精品解析：河北省沧州市沧州五校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

沧州五校2025年3月月考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是(　　) A. 与的方向相反 B. C. 与的方向相同 D. 2. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 5. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 向量，（），函数的两个相邻的零点间的距离为，若（）是函数的一个零点，则的值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则给出下列结论（ ） A. B. C. 在向量上的投影为 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则为锐角三角形 B. 若，则在方向上的投影向量为 C. 若，且与共线，则 D. 设是所在平面内一点，且则 11. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知， ，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若，则在方向上投影的数量为 D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，，且，则 __________ 13. 已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______. 14. 某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖ABCDEFGH，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成．在△ABC中，，，BC＝4，边DE上有4个不同的点，，，，且，记，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求在上的投影向量的模； （2）若，向量，求与夹角的余弦值． 16. 如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：． 17. 在中，已知，，. （1）求； （2）若D为BC上一点，且，求的面积. 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值； （2）若，求的值． 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧州五校2025年3月月考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是(　　) A. 与的方向相反 B. C. 与的方向相同 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于,所以,因此与方向相同.选C 2. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解. 【详解】因为， 且，，三点共线， 所以存在实数，使得，即， 则，解得. 故选：B 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 设的夹角为， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 4. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 5. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，解得， 所以为等腰三角形，则， 在中由正弦定理可得，即，解得， 因为，所以为锐角，所以， 所以 . 故选：A 6. 设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义，代入已知数据计算即可. 【详解】由题意，在上的投影向量为． 故选：D． 7. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解. 8. 向量，（），函数的两个相邻的零点间的距离为，若（）是函数的一个零点，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的两个相邻的零点间的距离为求出的值，再根据 （）是函数的一个零点得到再求的 值. 【详解】= ， . 因为函数的两个相邻的零点间的距离为， 所以 所以. 令,则 因为，所以 所以=. 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则给出下列结论（ ） A. B. C. 在向量上的投影为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：图中的正八边形，其中， 对于A：，故A正确． 对于B：，故B正确． 对于C：在向量上的投影，，故C错误． 对于D：，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故D错误． 故选：AB． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则为锐角三角形 B. 若，则在方向上的投影向量为 C. 若，且与共线，则 D. 设是所在平面内一点，且则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量数量积为负，确定其夹角为钝角，从而判断；求向量投影判断；用反证法判断；用向量加法几何意义判断． 【详解】解：对于，因为，所以，于是，所以为钝角三角形，所以错； 对于，因为，则在方向上的投影向量为，所以对； 对于，假设对，则，从而，于是，所以与不共线，所以与与共线矛盾，所以错； 对于，取中点，连接、，延长到，使，连接、， 则四边形为平行四边形，于是，又因为， 所以，所以、、共线，且，所以，所以对． 故选：． 11. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知， ，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若，则在方向上投影的数量为 D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，得，根据全等三角形得，同理可得，即点到三边的距离相等，进而得出点是的内心. 【详解】解：对于A：，与的夹角为锐角， 可得，且与 不共线，， 即有，且， 解得且，则实数的取值范围是且，故A错误； 对于B：向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确； 对于C：若，则在方向上的投影的数量为，故C错误； 对于D：过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，如图， 三个不共线的向量，满足， ，即， 即，易得≌，则， 同理可得，即点到三边的距离相等，则是的内心，故D正确． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，，且，则 __________ 【答案】13 【解析】 【分析】把平方再开方，结合题中条件计算即可. 【详解】90°, ，又||＝12，||＝5 则， 故答案为： 13. 已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______. 【答案】 【解析】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 14. 某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖ABCDEFGH，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成．在△ABC中，，，BC＝4，边DE上有4个不同的点，，，，且，记，则______. 【答案】96 【解析】 【分析】延长交于点，利用三角形等面积法求出 ，根据向量数量积运算求出即可 【详解】延长交于点，如图， 因为 所以 因为, 所以 所以. 在中，， 所以 设边上的高为，， 解得，即 ， 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求在上的投影向量的模； （2）若，向量，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，即可求出在上的投影向量的模；（2）根据求出x，即可求出与夹角的余弦值. 【小问1详解】 当时，. 因为，所以在上的投影向量的模为． 【小问2详解】 因为向量，且，所以，解得：. 即，. 所以. 16. 如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：． 【答案】 由题意知，，， 由题意可知 ，． ． 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明． 【详解】略 17. 在中，已知，，. （1）求； （2）若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【小问1详解】 由余弦定理可得： ， 则，， . 【小问2详解】 由三角形面积公式可得， 则. 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值. 【详解】（1）因为， 由余弦定理，得，即. 所以. （2）因为， 由正弦定理，得，所以. 从而，即，故. 因为，所以，从而. 因此. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方，再开方即可得到； ②由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到； （2）由题意，设出坐标，表示出，由，求出的表达式，在中依据余弦定理可得，代入得的表达式化简，再在中，用正弦定理，求出，代入的表达式，通过三角恒等化简可得出答案. 【小问1详解】 ①因为， ， 所以； ②由，即， 得， ， ， 因为与的夹角为， 则，得； 【小问2详解】 依题意设， ， 因为为中点，则， 为中点，所以， 所以 ， 因为， 则， 在中依据余弦定理得，所以，代入上式得， ， 在中，由正弦定理， 设，则， ，其中，是取等号， 则. 【点睛】关键点点睛：设出坐标，求出的表达式是解决第三问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $