6.2.4 组合数的应用 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

6.2排列与组合 第六章 计算原理 课时4 组合数的应用 新知探究 探究一：与几何有关的组合问题 情境设置 平面内有𝐴，𝐵，𝐶，𝐷 4 个点. 问题1：以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ 问题2: 以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 2 新知生成 知识点一 与几何有关的组合问题 图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止 多算、漏算.常用直接法，也可采用间接法. 3 一、与几何有关的组合问题 例题1 如图，在以为直径的半圆周上，有异于，的六个点，， ，，线段上有异于，的四个点， ，， . (1)以图中的10个点(不包括点𝐴，𝐵 )中的3个点为顶点的三角形有多少个？其中以 为顶点的三角形有多少个？ (2)以图中的12个点(包括点𝐴，𝐵 )中的4个点为顶点的四边形有多少个？ 【解析】(1)(法一)可作出三角形的个数为 . 为顶点的三角形的个数为 . ，其中以 为顶点的三角形的个数为 . (2)可作出四边形的个数为 . 4 反思感悟 方法总结 解答几何图形组合问题的策略 (1)解答几何图形组合问题与一般的组合问题的思考方法基本一样，只要把图 形的限制条件视为组合问题的限制条件即可. (2)计算时可采用直接法，也可采用间接法，要注意在限制条件较多的情况下， 需要分类计算符合题意的组合数. 5 新知运用 跟踪训练1 已知空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，可构成四面体的个数为( ). A.205 B.110 C.204 D.200 【解析】(法一)可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，得到所有 的取法总数为 . (法二)从10个点中任取4个点的情况中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得 到可构成四面体的个数为 . A 6 新知探究 探究二：有限制条件的组合问题 情境设置 问题1：从2，3，4，5，6，7这6个数中任取3个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，这样的三位数有多少个？ 问题2：某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙两人不能全部裁去，请问不同的裁员方案有多少种？ 注意：解决有限制条件的组合问题，特殊元素优先安排，注意含有“至多”“至少”等限制的语句，可以据此作为分类依据，或采用间接法求解. 7 新知生成 知识点二 有限制条件的组合问题 有限制条件的组合应用题中“含”与“不含”问题的解题策略： (1)这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素或特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”. (2)若从正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法. (3)解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准. 8 二、有限制条件的组合问题 例题2 某医院决定从10名医疗专家中抽调6名专家参与巡察，且这10名医疗专家中有4名 是呼吸科专家.问： (1)恰有2名是呼吸科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名是呼吸科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名是呼吸科专家的抽调方法有多少种？ 【解析】(1) 首先从4名呼吸科专家中任选2名，有 种选法，再从6名非呼吸科专家中 选取4名，有种选法，所以有 种抽调方法. (2)按选取的呼吸科专家的人数分类： ①选取2名呼吸科专家，有种选法；②选取3名呼吸科专家，有 种选法；③选 取4名呼吸科专家，有种选法.根据分类加法计数原理，共有 种抽调方法. (3) “至多有2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答： ①没有选取呼吸科专家，有种选法；②选取1名呼吸科专家，有 种选法；③选 取2名呼吸科专家，有种选法.所以共有种抽调方法. 9 反思感悟 方法总结 有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类： (1)“含”与“不含”问题，常用直接分步法求解，即将“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，有两种解题思路： ①直接分类法，但要注意分类要不重不漏； ②间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 10 新知运用 跟踪训练2 在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件. (1)共有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ 【解析】(1) 从这12件产品中任意抽出3件，共有 种不同的抽法. (2)抽出的3件中恰好有1件次品是指抽出2件正品、1件次品，有种不同的抽法. (3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数，可以用12件产品中任意抽出3件的抽法 种数减去抽出3件产品全是正品的抽法种数，因此，共有 种不同的抽法. 11 新知探究 探究三：分组、分配问题 情境设置 问题1：把𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 平均分成两组，有多少种分法？ 问题2：把𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 分成两组，一组3个元素，一组1个元素，有多少种分法？ 问题3：若把4个不同的苹果分给3个人，每人至少1个，共有几种分法？ 12 新知生成 知识点三 分组、分配问题 1.一般地，平均分成𝑛堆(组)，必须除以𝑛！，如若部分平均分成𝑚 堆(组)，必须再除 以𝑚！，即平均分组问题，一般来说，𝑘𝑚个不同的元素分成𝑘组，每组𝑚 个，则不同的分法有.故平均分组要除以分组数的全排列. 2.一般地，如果把不同的元素分配给几个不同的对象，并且每个不同对象可接受的元 素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘不同对象数的 全排列数.通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列. 13 三、平均分组 例3 8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)平均分成四份； (2)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张. 【解析】(1) 由题意知，根据平均分组问题分法，有 种不同的分法. (2)由题意知，根据部分平均分组问题，有种不同的分法. 14 四、不平均分组 例4 (1)将6本不同的书，分为三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种分法？ (2)将6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？ 【解析】(1) 这是“不平均分组”问题，一共有 种分法. (2)在(1)的基础上再进行全排列即可，所以一共有种分法. 15 五、分配问题 例5 将6本不同的书，全部分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 【解析】可以分为三类： ①“2,2,2型”，有种分法； ②“1,2,3型”，有种分法； ③“1，1,4型”，有种分法. 所以一共有种分法. 16 反思感悟 方法总结 “分组”与“分配”问题的解法 (1)“分组”问题属于“组合”问题，常见的“分组”问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成𝑛组，最后必须除以𝑛！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有𝑛组元素个数相等，最后必须除以𝑛！； ③完全不均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)“分配”问题属于“排列”问题，“分配”问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 17 新知运用 跟踪训练4 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号分别为1,2,3,4的盒子中，要求小球必 须全部放入盒中. (1)无任何其他要求，有多少种放法？ (2)每盒放1个球，有多少种放法？ (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒中放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ (5)把4个编号不同的小球换成4个完全相同的小球，恰有1个空盒，有多少种放法？ 【解析】(1) 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子， 有 种放法. (2)这是全排列问题，有 种放法. (3)(法一)先将4个小球分为3组，有 种分法，再将3组小球投入4个盒子中的 3个盒子，有种放法，故有 种放法. (法二)先取4个球中的2个“捆”在一起，有 种选法，把这2个球与其他2个球共3组 分别放入4个盒子中的3个盒子，有种放法，所以有种放法. 18 新知运用 跟踪训练4 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号分别为1,2,3,4的盒子中，要求小球必 须全部放入盒中. (1)无任何其他要求，有多少种放法？ (2)每盒放1个球，有多少种放法？ (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒中放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ (5)把4个编号不同的小球换成4个完全相同的小球，恰有1个空盒，有多少种放法？ 【解析】(4) 1个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的放法有2种，故有 种放法. (5)先从4个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子中选出1个盒子放入2个球，余下2个 盒子各放1个，因为球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故有 种 放法. 19 随堂检测 1. 将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有( ). A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 2.编号为1，2，3，4，5的5个人去坐编号为1，2，3，4，5的5个座位，其中有且只有2 个人的编号与座位号一致的坐法有( ). A.10种 B.20种 C.30种 D.60种 3.某运动场馆为安全起见，将5个安保小组安排到指定的3个区域内工作，且每个区域 至少有1个安保小组，至多有2个安保小组，则这样的安排方法共有____种. B A 90 20 随堂检测 4. 在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行. (1)它们共能构成_______个平行四边形； (2)共有____个交点. 1260 【解析】(1)第一组中每2条直线与另一组中的每2条直线均能构成一个平行四边形， 故能构成 个平行四边形. (2)第一组中的每条直线与另一组中的每条直线均有一个交点，所以共有 个交点. 80 21 课堂小结 1.知识清单： (1)与几何有关的组合问题； (2)有限制条件的组合问题； (3)分组、分配问题. 22 $$