精品解析：山西省太原市迎泽区第三十七中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

太原37中2024—2025学年八年级3月质量监测数学 时间90分钟，满分100分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 2021年3月中旬，受冷空气影响我市遭遇了一次沙尘暴天气，水平能见度不足1km，用不等式表示此次沙尘暴天气中水平能见度x（米）（　　） A. x＜1000 B. x＞1000 C. x≤1000 D. x≥1000 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式即可得出答案． 【详解】不足1km，可得x＜1000． 故选A． 【点睛】本题考查不等式的应用，熟练掌握是关键． 2. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A、若m>n，左边减2，右边减2，m−2>n-2，原计算不成立，故A错误，不符合题意； B、若m>n，两边都乘以2，不等号的方向不变，2m>2n成立，故B正确，符合题意； C、若m>n，左边除以−2，右边除以2，﹥不成立，故C错误，不符合题意； D、若m>n， m2>n2不一定成立，如m=-1，n=-2，得m2<n2，故D错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质，解题关键在于掌握其性质定理并熟练运用． 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF=∠B，由三角形内角与外角的关系即可解答． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=（180°-120°）÷2=30°， ∵EF垂直平分AB， ∴BF=AF， ∴∠BAF=∠B=30°， ∴∠AFC=∠BAF+∠B=60°． 故选C． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质. 4. 如图，已知△ABC中，BC＝13cm，AB＝10cm，AB边上的中线CD＝12cm，则AC的长是（　　 ） A. 13cm B. 12cm C. 10cm D. cm 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：解：∵AB=10cm，AB边上的中线CD=12cm， ∴AD=BD=5cm， ∵BC=13cm， ∴BD2+CD2=BC2， ∴∠CDB=90°， ∴CD⊥AB， ∴AC=BC=13cm，故选A． 考点：勾股定理逆定理与线段垂直平分线． 点评：本题难度中等．主要考查勾股定理逆定理与线段垂直平分线的学习． 5. 下列命题中，真命题有（ ） 个 （1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等； （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质以及全等三角形的性质逐项分析判断即可 【详解】解：（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形，形状相同，大小不一定相同，故不一定全等，故原命题为假命题； （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形，符合AAS，可以判定两个三角形全等，故为真命题； （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形，符合SAS，可以判定两个三角形全等，故为真命题； （4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形，故为真命题，理由如下， 已知：在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线且 AD=A'D'． 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 证明：∵∠C=∠C'=90°，AD=A'D'，AC=A'C'， ∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'（HL）， ∴CD=C'D'． ∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线， ∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点， ∴BC=2CD，B'C'=2C'D'， ∴BC=B'C'， 在△ABC和△A'B'C'中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）． 故真命题为：（2）（3）（4）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答此题的关键． 6. 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， ∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 7. 甲、乙两种原科配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 甲种原料 乙种原料 维生素C含量(单位/千克) 600 100 原料价格(元/千克) 8 4 现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为xkg．则x应满足的不等式为（ ） A. 600x+100(10-x)≥4200 B. 8x+4 (100-x) ≤4200 C. 600x+100 (10-x)≤4200 D. 8x+4 (100-x) ≥4200 【答案】A 【解析】 【分析】设所需甲种原料的质量为xkg，则乙种原料需（10-x）kg，根据“至少含有4200单位的维生素C”即可列出不等式． 【详解】解：设所需甲种原料的质量为xkg，则乙种原料需（10-x）kg， 由要求至少含有4200单位的维生素C， 故可得600x+100(10-x)≥4200 故选A 【点睛】此题主要考查不等式的应用解题的关键是找到题中的不等关系． 8. 若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（　 　） A. P是∠A与∠B两角平分线的交点 B. P为AC、AB两边上的高的交点 C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 D. P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点 【答案】C 【解析】 【详解】角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故点P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选C 9. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：A、不满足条件，故A选项错误； B、满足条件∠1＋∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故B选项错误； C、不满足条件，也不满足结论，故C选项错误； D、满足条件，不满足结论，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB=3，AC=4，则CD=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长，根据勾股定理可得BE的长，进而可得CD的长． 【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4， ∴BC=， 根据作图过程可知： AP是BD的垂直平分线， ∴BE=DE，AE⊥BD， ∴S△ABC=AB•AC=BC•AE， ∴5AE=12， ∴AE=， 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 BE=， ∴BD=2BE=， ∴CD=BC-BD=． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、勾股定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，在四边形ABCD中，，E为BC上的一点，且，，，，则AD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据和，，得出，再用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质和勾股定理，解题关键是得出△ADE是直角三角形，熟练运用勾股定理进行． 12. 如图在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再计算即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：2 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质并灵活运用计算周长是解题的关键． 13. 阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按______折销售． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解． 设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可． 【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元， 由题意得：， 解得：， 此种商品可以按最多打8折销售， 故答案是：8． 14. 如图，在中，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，则的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】过D作于F，由角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∴的面积． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键． 15. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度为____．(结果精确到0.1 m，≈1.73) 【答案】5.1m 【解析】 【详解】设CD=x， 在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°， 则tan30°=CD：AD=x：AD 故AD=x， 在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°， 则tan60°=CD：ED=x：ED 故ED=x， 由题意得，AD-ED=x-x=4， 解得：x=2， 则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m． 点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度，然后列方程求解． 三、解答题-问答题 16. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2）； 【答案】（1）， 把不等式的解集表示在数轴上如下： （2）， 把不等式的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握不等式的解法是解题关键． （1）先移项、合并同类项可得，不等式的两边同除以可得不等式的解集，然后将不等式的解集表示在数轴上即可得； （2）先不等式的两边同乘以6可得，再按照移项、合并同类项可得不等式的解集，然后将不等式的解集表示在数轴上即可得． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式的两边同除以，得． 【小问2详解】 解：， 不等式的两边同乘以6，得， 移项，得， 合并同类项，得． 17. 如图，在中，，点D在上，，，，垂足分别为E，F，且，求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】根据角平分线的判定定理求出∠BAD，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF， ∴， 在Rt△ADE中，∠BAD=30°， ∴DE． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定定理、含30°角的直角三角形的性质，掌握在角内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 18. 下面是小明解不等式的过程： 解：去分母，得：；⋯第一步 移项、合并同类项，得：；…第二步 系数化为1，得：…第三步． （1）小明是从第________步开始出错的，错误的原因是________． （2）第三步“系数化为1”的依据是________． （3）此不等式正确的解集是________． 【答案】（1）一，没有分母的项未乘2 （2）不等式的基本性质2 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）观察小明解题过程，找出错误的步骤，分析错误的原因即可； （2）利用不等式的基本性质判断即可； （3）正确解不等式即可． 【小问1详解】 解：小明的解题过程从第一步出现错误； 错误的原因是：去分母时，没有分母的项未乘2． 故答案为：一，没有分母的项未乘2； 【小问2详解】 解：第三步的依据是不等式的基本性质2； 故答案为：不等式的基本性质2； 【小问3详解】 解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 19. 操作与实践 （1）学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习： 第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点； 第二步：过点，作直线． 根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________． （2）小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目： 如图，已知线段，，求作，使，且，高． 请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （3）在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________． 【答案】（1）垂直平分线 （2） 如图，即为所作． ． （3）补全图形如下； 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等知识，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的三线合一是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先作射线，在射线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后在射线（或射线）上截取，连接即可得； （3）先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质可得，，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：由线段垂直平分线的尺规作图可知，小桂作的直线是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵边上的高为，即， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 每年的6月5日为世界环境日，某校学生会高举“共建清洁美丽世界”的旗帜，积极响应国家号召，组织七、八年级共80名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1500个，至少需要多少名八年级学生参加活动？ 【答案】至少需要60名八年级学生参加活动． 【解析】 【分析】设需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个，由收集塑料瓶总数不少于1500个建立不等式求解即可． 【详解】解：设至少需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个． ， 解得， ∴至少需要60名八年级学生参加活动． 【点睛】此题考查列一元一次不等式解决实际问题，一元一次不等式的解法的运用，解答时由收集塑料瓶总数不少于1500个建立不等式是解题关键． 21. 综合探究： 探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境： 数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 问题初探： （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在中，，是的中点，，，垂足分别为点，．经过合作，该小组的同学得出的结论是，并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴（依据1）， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴（依据2）， ∴． 请写出依据1和依据2的内容： 依据1：________； 依据2：________． 类比探究： （2）奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个结论：①在图3中，若，分别为和的中线，那么仍然成立．②在图4中，若，分别为和的角平分线，那么与的数量关系为________． （3）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰中，作腰上的高，如图5，则与有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为________． 【答案】（1）等边对等角；；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角及全等三角形的判定定理解答即可； （2）①根据，D是的中点，得到，由分别为和的中线，得到，由此推出，得到；②由，D是的中点，得到，，，，利用角平分线定义得到，证明，进而推出； （3）连接，根据等腰三角形的性质得到平分，由角平分线的性质得到，由面积的和差关系得到． 【详解】（1）解：依据1：等边对等角；依据2：， 故答案为：等边对等角；； （2）∵，D是的中点， ∴，，， ∴， ∵分别为和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）连接， ∵，D是的中点， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 22. 【课本再现】 （1）如图1，在等腰中，，，平分交于点，，于点，则的长为________． 【类比探究】 （2）如图2，是的角平分线，，，点在上，．则线段、、之间的数量关系为________． 【拓展延伸】 （3）如图3，点是等边外一点，连结，，，恰好满足，平分交于点，线段，，之间有什么关系？请作出猜测并进行证明． 【答案】（1）； （2）； （3）解：，证明如下： 在上找一点，使得． 是等边三角形，， ． ， ． ． 平分， ． ， 是等边三角形． ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是关键． （1）证明，得到，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理求得的长度，再求出，即可求解； （2）证明，则易得，从而求证； （3）在上找一点，使得．证明，则易得是等边三角形．即可证明猜测成立． 【详解】解：平分， ． ， ， ∵， ， ∴， 是等腰直角三角形，， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：是的角平分线， ． ， ． ． ， ， ， ． （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原37中2024—2025学年八年级3月质量监测数学 时间90分钟，满分100分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 2021年3月中旬，受冷空气影响我市遭遇了一次沙尘暴天气，水平能见度不足1km，用不等式表示此次沙尘暴天气中水平能见度x（米）（　　） A. x＜1000 B. x＞1000 C. x≤1000 D. x≥1000 2. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知△ABC中，BC＝13cm，AB＝10cm，AB边上的中线CD＝12cm，则AC的长是（　　 ） A. 13cm B. 12cm C. 10cm D. cm 5. 下列命题中，真命题有（ ） 个 （1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等； （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 7. 甲、乙两种原科配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 甲种原料 乙种原料 维生素C含量(单位/千克) 600 100 原料价格(元/千克) 8 4 现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为xkg．则x应满足的不等式为（ ） A. 600x+100(10-x)≥4200 B. 8x+4 (100-x) ≤4200 C. 600x+100 (10-x)≤4200 D. 8x+4 (100-x) ≥4200 8. 若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（　 　） A. P是∠A与∠B两角平分线的交点 B. P为AC、AB两边上的高的交点 C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 D. P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点 9. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB=3，AC=4，则CD=（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，在四边形ABCD中，，E为BC上的一点，且，，，，则AD＝______． 12. 如图在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为__________． 13. 阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按______折销售． 14. 如图，在中，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，则的面积为________． 15. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度为____．(结果精确到0.1 m，≈1.73) 三、解答题-问答题 16. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2）； 17. 如图，在中，，点D在上，，，，垂足分别为E，F，且，求的长． 18. 下面是小明解不等式的过程： 解：去分母，得：；⋯第一步 移项、合并同类项，得：；…第二步 系数化为1，得：…第三步． （1）小明是从第________步开始出错的，错误的原因是________． （2）第三步“系数化为1”的依据是________． （3）此不等式正确的解集是________． 19. 操作与实践 （1）学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习： 第一步：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点； 第二步：过点，作直线． 根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的________． （2）小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目： 如图，已知线段，，求作，使，且，高． 请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （3）在（2）所作的图中，已知边上的高为，根据题意补全图形，则与的数量关系是________． 20. 每年的6月5日为世界环境日，某校学生会高举“共建清洁美丽世界”的旗帜，积极响应国家号召，组织七、八年级共80名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1500个，至少需要多少名八年级学生参加活动？ 21. 综合探究： 探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境： 数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 问题初探： （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在中，，是的中点，，，垂足分别为点，．经过合作，该小组的同学得出的结论是，并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴（依据1）， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴（依据2）， ∴． 请写出依据1和依据2的内容： 依据1：________； 依据2：________． 类比探究： （2）奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个结论：①在图3中，若，分别为和的中线，那么仍然成立．②在图4中，若，分别为和的角平分线，那么与的数量关系为________． （3）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰中，作腰上的高，如图5，则与有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为________． 22. 【课本再现】 （1）如图1，在等腰中，，，平分交于点，，于点，则的长为________． 【类比探究】 （2）如图2，是的角平分线，，，点在上，．则线段、、之间的数量关系为________． 【拓展延伸】 （3）如图3，点是等边外一点，连结，，，恰好满足，平分交于点，线段，，之间有什么关系？请作出猜测并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $