6.2.2 排列数的应用课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

6.2排列与组合 第六章 计算原理 课时2 排列数的应用 新知探究 探究一：排队、排节目问题 情境设置 在冬奥会志愿者招募活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者. 问题1：若甲、乙都不参加，则有多少种方法？ 问题2：若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，则共有多少种不同的志愿者分配方案？ 2 新知生成 知识点一 排队、排节目问题 排队、排节目问题的解题策略 (1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题. 注意：特殊位置优先排；相邻问题捆绑法； 不相邻插空法，最后排； 正难则反；等价转化等方法. (2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰 当结合两个计数原理. (3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果. 3 一、特殊元素或特殊位置问题 例题1 6人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端. 【解析】(1) (法一：位置分析法)因为甲不站左、右两端，所以可以分两步完成： 第1步，从除甲以外的5人中任选2人站在左、右两端，有 种站法；第2步，让剩下的 4人站在中间的四个位置上，有种站法.根据分步乘法计数原理，共有种站法. (法二：元素分析法)因为甲不能站左、右两端，所以可以分两步完成：第1步，让 甲排在除左、右两端之外的任一位置上，有 种站法；第2步，让剩下的5人站在其他 5个位置上，有种站法.根据分步乘法计数原理，共有 种站法. (法三：间接法)在排列时，我们对6人不考虑甲站的位置全排列，有种站法，但 其中包含甲站在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数 ，于是共 有种站法. 4 一、特殊元素或特殊位置问题 例题1 6人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端. 【解析】(2) 考虑特殊元素，先让甲、乙站两端，有 种站法；再让其他4人在中间4个位置作全排列，有种站法.根据分步乘法计数原理，共有 种站法. (3)(法一：间接法)在排列时，我们对这6人不考虑甲和乙站的位置作全排列，有 种站法，甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，而甲在左端且乙在右端 的站法有种，故共有种站法. (法二：直接法)从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一类，甲站在右端有 种 站法；第二类，甲站在中间4个位置之一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排 其余4个人，有种站法，故共有种站法. 5 反思感悟 方法总结 “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先.一般从以下三种思路考虑： (1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素； (2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置； (3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总的排列数，再减去不符合要求的排列数. 6 新知运用 跟踪训练1 大年初一，爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、读高中的姐姐以及刚满周岁的小弟 弟一家六口外出游玩，到某处景点时，他们站成一排拍照，小弟弟由其中任意一人抱 着，则不同的站法共有( ). A.120种 B.480种 C.600种 D.720种 【解析】首先考虑谁抱着小弟弟，有5种可能，然后对5人进行全排列，有种站法，所以不同的站法共有 （种）. C 7 二、相邻问题 例题2 2022年10月18日，党的二十大新闻中心举行首场集体采访.北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林代表团新闻发言人出席，介绍代表团学习讨论二十大报告情况，并回答记者提问.若发言人排成一排，要求北京、天津代表团新闻发言人必须相邻，而辽宁、吉林代表团新闻发言人需分开，则不同的排法有( ). A.400种 B.720种 C.960种 D.1 200种 【解析】根据题意可知，北京、天津代表团新闻发言人要求相邻的排法有 （种），而北京、天津代表团新闻发言人要求相邻且辽宁、吉林代表团新闻发言人也相邻的排法有 （种）.故北京、天津代表团新闻发言人必须相邻，辽宁、吉林代表团新闻发言人需分开的排法有 （种）.故选C. C 8 反思感悟 方法总结 解决“相邻”问题用“捆绑法” 将𝑛个不同的元素排成一排，其中𝑘个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数， 具体求解步骤如下： (1)先将这𝑘个元素“捆绑”在一起，看成一个整体； (2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种； (3)松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种； (4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种. 9 新知运用 跟踪训练2 (多选题)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排，下列结论正确的是( ). A.不同的站队方式共有120种 B.若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有36种 C.若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有36种 D.若甲不站在两端，则不同的站队方式共有72种 【解析】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，站队方式共有 （种）A正确； 甲和乙相邻的站队方式有， （种），B错误；甲、乙、丙站一起的站队方式有（种），C正确；甲不站在两端的不同的站队方式有 （种），D 正确.故选ACD . ACD 10 三、不相邻问题 例题3 (多选题)象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红、黑两种阵营，“将、车、马、炮、兵”等为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是( ). A.共有120种不同的排列方式 B.若两个“将”相邻，则有24种不同的排列方式 C.若两个“将”不相邻，则有72种不同的排列方式 D.若同色棋子不相邻，则有12种不同的排列方式 【解析】由题意可知，共有种不同的排列方式，A正确；将两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列，故共有种不同的排列方式，B 错误；当两个“将”不相邻时，先将剩余的3个棋子进行全排列，共有4个空，再将两个 “将”插空，故共有 种不同的排列方式，C正确；将2个黑色的棋子进行全排 列，共有3个空，再将3个红色的棋子进行插空，则有种不同的排列方式，D 正确.故选ACD . ACD 11 反思感悟 方法总结 解决不相邻问题用“插空法” 将𝑛个不同的元素排成一排，其中𝑘个元素互不相邻(𝑘≤𝑛−𝑘+1)，求不同排法 的种数，具体求解步骤如下： (1)将没有不相邻要求的(𝑛−𝑘)个元素排成一排，其排列方法有种； (2)将要求两两不相邻的 𝑘个元素插入(𝑛−𝑘+1)个空隙中，相当于从(𝑛−𝑘+1)个空隙中选出𝑘个分别分配给两两不相邻的𝑘个元素，其排列方法有种； (3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种. 12 新知运用 跟踪训练3 已知有3名男生和2名女生站在一排照相. (1)男生均相邻且女生均相邻的排法种数是多少? (2)女生互不相邻的排法种数是多少? (3)若甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法? 【解析】(1) 把男生看成一个整体、女生看成一个整体排列，有种排法，男生内部 排列有种排法，女生内部排列有种排法，根据分步乘法计算原理，共有 种排法. (2)先排男生，男生之间和两端共4个空位，再选2个空位插入女生，所以女生互不 相邻有 种排法. (3)因为5人全排列有种排法，且甲站左端有种排法，乙站右端有种排法，甲 站左端且乙站右端有种排法，所以甲不站左端，且乙不站右端有 种排法. 13 四、定序问题 例题4 有7人站成一排. (1)若甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？ (2)若甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？ 【解析】甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有种不同的排法. (2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数 占全排列种数的 ,故有种不同的排法. 14 反思感悟 方法总结 部分元素定序的排列问题的两种解法 法一：把不要求定序的元素先排列，剩余的位置就是定序的元素，这些定序的元素只有一种排法，所以问题就转化为求不要求定序的元素有多少种排法. 法二：用“倍缩法”，有(𝑚+𝑛)个元素排成一列，其中𝑚个元素之间的先后顺序确定不变，将这(𝑚+𝑛)个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他𝑛个元素的位置不动，把这𝑚个元素交换顺序，有</m>种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法. 15 新知运用 跟踪训练4 《中国诗词大会》（第六季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计 的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居 秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《将进 酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在 最后，则后六场的排法有( ). A.144种 B.288种 C.360种 D.720种 【解析】后六场的排法可以分两个步骤完成：第一步，将《山居秋暝》与《送杜少府之 任蜀州》之外的四首诗词进行排列，由于《将进酒》排在《望岳》前面，故不同排法 有 （种）；第二步，排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，由于第一步中的4首诗词排好后，不含最后的空位，有4个空位，从这4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，安排方法有 （种）.根据分步乘法计数原理，后六场的排法有 （种）. A 16 五、涂色问题 例题5 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种, 允许同一 种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？ 17 新知运用 跟踪训练5 1、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使 用同一种颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法有______种. 2、用种不同的颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在①， ②，③，④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色． (1)若，为甲着色时共有多少种不同方法？ (2)若为乙着色时共有120种不同方法，求的值． 72 【解析】(1)2,4同色：4×3×2×2=48 2,4不同色：4×3×2×1×1=24 共72种 (1)①④同色：6×5×4=120 ①④不同色：6×5×4×3=360 共480种 (2),解得. 18 新知探究 探究二：有关数字的排列问题 情境设置 问题1：偶数的个位数字有何特征？从1，2，3，4，5中任取2个不同的数字能组成多少个不同的偶数？ 问题2：如果在0～9 这10个数字中任取3个不同的数字组成一个三位数，组成多少个不同的三位数？ 19 新知生成 知识点二 数字排列问题 数字排列问题的求解策略 (1)首位数字不为0. (2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”. (3)若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”. (4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素、特殊位置分类. 20 六、数字排列问题 例6 用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数？ (2)个位数字不是5的六位数？ (3)不大于4 310的四位偶数？ 【解析】(1) (法一)从特殊位置入手：第一步，排个位，从1，3，5这3个数字中选1 个，有种排法；第二步，排十万位，有种排法；第三步，排其他位，有种排法. 故可以组成的无重复数字的六位奇数有 （个）. (法二)从特殊元素入手：0不在两端有 种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上， 有种排法；其他数字全排列有种排法.故可以组成的无重复数字的六位奇数有 （个）. 21 六、数字排列问题 例6 用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数？ (2)个位数字不是5的六位数？ (3)不大于4 310的四位偶数？ 【解析】(2) (法一：排除法)6个数字的全排列有个；0在十万位上的排列有 个；5在个位上的排列有个；0在十万位上且5在个位上的排列有个.故符合题意的六位数共有 （个）. (法二：直接法)个位上不排5，有 种排法，但十万位上数字的排法由于个位上排0 与不排0而有所不同.因此，需分两类：第一类，当个位上排0时，有种排法；第二类， 当个位上不排0时，有种排法.根据分类加法计数原理，符合题意的六位数共有 （个）. 22 六、数字排列问题 例6 用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数？ (2)个位数字不是5的六位数？ (3)不大于4 310的四位偶数？ 【解析】(3) (法一：直接法)①当千位上排1，3时，有 种排法；②当千位上排2时，有种排法；③当千位上排4时，形如，的各有种排法，形如 的有种排法，形如 的只有4 310和4 302这2个数.故共有 个符合条件的四位偶数. (法二：排除法)四位偶数中：在个位上的有个；在十位和百位上的有 个；③不含0的有个.故四位偶数有（个）.其 中形如的有个，形如的有个，形如的有个，形如 的有1个，形如 而大于4 310的只有4 312这1个数，故大于4 310的四位偶 数共有 （个），因此符合题意的四位偶数共有 （个）. 23 六、数字排列问题 变式 用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)若本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？ (2)若本例条件不变，能组成的所有的六位数按从小到大的顺序组成一个 数列{} ，则240 135是第几项？ 【解析】(1) 个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有 个；若个位上是5，且不含0，则有个；若含0，且0不作万位，则0的位置有种排法，其余各位有种排法.故共有 个能被5整除的五位数. (2) 因为是六位数，十万位上的数字不能为0，十万位上的数字为1有个数，十万 位上的数字为2，万位上的数字为0，1，3中的一个有 个数，所以240 135的项数是 ，即240 135是数列 的第193项. 24 反思感悟 方法总结 排数字问题常见的解题方法： (1)“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. (2)“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏. (3)“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数. (4)“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好. 25 新知运用 跟踪训练 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？ (2)这些四位数中大于6 500的有多少个？ 【解析】(1) 偶数的个位数只能是2，4，6，有种排法，其他位上有种排法，根据分步乘法计数原理，这些四位数中偶数共有 （个）. 能被5整除的数个位必须是5，故有 （个）. (2)当千位上是7时，大于6 500的有 个； 当千位上是6时，百位上只能是7或5，有 个. 根据分类加法计数原理，这些四位数中大于6 500的共有 （个）. 26 随堂检测 1. 从4名男性3名女性共7名志愿者中，选出1名女性2名男性分别到A，B，C地执行任务， 则不同的选派方法有( ). A.36种 B.108种 C.210种 D.72种 2.5人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的不同排法种数为( ). A.6 B.84 C.24 D.48 3.用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则 有_____个七位数符合条件. B B 210 27 随堂检测 4. 有3名同学（甲、乙、丙）和2名家长相约一起去观看新上映的影片，他们的座位在 同一排且连在一起. (1)甲同学必须坐在乙同学左边的坐法有多少种？ (2) 2名家长互不相邻的坐法有多少种？ 【解析】(1) 因为甲同学必须坐在乙同学左边，且共有5人， 所以所求坐法有 种. (2)根据题意可知，先将3名同学排好，有 种坐法， 再在这3名同学之间及两头的4个空位中插入2名家长，有 根据分步乘法计数原理，共有6×12=72 种坐法. 28 课堂小结 1.知识清单： (1)排队、排节目问题； (2)有关数字的排列问题. 29 $$