大题预测03（A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

大题预测03（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 (1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； (2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； (3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 16．（15分） 如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，． (1)证明：； (2)若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为． (1)求，并求数列的通项公式； (2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：． 18．（17分） 已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. (1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； (2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 19．（17分） 已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，试比较的大小关系，并说明理由； (3)设，求证：． 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 16．（15分）设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 17．（15分）已知、是离心率的椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且的最小值为. (1)求椭圆的方程； (2)若为第一象限内椭圆上一点，点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点. (i)求证:直线和的斜率之积为定值; (ii)当最大时，求直线方程. 18．（17分） 信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般的，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验的所有可能结果为、、、，且，，定义随机试验信息熵. (1)记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义； (2)一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.随机试验:连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数是否为偶数.证明：当增加时，增加. 19．（17分） 已知函数. (1)当，，时，求证:; (2)当时，若有三个零点. (i)求实数的取值范围; (ii)若，求证:. 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求A； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 16．（15分） 如图，在三棱柱中，底面是正三角形，，，侧面是矩形． (1)求证：三棱锥是正三棱锥； (2)若三棱柱的体积为，，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知圆，动圆C过，且与圆外切设圆心C的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设定点，过作直线l交曲线于A、B两点，直线，分别交直线于P、Q两点，求的最小值． 18．（17分）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差s． （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． (3)为迅速抢占市场举行促销活动，销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券3万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个．方格图上标有第0格，第1格，第2格，……，第25格，第26格．汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次．若掷出1，2，4，5点，汽车模型向前移动一格（从第k格到第格），若掷出3，6点，汽车模型向前移动两格（从第k格到第格），直到移到第25格（幸运之神）或第26格（赠送汽车模型）时游戏结束．设汽车模型移到第n（）格的概率为试证明数列（）是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小． 19．（17分） 已知函数，，． (1)过原点作直线l与，的图象均相切，求实数k的值； (2)令， （ⅰ）讨论的极值点个数； （ⅱ）若为的极小值点，为的零点，求证：． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 大题预测01(A组+B组+C组) 【A组】 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15,(13分)为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的 影响，在山上和山下的试验田中分别种植了m株和n株(m,n∈N)古茶树进行对比试验.现在从山上和山下 的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：kg)如下表所示： 编 ① ②③④ 号位置 山上 4 3 山下 2 2 1 (I)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量： (2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为s,,根据样本数据，估计2与s的大小关系（只需写 出结论)： (③)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和 数学期望 【答案】①4m(②)<s(3⊙)分布列见解析，2巧 【详解】(1)由山上试验田4株古茶树产茶量数据， 得样本平均数x=5+4+4+3=4, 4 则山上试验田m株古茶树产茶量S估算为S=mx=4m: .4 (2)山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和4+2+2+1_9 4 4 方5-r6-4安--- (3)依题意，随机变量可以取9,8,7,6,5,4， 1/26 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 P5=9)= P形=-子PG=-6 随机变量的分布列为 9 7 6 5 4 3 5 16 16 16 16 随机变量的期望E(5)=9×} 3 5 125 +8×。+7× +6× 1 +5×-+4× 413 16 8 16 16 4 164 16.(15分) 如图，在多面体ABCDP0中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点， PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD. (1)证明：∠ABQ=90°： 2)若多面体4 BCDPO的体积为】5， 2 求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值. 【答案】)证明见解析：②3@ 10 【详解】(1)在△DCM中，由余弦定理可得DM=VDC2+MC:-2DC·MC cos60=√5， 所以DM2+DC2=CM2,所以∠MDC=90°， 所以DM⊥DC. 2 又因为DC⊥PD,DMPD=D,DM,DPc平面PDM, 所以DC⊥平面PDM,PMc平面PDM. 所以DC⊥PM, 4 由于PQ/BM,PQ=BM=2,所以四边形PQBM为平行四边形，所以PM∥QB. 又AB∥DC,所以AB⊥BQ, 所以∠ABQ=90°. 2/26 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 (2)因为OB⊥MD,所以PM⊥MD, 又PM⊥CD,DC MD=D,DC,MDc平面ABCD,所以PM⊥平面ABCD. 取AD中点E,连接PE,设PM=h, 设多面体ABCDPO的体积为∥， 则V=V三度柱ae-PEw+'技带P-cDEw=3-pEW+V装特r-C0EW=3-W+Va线装P-cDEy 5AuSac h2wSoa 5x号x2×1xsim2h=15 51 3 3 32 2 解得PM=h=3V3. 建立如图所示的空间直角坐标系，则A-5,2,0,B51,0,C(5,-1,0): D5,0,0,P0,0,35.0-51,35,M(0.0.0 则平面QAB的一个法向量万=1,0,0) 所以CD=(0,1,0,PD=5,0,-3V3. 12 设平面PCD的一个法向量而=(x,y,z), mCD=0,y=0, 则 即 i.PD=0,5x-3v5z=0, 取m=(3,0,1. 所以cos0= m成30 10 所以平面PAD与平面PMD夹角的余弦值为30 10 15 17.(15分) 数列a}的前n项和为Sn,数列{b,}满足b=nan(n∈N),且数列b,}的前n项和为(n-1)Sn+2n, (I)求a,a2,并求数列a,}的通项公式： 3/26 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 (2)抽去数列{a}中点第1项，第4项，第7项，，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列(c ,数列c的前n项和为，求证：5<元≤行 【答案】(1)a=2,4,=4,a,=2”(2)证明见解析 【详解】(1)由题意得a,+2a2+3a:+…+na。=(n-1)S。+2n,① 当n=1时，a=2;当n=2时，a1+2a2=S2+4=a1+a,+4→a2=4:1 当n22时，a1+2a2+3a5+…+(n-1)a.1=(n-2)S-1+2(n-1),② ①-②得，nan=(n-1)S,-(n-2)S-1+2=S.+(n-2)am+2→S.=2a.-2(n22), 当n=1时，a,=2,也适合上式，所以Sn=2an-2neN,所以Sn1=2an1-2,3 两式相减得an=2a。-1(n之2)， 所以数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a,=2”, 6 (2)数列c}为：2,2,2,2,2,2”，，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8 为首项，8为公比的等比数列。 所以当n=2k-1keN）时，T,=G+c3+…+c=(c+G+…+c2+(9+c+…+c2- =2+25++2)+(2+2+…+2)-4-,1-8.582 1-81-8 77 所以7=T+c=5g_2+2“=2-82 77 77 12812 84 所以型=77=128*-1212 =58258二12558二12，显然T是关于k的减函装 + 5 T 77 12,Tu≤3： 所以5T, 8 所以当n=2k(k∈N)时，T,=C+c2+…+Ct=(c+c;+…+c-+(c2+C+…+ca =(2+25+…+2）+2+2++24）-41-8,1-8）12812 1-81-8 7 7 410 所以7=T+c4=12-8_2+28_40812 12 77 77 4/26 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 40-812 所以丛=7一 40.8-1210,7 T12.8122.8-2338-3”显然产是关于k的减函数 77 T. a14 综上所述， 12<Is 5T. 3 15 18.(17分) 已知双曲线E:x2-y2=1,直线P2与双曲线E交于P,Q两点，直线MN与双曲线E交于M,N两点 (I)若直线MN经过坐标原点，且直线PM,PN的斜率kpM,kw均存在，求kpukpN: (2)设直线PQ与直线MW的交点为TL,2),且TP.T0=TM.TN,证明：直线PQ与直线MN的斜率之和为0. 【答案】(1)1(2)证明见解析 【详解】(1)当直线MN经过坐标原点时，M,N两点关于原点对称 设M(x,乃，N-,-乃)，P(y 于是kpw=二4，w=十凸 xo-x x0+x1 因为M,N,P三点都在双曲线x2-y2=1, 所以 -后=1 -=1两武作差，后-=-，所以 kwkw=h-当.h+出=片-手-l 5 -x+x若-x (2)己知T(L,2),由题意可知MN,PQ均有斜率， 可设直线MN:y-2=k(x-1),直线P0:y-2=k,(x-1),M(xy,N(x,3),P(3),Q(x4y) M=(x-1y-2),N=(x-1y-2 .7 [y-2=k(x-1) 联立直线MW方程与双曲线E的方程： x2-y2=1 整理得，(1-k)x2+2k(k-2到x-(k-2-1=0, 当1-2≠0时，△=45-4k)>0 1-，=21 2k(k-2 x+X2= 12 (1-k) 于是， 5/26 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 TM.示=(x-1(x-1刂+y-2(-2=(1+k)儿x5,-(x+)+] 1-1-k2 15 同理可得，币.0=+ -4 因为N.不=币0，所以-庆-房 1+k1+k好 整理得，k=k,而k≠太，所以k+k2=0 17 19.(17分) 已知函数f= x+18(x)=e'te hx)=ei. (1)求函数f(x)在x=1处的切线方程： (2)当x>0时，试比较fx,gx),hx的大小关系，并说明理由； 3)设neN,求证：1-+1+ 234++ 1,-1<n2<1-+ 2n-12n 2342n- 【答案】0)y=x+国<g<A(:莲由见解折：（③证明见解折 【i详解】(D由f=c得，f)=e x+1 (x+12, 所以八国在x=1处的切线的斜车k=了刊-氵切点〔线 2 所以所求切线方程为：一氵-小，即y一学+ = (2)结论：fx<gx<hx:理由如下： 要证fx)<gx,即证c<c+e,只需证2e<x+l(e+e, x+12 令p(x)=2e*-(x+1)e+e), 6/26 备学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则p'(x=2e-(e+e-(x+1(e*-e）=x(e*-c), 当r>0时，e<1,e>1,故p'(x<0, 所以p(x)=2e*-(x+1)(e+e)在x>0时单调递减， 所以0(x<p0)=0,即2e-(x+1(e+e）<0, 6 所u,,版<国 要证g<到，即证+e<e,只需证h产+e<he号， 2 2 2e-nei sIe 令x=he+e 22 则v(=e-e c+e-,令m叫 e'ter-x. le'te-1 则w(x= 4 .8 当x>0时，c+e>2,从而e'+e>4 放w(= 4 -1<0 (e'te) 所以小-二在r0时华得宽，所以<0=0 从而v=n+e-x在x>0时单调递减， 2 2 所以(x<(0)=0,即ne+c-ne<0,即n+ -<Ine2 2 2 所以e+e<,故g<x, x” 2 又因为fx<gx,所以fx<g(x<hx 10 (3)令)=若n(x+10x>0.期u=1-1= -x <0 X+1 (x+1)2x+1(x+1 所以（到=本一h(x+刊在当x>0时单调递减。所以小<0=0， 1<In(x+1) 所以<(x+小，即+i 11 x+I 1 7/26 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 即 + -In(n+1)-Inn 所以1 +2 <ln(n+2)-ln(n+l), 3na+3a+2 <In2n-In(2n-1). 2n 所以1 11 n1232<20-Inn=In2. 所以1-++… 11 234 2n-12n ，111 =1+ （234 （11,1, =1+一+ 十+m1+，+…+ 1 1 …十 234 2 n 所以1-1+11 111.1,1 2n-12nn+n+2+n+3+2万13 1 十十 4 234 1 1 1 1 因为 -<ln2, n+1n+2n+32 所以1)+}+1-1 +…十 <n2, 2n-12n 下面先证当x>0时，lnx≤x-1, 令p(x=x-1-lhx(x>0), px=1--=1,令p(x>0,则x>1, 所以px=x-1-lnx在(0，)上单调递减，在1，+o上单调递增， 所以px2p(I=0, 从而px=x-1-hx之0，即lnx≤x-1, 当且仅当x=1时，lnx=x-1, 所以当x>0时，lnx+1)<x, 令x则有小片 即n(n+1)-lnn<-, 8/26 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 1 所以nn+2-ln(n+1< n+1 In(+3)-In(n+2)<- +2 In(2n)-In(2n-1)<2n-i' 1 111 1 所以n(2n-nn< nn+1 n+2 ++2n-1 16 即+1+1 nn+1 n+2 2n>n2, 1 +…+ 因为11+1.1 1 十…+ 2342n-1 ,,1,1,1 =1+ 23+4 111 =1+ 234 2 n-i 所以1-111 ，1111 一+…+ 十+ 234 2n-1nn+1n+2 2n-1 111 1 因为二+ >n2, nn+l n+2 2n-1 所以1-1+11， 1 >ln2. 2342n-1 综上所述，1 -++t1,-1<n2<1-+t+, +十 2342n-12n 234 2n-1 17 【B组】 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥BC,B,C⊥平面ABC且AC=BC=B,C=2,D、E分别是AC、 BC的中点 C B 9/26 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 (I)求证：DE∥平面ABB,A: (2)求二面角E-A,D-A的正弦值 【答案】(Q)证明见解析2)358 58 【详解】(1)法一：取AB的中点M,连接ME,AM, B 在三棱柱ABC-A,B,C,A4CC,且AA,=CC,四边形A4,CC为平行四边形， ACHA,C且AC=AC, :D,E分别为AC,BC的中点， :.MEIIA.C且ME=)4G,ADAC且AD=)AG·&EAD且ME=AD④ :四边形ADEM为平行四边形，DEIAM, :DEE面ABBA,AMC面ABB,A,DE∥平面ABB,A: 6 法二：证明：如图，取BC中点F,连接EF,DF, C B D,F分别为AC,BC的中点，DFIAB, :DF文平面AABB,ABC平面AABB,太DF∥平面AABB,4 :BB∥CC且BB,=CC,四边形BB,CC为平行四边形，.BC∥B,C,且BC=B,C, ~E,F分别为BC,BC的中点，，B,ElBF且B,E=BF, :四边形BB,EF为平行四边形，六EFIBB, EF4面ABBA,BB,C面ABBA,·EF∥面ABB,A, 10/26