是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 ( 题型0 8 ) 角度问题 36．（22-23高三上·上海·期中）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是 37．（20-21高三上·上海·期中）已知F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若，，则直线FA的斜率为 ． ( 题型 09 ) 向量问题 38．（23-24高二下·上海·期中）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为 ． 39．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是 （结果用表示） ( 题型 10 ) 斜率之积问题 40．（24-25高三上·上海·期中）已知为正方形，若椭圆与双曲线都以、为焦点，且图象都过、点，则椭圆与双曲线的离心率之积为 . 41．（24-25高二上·上海·期中）若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 42．（21-22高二下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M､N是椭圆上的两个动点，动点P满足：，直线与直线斜率之积为，若点，则的最大值是 . ( 题型 11 ) 圆锥曲线的其他应用 43．（23-24高三上·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，以抛物线的焦点为圆心且与直线相切的圆的面积为 . 44．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为 . 45．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 46．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为 ．    2．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 二、单选题 3．（24-25高三上·上海·期中）已知定圆，点A是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：(1)椭圆；(2)双曲线；(3)抛物线；(4)圆；(5)直线；(6)一个点.其中所有可能的结果有（    ）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25高二上·上海·期中）已知、是曲线上两点，若对于平面内任意不在曲线上的点，使得曲线上存在点和点使得，则称曲线是“曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“曲线”；②任意双曲线都是“曲线”．则（    ） A．①成立②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题 5．（23-24高二下·上海·期中）如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,． (1)求点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 6．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$