6.2.1 排列 6.2.2 排列数(课件)-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

1.排列 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数 (1)排列数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. 特别地,把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,记作 . 6.2 排列与组合 6.2.1　排列　6.2.2　排列数 必备知识 清单破 知识点 排列与排列数 第1讲　描述运动的基本概念 (2)排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m,n∈N*,且m≤n).  =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!(n∈N*). 规定:0!=1. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.若组成两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的吗? 2. 中的m的取值情况如何? 3.“某商场有四个门口,某人从一个门口进入,购买物品后,从一个门口出去,求不同的进出方 式的种数”是排列问题吗? 4.排列数和排列是同一个概念吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.若组成两个排列的元素相同,但元素的排列顺序不相同,则这两个排列是不相同的. 2.m∈N*且m≤4,即m的取值可以为1,2,3,4. 3.不是.判断一个问题是不是排列问题的要点有两个:一是被取元素互不相同,二是取出的元 素是有顺序的.而此人进出的门口可以是同一个门口,所以不是排列问题. 4.不是.排列是元素的一种具体排法,它不是数值.而排列数是指排列的个数,它是一个数值. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 排列数及其运算 关键能力 定点破 应用排列数公式时的注意点 (1)准确展开:求排列数一般用乘积式展开,要注意展开式的项数要准确. (2)合理约分:若运算式是分式或分数形式且分子与分母中有相同的因式或因数,则要先约分 再计算. (3)合理组合:化简、证明时一般运用阶乘式,应用排列数、阶乘的性质,进而提高运算的速度 和准确性. 第1讲　描述运动的基本概念 常用性质如下: ① =n =m + ; ②n·n!=(n+1)!-n!; ③ = - . 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　(1)用排列数表示(55-n)(56-n)·…·(69-n)(n∈N*且n<55)为　　　    ; (2)计算 =　　　    ; (3)满足不等式 >6 的x的集合为　　　　　    . 3 {3,4,5,6,7} 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵55-n,56-n,…,69-n中最大的数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个正整数, ∴(55-n)(56-n)…(69-n)= . (2) = = =3. (3)原不等式即 > ,其中2<x≤9,x∈N*, 即x2-21x+104>0,整理得(x-8)(x-13)>0,解得x<8或x>13. 又2<x≤9,x∈N*,∴2<x<8,x∈N*. 故x=3,4,5,6,7,所求集合为{3,4,5,6,7}. 易错警示    解含参数的排列数问题时要注意 中的隐含条件n≥m,n,m∈N*,防止遗漏导致 解题错误. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　(1)化简: ①1!+2×2!+3×3!+…+n×n!(n∈N*); ② + + +…+ (n≥2且n∈N*); (2)证明: - =m . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)①∵n·n!=(n+1)!-n!, ∴原式=(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1. ②∵ = - ,∴ + + +…+  = + + +…+  -  =1- . (2)证法一(公式法):∵ -  = - = ·  = · =m· =m , ∴ - =m . 证法二(定义法): 表示从(n+1)个元素中取出m个元素的所有不同排列的个数,设其中一个 第1讲　描述运动的基本概念 元素为a1,则不含元素a1的排列有 个,含有元素a1的排列可这样进行:先排a1,有m种排法,再从 另外n个元素中取出(m-1)个元素排在剩下的(m-1)个位置上,有 种排法,故含有a1的排列有 m 个. ∴ - =m . 第1讲　描述运动的基本概念 　  1.先特殊后一般解决“在”与“不在”问题 解决“在”与“不在”的问题,常用的方法是特殊位置分析法、特殊元素分析法,即谁“特 殊”谁优先.如果有两个及以上的约束条件,那么常见的思路是先肯定(在)再否定(不在),在考 虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件,必要时按第一个条件对第二个条件的影响进行分 类.当直接求解较为困难时,可考虑用间接法求解,即先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减 去不符合要求的排列数. 2.“捆绑法”解决相邻问题 将n个不同的元素排成一列,其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上,求不同排法的种数的方法 如下:①将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体,然后与其他元素一起排列,有 种排 法;②“松绑”,注意捆绑元素本身的内部排列,有 种排法;③由分步乘法计数原理知,符合 定点 2 有限制条件的排列问题 第1讲　描述运动的基本概念 条件的排法有 · 种. 3.“插空法”解决不相邻问题 将n个不同的元素排成一列,其中k 当n为奇数时,k≤ ;当n为偶数时,k≤  个元素互不相 邻,求不同排法的种数的方法如下:①将没有不相邻要求的(n-k)个元素进行全排列,有 种 排法;②将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k 个分别分配给两两不相邻的k个元素,有 种排法;③由分步乘法计数原理知,符合条件的 排法有 · 种. 4.“定序”问题 　　在排列问题中,某些元素在题意中已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其顺 序.在具体的计算过程中,可采用“除序法”解决,即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素的 顺序固定,应除以这m个元素的一个全排列 ,则满足题意的排法有 种. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　3名男生和4名女生站成一排照相,求满足下列情况的不同排法种数. (1)甲、乙均不在两端; (2)男生站在一起、女生站在一起; (3)男生彼此不相邻; (4)甲、乙中间有2个人; (5)若4名女生身高都不等,按从高到低的顺序站; (6)甲不在最左端,乙不在最右端. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)先排两端,在除甲、乙外的5人中任选2人排在两端,有 种排法,再将剩余的5人进 行全排列,有 种排法,所以满足题意的不同排法种数为  =2 400. (2)3名男生站在一起,有 种排法,4名女生站在一起,有 种排法,将这两个整体进行全排列, 有 种排法,所以满足题意的不同排法种数为   =288. (3)先排女生,有 种排法,再在女生站位的空(含两端)中插入男生,每空1人,有 种排法,所以 满足题意的不同排法种数为  =1 440. (4)在除甲、乙外的5人中任选2人排在甲、乙中间,有  种排法,将上述4人看成一个整体, 与余下的3人进行全排列,有 种排法,所以满足题意的不同排法种数为   =960. (5)7人全排列,有 种排法,4名女生不考虑身高顺序的排法有 种,而从高到低顺序站有从左 到右和从右到左2种,所以满足题意的不同排法种数为2× =420. (6)解法一(直接法):①若甲在最右端,将剩余的6人进行全排列,有 种排法;②若甲不在最右 第1讲　描述运动的基本概念 端,则甲有 种排法,乙有 种排法,剩余的5人全排列,有 种排法,所以有   种排法.所 以满足题意的不同排法种数为 +   =3 720. 解法二(间接法):易知甲在最左端或乙在最右端的排法均有 种,甲在最左端且乙在最右端 的排法有 种,将7人进行全排列,有 种排法,所以满足题意的不同排法种数为 -2 + = 3 720. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个: (1)无重复数字的五位奇数? (2)无重复数字且比1 325大的四位数? (3)无重复数字的六位数?若这些六位数按从小到大的顺序排成一列,则240 135是这列数的第 几项? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)先排个位,有 种,再排万位,不能是0和个位所选数字,有 种,最后从剩余的4个数 字中选3个分别排在十位、百位、千位,有 种,所以无重复数字的五位奇数的个数为   =288. (2)①当千位上的数字大于1时,有  个无重复数字且比1 325大的四位数; ②当千位上的数字是1、百位上的数字大于3时,有  个无重复数字且比1 325大的四位数; ③当千位上的数字是1、百位上的数字是3、十位上的数字大于2时,有  个无重复数字且 比1 325大的四位数. 所以无重复数字且比1 325大的四位数的个数为  +  +  =270. (3)因为0不能在十万位上,所以无重复数字的六位数的个数为  =600. 当十万位上的数字为1时,无重复数字的六位数的个数为 ; 当十万位上的数字为2且万位上的数字为0或1或3时,无重复数字的六位数的个数为  . 第1讲　描述运动的基本概念 因为 +  +1=193, 所以240 135是这列数的第193项. 解后反思    数字排列问题的本质是“元素”占“位置”问题,因为位置具有唯一性,所以数 字排列问题一般逐位思考.含有数字“0”的排列问题中,一般情况下,隐含条件为数字“0” 不能在首位,应将数字“0”视为有限制条件的元素优先进行排列.若在一个题目中,除了数字 “0”以外还有其他有限制条件的数字,则应考虑这个有限制条件的数字对位置的选择会不 会影响数字“0”对位置的选择,若有影响,则应分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 $$