专题01 圆锥曲线（6大考点55题）（期末真题汇编，上海专用）高二数学下学期

**基本信息** 上海多校高二下圆锥曲线专题汇编，含6大考点55题，涵盖选择、填空、解答，基础题与综合题结合，适配期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选|4题|椭圆方程（题15）、抛物线化简（题43）|基础概念辨析，贴合期末基础考查| |填空|39题|圆的半径（题1-3）、双曲线渐近线（题34）|覆盖高频考点，注重基础计算| |解答|12题|椭圆面积最值（题24）、抛物线焦点弦（题51）|多校期末真题，综合考查方程与几何性质，梯度分明|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01圆锥曲线(6大考点55题) 目目 考点01 圆的一般方程 1.2 2.4 3.3 4.(x-2)2+(y+1)2=2 5.(3,1 目目 考点02 直线与圆的位置关系 6.C 7.(1,3 8.(5,+0) 9.2√2 10.x+2y-5=0 11.以(1，-3)为圆心、√10为半径，且位于圆0内的一段圆弧PQ 12.(片 (2)x=0或3x-4y+16=0 13.(01=5 (2)r=√2 14.(1)3x+4y-36=0 (2)(3,1；证明见解析 (3)弦长为4√5；直线方程为2x-y-5=0 目目 考点03 椭圆 15.D 16.8 1/4 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 . 18 19. 20.2 21.6 2.02+y2=1 4 (2)证明见解析 (3)2 23.wy 唱 (③)是，号 240号 2 (3)最大值是1 25.(号 ② (3)证明见解析 6,四+y=l,e的 2 e*--器 (3)证明见解析 目目 考点04 双曲线 27.y2 =1 416 28.4 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.V5或6 31.2 32. 5/18 1717 4 33.arctan7 3 34.y=± 35.242 7 36.5 37.arctan 26 38.（1,3 39.45或4 3 40.1 41.y=±37 42.(1)P2,22) (230 3 目目 考点05 抛物线 43.B 44.A 45.4.83 46.4 n苦 48.=-2 49.25 50.2y2 1 1 4 51.(MN=1 3 3/4 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)3 52.(1)y2=4V7x (2327 > (3)d= 32或d= 目目 考点06 曲线与方程 53.B 54.A 55.D 专题01 圆锥曲线（6大考点55题） 6大高频考点概览 考点01圆的一般方程 考点02直线与圆的位置关系 考点03椭圆 考点04 双曲线 考点05抛物线 考点06曲线与方程 地 城 考点01 圆的一般方程 1．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)圆的半径为__________． 2．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)设实数，圆的面积为，则________． 3．(24-25高二下·上海杨浦区·模拟)已知圆的方程是，则这个圆的半径是____________. 4．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 5．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)已知圆，则圆的圆心坐标为__________. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 6．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 8．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是_______． 9．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)已知直线与圆相交于、两点，则________. 10．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 11．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是__________． 三、解答题 12．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 13．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 14．(24-25高二下·上海桃浦中学·期末)已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 地 城 考点03 椭圆 一、单选题 15．(24-25高二下·上海桃浦中学·期末)方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 16．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是__________. 17．(24-25高二下·上海松江区·期末)若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是__________ 18．(24-25高二下·上海大同中学·期末)已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 19．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为________． 20．(24-25高二下·上海崇明区·期末)椭圆的两个焦点之间的距离为_______． 21．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)椭圆的短轴的长是__________. 三、解答题 22．(24-25高二下·上海金山中学·期末)已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 23．(24-25高二下·上海洋泾中学·期末)已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、.    (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 24．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 25．(24-25高二下·上海崇明区·期末)如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 26．(24-25高二下·上海青浦区·调研)已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 地 城 考点04 双曲线 一、填空题 27．(24-25高二下·上海大同中学·期末)已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为________． 28．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 29．(24-25高二下·上海洋泾中学·期末)已知双曲线：，则的离心率为_____. 30．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为________． 31．(24-25高二下·上海实验学校·期末)已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 32．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)在相距2000m的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s，根据以上信息，爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率是______． 33．(24-25高二下·上海松江区·期末)双曲线的两条渐近线的夹角大小是__________ . 34．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)双曲线的渐近线方程是__________. 35．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________.    36．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有________种情况. 37．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为____________________. 38．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 39．(24-25高二下·上海杨浦区·模拟)双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是____________. 40．(24-25高二下·上海静安区·期末)若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______． 41．(24-25高二下·上海虹口区·期末)如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的渐近线方程为_____． 二、解答题 42．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 地 城 考点05 抛物线 一、单选题 43．(24-25高二下·上海崇明区·期末)方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 44．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题 45．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 46．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________． 47．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为______. 48．(24-25高二下·上海普陀区长征中学·期末)顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是_____. 49．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为_____________. 50．(24-25高二下·上海青浦区·调研)在平面直角坐标系中，已知双曲线是以直线为渐近线，且经过抛物线的焦点，则该双曲线的标准方程是_____. 三、解答题 51．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.，求点的横坐标； 52．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为焦点的抛物线的标准方程； (2)已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； (3)设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 地 城 考点06 曲线与方程 53．(24-25高二下·上海同济大学第二附属中学·期末)坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 54．(24-25高二下·上海虹口区·期末)对于曲线，给出两个结论：①曲线所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线上的点到原点的距离的最大值为．则（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 55．(23-24高二下·上海闵行区·调研)已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆锥曲线（6大考点55题） 6大高频考点概览 考点01圆的一般方程 考点02直线与圆的位置关系 考点03椭圆 考点04 双曲线 考点05抛物线 考点06曲线与方程 地 城 考点01 圆的一般方程 1．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)圆的半径为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)设实数，圆的面积为，则________． 【答案】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海杨浦区·模拟)已知圆的方程是，则这个圆的半径是____________. 【答案】3 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【详解】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3. 故答案为：3 4．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 5．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)已知圆，则圆的圆心坐标为__________. 【答案】 【分析】应用圆的一般方程圆心坐标公式计算求解. 【详解】由圆，则圆的圆心坐标为. 故答案为：. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 6．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 二、填空题 7．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 8．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定曲线表示的图形并作出，再利用直线与圆的位置关系求出范围. 【详解】由，得，则曲线表示以原点为圆心，1为半径的圆在及右侧部分， 直线恒过定点，斜率为，在同一坐标系内作出直线与曲线， 观察图象知，且，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 9．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)已知直线与圆相交于、两点，则________. 【答案】 【分析】利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 10．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 【答案】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 11．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是__________． 【答案】以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算化简，即可得到结果. 【详解】 如图所示，设弦的中点的坐标为，连接，由， ，可得，即，得．又，， 于是，即． 因此，点的轨迹是以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 故答案为：以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 三、解答题 12．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据条件可得，结合基本不等式求的最大值； （2）先验证过点斜率不存在直线满足条件，再由直线与圆有且只有一个交点结合几何关系列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为； （2）过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或. 13．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； （2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 14．(24-25高二下·上海桃浦中学·期末)已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)弦长为；直线方程为 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 地 城 考点03 椭圆 一、单选题 15．(24-25高二下·上海桃浦中学·期末)方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化成椭圆的标准方程形式，即可求解. 【详解】方程等价于， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以， 解得，则实数k的取值范围是. 故选：D. 二、填空题 16．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是__________. 【答案】8 【分析】设椭圆右焦点为，连接，.根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.故周长.根据椭圆的定义及椭圆的标准方程，即可求解周长最大值为. 【详解】    如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，. 则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合. ∴周长. 根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：， ∴，即周长最大值为. 故答案为：. 17．(24-25高二下·上海松江区·期末)若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是__________ 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故答案为：. 18．(24-25高二下·上海大同中学·期末)已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【答案】/ 【分析】首先根据椭圆的定义求出的值，然后可确定，进而得到点的坐标，从而求出直线的斜率. 【详解】如图所示，根据椭圆的定义可知，①， 由题意知②， 联立①②方程组可解得. 而，所以，即为直角三角形，. 由于在第二象限，所以点的坐标为. 因为，所以直线的斜率为. 故答案为：. 19．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义得出距离和为定值，再应用焦半径范围及对勾函数单调性计算求解. 【详解】，是椭圆的两个焦点，所以， 点在椭圆上，则，，所以， 又因为单调递减，单调递增， 则， 则， 当或时，则最大值为. 故答案为：. 20．(24-25高二下·上海崇明区·期末)椭圆的两个焦点之间的距离为_______． 【答案】2 【分析】确定椭圆焦点坐标，即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：， 所以， 则焦点坐标为， 所以两个焦点之间的距离为2， 故答案为：2 21．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)椭圆的短轴的长是__________. 【答案】6 【分析】方程化为椭圆的标准方程，即可得出，求解即可. 【详解】由可得， 所以，即，， 所以椭圆的短轴的长为， 故答案为：6 三、解答题 22．(24-25高二下·上海金山中学·期末)已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）与转换成关于，，的方程，解方程即可. （2）设，代入椭圆方程中，作差即可得到结论. （3）利用四边形为平行四边形，把四边形面积转化成面积的2倍，然后设直线的方程为，联立椭圆方程，设而不求，把的面积表示成关于的函数，换元，利用基本不等式求出函数最值. 【详解】（1）设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为． （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值． （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为．    23．(24-25高二下·上海洋泾中学·期末)已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、.    (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）求出点关于直线的对称点，由椭圆的性质得出，进而得出椭圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，求出的坐标，由数量积公式得出， 当直线的斜率存在时，设出方程，并联立椭圆方程，由韦达定理求出，再由数量积公式得出，再结合的范围求出的取值范围； （3）设出直线，直线的方程，联立两直线方程求出点的纵坐标，再结合，从而可求解. 【详解】（1）因为点关于直线的对称点为，且在椭圆上， 所以，又因为又，故，则， 则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消去整理得， 由题意可得，化简得， 则由根与系数关系得， 所以 ， 又因为，所以， 综上所述:. （3）点的纵坐标为定值，证明如下： 由题意得，：， 将两直线方程联立，消去得， 由（2）可得， 从而得， 故点的纵坐标为定值. 24．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值是1 【分析】（1）设出交点坐标，联立方程，求得交点坐标，根据三角形面积公式，可得答案； （2）联立方程，写出韦达定理，根据三角形面积公式与弦长公式，化简方程，可得答案； （3）由（2）可知弦长表达式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】（1）设，．由得，解得，， 可得下图： 则．因此． （2）由得． 由， 可得，， 由，得． 又， 代入，得，解得，． 直线AB的方程是． （3）． 由基本不等式得， 当且仅当，等号成立． 由第（2）小题的结论知，S可以取到1，因此S的最大值是1． 25．(24-25高二下·上海崇明区·期末)如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆方程，直接求离心率； （2）首先利用垂直关系，先求点的坐标，再求点的坐标； （3）首先设，设，，首先根据，得到，再根据，得到坐标的关系，最后根据，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率； （2），，设，，， 因为，所以，即，即 设，，， 由题意可知，，得，， 则； （3）设，，设，，，， 由，所以，得， ，，， 由，所以，且， 化简得，又， 所以，即 所以，得， . 26．(24-25高二下·上海青浦区·调研)已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知求出椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）根据已知有，联立椭圆得，进而求圆心和半径，即可得圆的方程； （3）设点，直线为:，直线为，联立求的横坐标，再应用三角形面积公式求比值. 【详解】（1）因为是边长为的等边三角形，所以，， 又，所以，， 故椭圆的标准方程为，离心率为； （2）因为的一个法向量是且直线过点， 所以直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，得，解得， 所以线段中点为，线段长度为， 故以为直径的圆的标准方程为； （3）由题意，点为直线过点的垂线与直线过点的垂线的交点， 设点，所以直线为:，直线为， 则直线为，直线为， 联立直线方程与直线方程，消去，得， 整理得，即，解得， 因为， 所以，得证. 地 城 考点04 双曲线 一、填空题 27．(24-25高二下·上海大同中学·期末)已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合双曲线渐近线方程求出即可. 【详解】由双曲线C：的实轴长为4，得， 双曲线C：的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线方程为， 则，解得，所以C的方程为. 故答案为： 28．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 29．(24-25高二下·上海洋泾中学·期末)已知双曲线：，则的离心率为_____. 【答案】 【分析】根据离心率公式直接求解即可. 【详解】已知双曲线：，则的离心率为. 故答案为：. 30．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为________． 【答案】或 【分析】根据题意分焦点在轴和轴，再利用渐近线与直线平行可求离心率. 【详解】当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 故答案为：或. 31．(24-25高二下·上海实验学校·期末)已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】2 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 32．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)在相距2000m的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s，根据以上信息，爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率是______． 【答案】/ 【分析】根据题意结合双曲线的定义与方程求解离心率即可. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则， 设爆炸点为， 由题意可得：， 所以爆炸点在以为焦点的双曲线上（左半支）， 设双曲线的焦距为，实轴长为，虚轴长为， 可得，所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 33．(24-25高二下·上海松江区·期末)双曲线的两条渐近线的夹角大小是__________ . 【答案】 【分析】根据题意，求得双曲线的渐近线方程，结合正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其渐近线的方程为， 则渐近线与轴的夹角， 设渐近线与轴的夹角为，则， 所以两条渐近线的夹角为，且，则， 所以两条渐近线的夹角为. 故答案为：. 34．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程直接求解渐近线. 【详解】因为双曲线所以渐近线方程为， 故答案为：. 35．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________.    【答案】/ 【分析】由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 36．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有________种情况. 【答案】5 【分析】由双曲线的定义得：，所以，根据直角三角形的六种情况可求，进而利用定义可求，再利用勾股定理或余弦定理可求，即可得到离心率. 【详解】 因为两条直角边的长度分别为3和4，所以斜边为5， 由双曲线的定义得：， 所以，解得， ①时，，若 又，， ， 所以此时离心率； 若 又，， ， 所以此时离心率； ②时，，若， ，， ， 所以此时离心率； 若， ，， ， 所以此时离心率； ③，若，， ，， 所以此时离心率； 若，， ，， 所以此时离心率； 综上，满足条件的双曲线的离心率有5种情况. 故答案为：5. 37．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为____________________. 【答案】 【分析】由题意得，进一步得所求为，结合诱导公式、二倍角公式即可求解. 【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由， 得，，连接，由为的中点，得， 则，，， 因此，即，整理得， 所以，即，所以， 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则， 所以， 故双曲线的两条渐近线的夹角的正切为. 故答案为：. 38．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 39．(24-25高二下·上海杨浦区·模拟)双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是____________. 【答案】或4 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合夹角大小求出，进而求出焦距. 【详解】双曲线的其中一条渐近线方程是， 由两条渐近线的夹角是，得直线的倾斜角是或， 则，或，， 所以该双曲线的焦距长是或4. 故答案为：或4 40．(24-25高二下·上海静安区·期末)若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______． 【答案】1 【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，由的面积公式即可运算得到结果． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 41．(24-25高二下·上海虹口区·期末)如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的渐近线方程为_____． 【答案】 【分析】四边形为矩形，利用勾股定理及双曲线、椭圆的定义建立方程，求出，再得到，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由四边形为矩形，得， 由双曲线，且， 由椭圆，得， 解得，即， 解得，， 所以的渐近线方程为. 故答案为： 二、解答题 42．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等腰三角形两腰长相等可列方程组求点的坐标； （2）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来表示，利用这个等式可得到与直线参数的函数关系，利用函数求最大值. 【详解】（1） 当时，双曲线，且． 由点在第一象限，可知为钝角． 由为等腰三角形，得． 设点，且，则，解得， 即； （2） 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称． 设，则． 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立，得， 则，即，, 由，得， 得，所以 整理得，则, 再由，得，解得，所以， 又，得，即的最大值为． 地 城 考点05 抛物线 一、单选题 43．(24-25高二下·上海崇明区·期末)方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 44．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 二、填空题 45．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 【答案】 【分析】根据题意分别作直线,切线，求出的值即可得解. 【详解】如图，连接并延长交于点，过作于抛物线相切交于点， 由题意，， 则由可得，， 设直线， 则由可得， 则，解得或 即直线或， 当时，由可得切点纵坐标为，符合题意， 当时，由可得切点纵坐标，不符合题意， 故所求切线方程为，令，可得， 故， 所以（秒）. 故答案为： 46．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________． 【答案】4 【分析】由抛物线方程可得顶点坐标与焦点坐标，建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则其顶点为，焦点，由题意可得，解得. 故答案为：. 47．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为______. 【答案】 【分析】根据焦点坐标和双曲线上的点可构造方程组求得结果. 【详解】的焦点，； 又双曲线过点，； 由得：或（舍），的标准方程为：. 故答案为：. 48．(24-25高二下·上海普陀区长征中学·期末)顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是_____. 【答案】 【分析】设抛物线为，结合点在抛物线上求方程即可. 【详解】由题意，设抛物线为， ， ， 综上：抛物线方程为. 故答案为：. 49．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为_____________. 【答案】 【分析】利用抛物线的定义可求则到的距离与到准线的距离之和的最小值. 【详解】设为抛物线的焦点，则， 如图，设，为到准线的距离且为垂足， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 50．(24-25高二下·上海青浦区·调研)在平面直角坐标系中，已知双曲线是以直线为渐近线，且经过抛物线的焦点，则该双曲线的标准方程是_____. 【答案】 【分析】先根据题意判断双曲线的焦点位置；再设出双曲线的方程，根据双曲线经过的点及渐近线列出方程组求解，从而可得出双曲线的方程. 【详解】抛物线的焦点为：. 因为双曲线经过点， 所以该双曲线的焦点在轴上，设该双曲线方程为：. 又因为双曲线是以直线为渐近线， 所以，解得：. 所以该双曲线方程为：. 故答案为：. 三、解答题 51．(24-25高二下·上海吴淞中学·期末)已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.，求点的横坐标； 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据已知得直线为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义求； （2）设，，切线为，根据内切圆及点线距离公式得，进而得到且，即可求的横坐标； 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则设直线为，    设点， 联立直线与抛物线方程可得， 因此，所以； （2）设，于是有，的准线方程为，    设，过的直线的方程可设为， 根据题意，两直线均与圆相切，因此， 化简得， 设的斜率为， 因此， 将代入上式，化简得，解得或（舍）， 因此点的横坐标为3. 52．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为焦点的抛物线的标准方程； (2)已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； (3)设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出双曲线右焦点为，从而得抛物线方程； （2）利用两点间距离公式，结合双曲线上点的坐标范围求解； （3）由题意直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，由可得的值，从而得的值. 【详解】（1）由双曲线，可得， 则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为； （2）设，则有， =，由， 当时，. （3）由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值或． 地 城 考点06 曲线与方程 53．(24-25高二下·上海同济大学第二附属中学·期末)坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为，然后根据旋转变换公式列方程组表示出，代入曲线的方程化简可得结果. 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以曲线的方程为. 故选：B 54．(24-25高二下·上海虹口区·期末)对于曲线，给出两个结论：①曲线所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线上的点到原点的距离的最大值为．则（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】A 【分析】A根据给定的曲线方程，探讨其范围判断①；利用三角代换求出距离最大值判断②即可. 【详解】对于①，由，得，当且仅当时取等号， 由，得，当且仅当时取等号， 因此曲线在一个长为4，宽为2的矩形及内部， 因此曲线所围成的封闭图形的面积小于，①正确； 对于②，设曲线上一点为，由，设， 则到原点的距离的平方为， 其中锐角由确定，当时，距离平方有最大值，即， 因此距离的最大值为，②正确． 所以选：A 55．(23-24高二下·上海闵行区·调研)已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先根据对称性分析可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，再说明若曲线在坐标轴上有交点，则交点也为4个，不会出现2个，并举例说明4个交点的可能. 【详解】对于， 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于x轴对称； 综上所述：曲线关于x、y轴对称； 同理可知：曲线关于x、y轴对称； 且，可知原点不为公共点， 结合对称性可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，故AC错误； 根据对称性：不妨假设， 若曲线在第一象限内有交点，根据对称性可知：每个象限内均有交点，即交点个数为4的倍数； 若曲线在坐标轴上有交点，不妨设为曲线的公共点， 则，解得， 此时曲线，曲线， 显然也为曲线的公共点， 结合对称性可知：此时至少有4个公共点，即曲线不可能有2个交点，故B错误； 例如， 则曲线，曲线， 令，则，解得， 即，解得或或或， 即交点为，为4个，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：分析方程的对称性，结合对称性可知交点个数必为偶数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $