6.2.4组合数的综合应用课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数学 选修第三册 舒城一中 *6.2.4组合数综合应用 第六章 计数原理 制作:文老师 1 组合数公式 乘积式 阶乘式 备注 ,并且规定 性质 性质1 : 性质2: 排列数公式 乘积式 阶乘式 备注 ,并且规定 性质 性质: 知识回顾 一、组合数相关计算 典例分析 例1、解不等式: 解: 化简,得: ∵且 ∴ = 例2、求值: 典例分析 解:由组合数定义知: 所以4≤≤5,又因为*,所以=4或5. 当=4时, 当=5时, 变式:(2021 浙江省台州市期末)已知,则_ 例3:解方程:求方程的解。 典例分析 解得=4或6. 解:(1)由题意知: 或: 例4.(河南信阳高二月考)满足条件的正整数的个数是( ) 典例分析 A.10 B.9 C.4 D.3 ∴, ∴可取的值是6,7,8,9,共4个 解:∵ ∴ 解得:, 例5.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. ⑴ 从口袋内取出3个球,共有多少种取法? ⑵ 从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? ⑶ 从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 二、组合数简单综合应用 典例分析 解:(1)从8个球里取3个,有:种取法; (2)1个黑球必取,则相当于从剩下的7个球取两个,有种取法;或者是第1步取黑球有种取法,第2步取种取法,则有种取法; (3)1个黑球不取,则从剩下的7个黑球中取3个球,有种取法。 例6.只有一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛, 按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人. (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情? 典例分析 分析:(1) 17名学员角色没有差异,选出11名上场学员与顺序无关,这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题,方场方案为种; (2) 守门员位置特殊,其余队员地位没有差异.所以不但要选出11名上场队员,同时还要确定守门员,完成此问题需要分两步去完成. 解:(1)=12376(种) 解:(2)分两步:第1步先确定11名上场学员的名单;第2步确定守门员.由分步乘法计数原理: 典例分析 =11=136136(种) 另解:第1步确定守门员的人选,第2步从剩余的16名学员中确定其他10名队员.由分步乘法计数原理得: =17=136136(种) 例1:六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)甲两本、乙两本、丙两本; (2)甲四本、乙一本、丙一本; (3)甲一本、乙两本、丙三本. 解:(1) (2) (3) 典例分析 三、分配问题 四、分组问题 典例分析 例2:六本不同的书,分给三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每组两本; (2)一组四本、另外两组各一本; (3)一组一本、一组两本、一组三本. 解:(1)完成这一件事情,分三步完成: 第一步从6本书中任取两本作为第1组,有 种取法, 第二步从剩下的四本书中任取两本作为第2组,有 种取法, 第三步剩下的两本书作为第3组,有种取法. 据分步乘法原理,分组方法数是种. 追问1:这样分组会有重复吗? (1,2)(3,4)(5,6) 1组 2组 3组 追问1 :这样分组会有重复吗? 第二次分组时,可以先取到1,2号作为第1组,再取到5,6号作为第2组,剩下3,4号作为第3组,显然,这种分组方法与第一次组方法是一样的.而且继续下去,这种分组方法会重复6次.这6次某3组相互换形成的,即次. (1,2)(3,4)(5,6) 典例分析 这样分组会造成重复分组,例如:可以假设这六本书编号为1,2,3,4,5,6号,先取两本,取到3,4号作为第1组,再取5,6号两本作为第2组,余下1,2号作为第3组,这是一种分组的方法. 1组 2组 3组 四、分组问题 典例分析 追问2:怎么样才能去掉重复的分组呢? 6次只算1次,可以除以得到,所以六本不同的书,平均分成三组,最后的分组方法数是 种. 分析:同样分三步,先给取4本,再取1本,剩1本,所以有种分法. 追问3 :这样分组还会有重复吗? 例2:六本不同的书,分给三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (2)一组四本、另外两组各一本;4,1,1 假设这六本书编号为1,2,3,4,5,6号,先取四本第为第1组,取到的恰为1,2,3,4号,再取5号作为第2组,剩下6号第为第3组,这是一种分组的方法。 追问3 :这样分组还会有重复吗? 典例分析 仍出现了重复分组 假设再分一次,先取到1,2,3,4号作为第1组,再取6号作为第2组,最后将剩下的5号作为第3组.显然,这两种分配方法还是一样的,所以有重复.会重复几次呢? 观察发现会重复两次,原因是5号与号.按照先5号作为第1组,后6号给第3组,与先6号给第1组后5号给第3组是一样的分组方法.1,2,3,4因为个数跟他们个数不一样,所以不会产生重复,所以按照4,1,1分组,有种分法。 14 典例分析 例2:六本不同的书,分给三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (3)一组一本、一组两本、一组三本. 分析:按照1、2、3分组,每组的元素个数不一样,所以不存在重复分组,有种分法。 (1) (3) (2) 均匀分组 (考虑重复) 部分均匀分组 (部分考虑重复) 不均匀分组 (不考虑重复) 例2:六本不同的书,分给三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每组两本; (2)一组四本、另外两组各一本; (3)一组一本、一组两本、一组三本. 归纳总结 思考:什么样的分(组)堆会有重复呢? 元素个数相同的(组)堆之间一般会有重复,比如第一问中的均分,每组有两个元素,组之间会有重复问题,还有就是第二问中4,1,1的1,1两组之间会有重复. 五、分配、分组综合问题 典例分析 例3:六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每人两本; (2)一人一本、一人两本、一人三本; (3)一人四本、一人一本、一人一本. 边取边分 先分组、后分配 解:(1) (2) (3) 这种算法表示选6本不同的书均分成3组,再把这三组分给3个不同的同学。这种方法体现了先整体分组,再整体分配的思想。 凡不是均分的时候先分组再分配具有明显优势。 17 例3:六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (4)分给三个同学,每个同学至少有一本,问有多少种分法? 解:因为6本书分给3个同学,书有多有少,可以考虑,先分组,再分配.分组可以按2,2,2分,4,1,1分,3,2,1分,所以有 典例分析 (种) 1.(2017 全国‖卷)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由一人完成,则不同的安排方式有 ( )种 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 或: 解:完成这件事需分步完成: 第1步将4项工作分成3组,分成3组,其中必有一组有2项工作,即从4个不同元素中选2个元素,有=6种组合; 第2步,因为每人都有工作,所以再将3名志愿者进行全排列,共有种排法。 根据分步乘法计数原理,得:=36(种) 巩固练习 例4、有甲乙等4名志愿者分配到3个不同的岗位上去,要求每个岗位至少有1人,且甲必须分配到3个岗位中的A岗位,问有多少种分法? 分析: 4个人分到3个岗位,人多岗位少,所以有些岗位至少有2个人,所以可以考虑把人先整体去分成3组,再分配到不同的岗位上去。4个人只能按照2、1、1来分组,接下来考虑甲,甲可能是1个人一组,也可能是在2个人的那一组,可考虑分类。 先整体分组再分配(排列) 五、分配、分组综合问题 典例分析 解: 第1类:甲一个人单独一组,且甲分配到A岗位,只要把剩下的3个人分成2组,分配到其他岗位即可,所以共有:=6种分法。 典例分析 第2类:甲在2个人的那一组,且甲分配到A岗位,需要从剩下3人中选择一个人和甲组成一组,且都在A岗位,剩下的两个人各作为一组,分配到其他两个岗位,有种; 根据分类加法计数原理,共有: + =12种。 五、分配、分组综合问题 例5、 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能? 分析:若所有次品恰好在第5次测时被全部发现,则第5次测试必是次品,余下3件在前4次被测出。因第五次是特殊位置,可以分步完成。第一步,第五次测试的有种可能;前四次中,有一次是正品的有种,有三次是次品有种;因此,前4次中应有1正品、3次品,有共种。第三步前4次测试中的顺序共有种。 五、分配、分组综合问题 典例分析 解:对四件次品的编序为1、2、3、4,第5次抽到这其中的任一件次品有种方法。 前四次有三次是次品,一次是正品,共有种可能。 前4次测试中的顺序有种。 由分步乘法计数原理得这次的测试方法有:种。 例5、 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能? 典例分析 2. 当前新冠肺炎疫情形势依然严峻,防控新冠肺炎疫情需常态化为加大宣传力度,提高防控能力,某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查,每个医务人员只去一个乡镇,每个乡镇至少安排一名医务人员,则不同的安排方法共有 种. 36 分析:分2步完成,第1步,将4名医务人员分成无记号3组,其中有一组2人,另两组各1人,得到组合数;第2步,将三组人员安排到3个乡镇,利用分步乘法原理求解。 解:第1步,将4名医务人员分成3组,其中有一组2人,另两组各1人,有=6种组合法;第2步,将三组人员安排到3个乡镇上,有种排法。 根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有:=36种 巩固练习 3.将5位同学分配到三个班,每班至少一人,共有多少种不同的分配方法? 分析:完成这件事,可以分2类完成。 解:分配方法有:+ =150种。 五、相同元素分配采取隔板策略 第1类:将人数分成3、1、1为一组,有即组,然后对这一组再分配到3个不同的班级,有。 第2类:将5人分成2、2、1作为一组,有组,再分到3个不同的班级。 巩固练习 4.(2021 高考全国卷乙)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( ) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 解:根据题设中的要求,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,可分两步进行安排: 第二步,将分好的4组安排到4个项目中,有种安排方法。 故满足题意的分配方案共有种。 或∵5人分四组是2、1、1、1型的,∴ 巩固练习 第一步,将5名志愿者分成4组,其中1组2人,其余每组1人,共有种分法; 不同元素的分组与分配问题 (3)非平均分组:每组所要分的元素个数是不相同的.这种分组不考虑重复现象。 解题思想:先分组、后分配 总结归纳 (1)完全平均分组:在分组时,每组元素的个数都相等. ①只分组无分配时,需要除以这几组的“全排列”,以确保消去重复; ②分组且分配时,一种方法是先分组再分配;另一种方法是可以用分步乘法计数原理解题. (2)部分平均分组:在分组时,每组的个数是不均等的,而是有一部分个数相同.需要除以相同的组的“全排列”,保证没有重复. 例6.有10个运动员名额分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。 在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有种分法。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 五、相同元素分配的隔板策略 典例分析 5、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法? 解:因为30名学生没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成29个空隙。 在29个空隙中选择5个隔板,可以分6份,对应地分给6个学校,每一种插板方法对应一种分法共有种分法。 五、相同元素分配的隔板策略 巩固练习 $$