6.2.1 排列、6.2.2排列数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

6.2排列与组合 第六章 计算原理 课时1 排列、排列数 新知探究 探究一：排列的概念 情境设置 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法? 问题2：从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 2 新知生成 知识点一 排列的概念 1.排列 一般地，从𝑛个不同的元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫作从𝑛个不同元素中取出𝑚 个元素的一个排列. 2.两个排列相同的充要条件是两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. 3 一、排列概念的理解 例题1 判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)从5个小组中选2个小组分别去植树和种菜； (3)从5个小组中选2个小组去种菜； (4)从20人中选10人组成一个学习小组； (5)从20人中选3人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信. 【解析】(1)虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题. (3)(4)不存在顺序问题，不是排列问题. (5)中每个人的职务不同，存在顺序问题，是排列问题. (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，是排列问题. 综上，(2)(5)(6)是排列问题,(1)(3)(4) 不是排列问题. 4 反思感悟 方法总结 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺 序有关.这就说明，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题,否则不是排列问题. 5 新知运用 跟踪训练1 (多选题)下列问题是排列问题的是( ). A.高二（1）班选2名班干部去学校礼堂听团课 B.某班30名同学围坐在一起玩击鼓传花 C.从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D.10个车站，站与站间的车票 【解析】选项A，不存在顺序，不是排列问题；选项B，存在顺序，是排列问题；选项C， 两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；选项D，车票使用时有起点和终点 之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题.故选BCD . BCD 6 二、画树状图写排列 例题2 A，B，C，D四个人坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来. 【解析】 A，B，C，D四个人坐成一排照相，可以分四个步骤完成：第1步，安排A，有 4种坐法；第2步，安排B，有3种坐法；第3步，安排C，有2种坐法；第4步，安排D， 有1种坐法.根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×1=24 种坐法. 画出树状图，如图所示. 由树状图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD ， BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB ， CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA . 7 新知运用 跟踪训练2 A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一位，B不 排第四位，共有____种不同的排列方法. 【解析】因为A不排第一位，所以排第一位的情况有3种（可从B，C，D中任选一人 排），而此时兼顾分析B的排法，画出树状图，如图所示. 所以符合题意的所有排列有BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD ， CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA ，共14种. 14 8 三、简单的排列问题 例题3 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 【解析】(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的 一个排列，所以共有7×6×5=210 种不同的送法. （2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理， 共有7×7×7=343 种不同的送法. 9 反思感悟 方法总结 对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解. 10 新知运用 跟踪训练3 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京.铁路部 门应为沪宁高铁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不同的火车票的种数为( ). A.15 B.30 C.12 D.36 (2) 3盆不同品种的花排成一排，共有___种不同的排法. 【解析】(1)对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一个排列，故不同的火车票有6×5=30 （种）. (2)共有3×2×1=6 种不同的排法. B 6 11 新知探究 探究二：排列数与排列数公式 情境设置 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？可以用公式表示吗？如何计算？能否求出的值？ 问题2：在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是上海交通大学的学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？ 问题3： 你能写出的值吗？它有什么特征？若 呢？ 12 新知生成 知识点二 排列数与排列数公式 排列数定义：从𝑛个不同元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛) 个元素的所有不同排列的个数，叫作从𝑛个不同元素中取出𝑚 个元素的排列数 符号表示： 全排列：把𝑛个不同的元素全部取出的一个排列，叫作𝑛 个元素的一个全排列.这时，排列数公式中𝑚=𝑛 ，即有𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×⋯×3×2×1 阶乘：正整数1到𝑛的连乘积，叫作𝑛的阶乘，用𝑛！表示.于是，𝑛 个元素的全排列数公式可以写成𝑛！.规定0！=1 乘积式： ，，且 阶乘式： ，，且 13 一、利用排列数公式求值 例4 计算：(1); (2); (3)； (4). 变式：已知，则的值为___. 5 【解析】因为，所以 ，由题意知，解得 . 14 二、利用排列数公式化简 例5 (1) 用排列数表示，且 ； (2) 化简： . 【解析】(1) ,， ，中的最大数为 ，且共有 个数， . (2)由排列数公式可知 . 15 三、利用排列数公式证明 例题6 求证： . 【解析】 ， . 16 反思感悟 方法总结 排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行的，应用时需注意连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数 是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样能减少运算量. 17 新知运用 跟踪训练 不等式的解集为____. 【解析】由，得 ，化简得 ，解得 ， ① 又所以 ， ② 由①②及,得.因此，原不等式的解集为 . 18 随堂检测 1. 甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( ). A.3种 B.4种 C.6种 D.12种 2.可以表示为( ). A. B. C. D. 3.已知，则的值为___. B C 7 19 课堂小结 1.知识清单： (1)排列的概念； (2)排列数与排列数公式. 20 $$