第四单元分数的意义和性质·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

第 1 页 共 16 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 16 页 目 录 【课内精选一】分数的意义 .................................................................................................... 3 【课内精选二】分数与除法 .................................................................................................... 5 【课内精选三】分解质因数 .................................................................................................... 7 【课内精选四】分数的基本性质 ............................................................................................ 7 【奥数拓展一】分数的意义 .................................................................................................. 10 【奥数拓展二】分数与除法 .................................................................................................. 11 【奥数拓展三】分解质因数（一） ...................................................................................... 12 【奥数拓展四】分解质因数（二） ...................................................................................... 13 【奥数拓展五】分解质因数（三） ...................................................................................... 14 【奥数拓展六】分解质因数（四） ...................................................................................... 15 【奥数拓展七】分数的基本性质 .......................................................................................... 15 第 3 页 共 16 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元分数的意义和性质·思维素养篇·第一部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】分数的意义。 下图阴影部分占两个大正方形面积的( )。 【答案】 1 8 【分析】根据图可知，把一个大正方形平均分成 4份，那么两个大正方形相当于 平均分成 8份，其中的 1份占两个大正方形面积的几分之几，根据分数的意义， 把一个整体平均分成若干份，其中的一份就是几分之几。据此即可填空。 【详解】由分析可知： 阴影部分占两个大正方形面积的 1 8。 【专项训练】 1．用分数表示下图中的阴影部分。 【答案】 5 9； 3 4 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数； 将第一个图形平均分成 9份，其中 5份涂色，用分数表示，分母为 9，分子为 5； 第 4 页 共 16 页 将第二个图形平均分成 4份，其中 3份涂色，用分数表示，分母为 4，分子为 3。 【详解】 2．涂色部分占整个图形的几分之几？ ( ) ( ) ( ) ( ) 【答案】 2 4； 1 3 【分析】将最右边小长方形的阴影部分向左平移到最左边小长方形的空白部分， 阴影部分恰好拼成一个小长方形。中间右侧的三角形向左平移可以和左侧三角形 拼成一个长方形。整个图形平均分成 4个小长方形，阴影部分占了 2个小长方形。 右侧阴影部分左右对称变化后再向左平移可以和左侧阴影部分拼在一起，恰好拼 成一个小长方形。整个图形平均分成 3个小长方形，阴影部分占了 1个小长方形。 据此解答即可。 【详解】第一个图形将整体平均分成 4份，阴影部分占其中的 2份，所以阴影部 分是整体的 2 4。 第二个图形将整体平均分成 3份，阴影部分占其中的 1份，所以阴影部分是整体 的 1 3 。 3．有若干个“☆”，菲菲用一张纸遮住了这些“☆”的一部分（如图），露出的部 分是总数的 1 5，“☆”总数有( )个。 第 5 页 共 16 页 【答案】20 【分析】把“☆”的总数看作单位“1”，把它平均分成 5份，每份是它的 15，露出的 部分是“☆”是其中 1份，有 4个，用 1份的个数乘 5就是“☆”的总数。 【详解】如图： 4×5＝20（个） “☆”总数有 20个。 【课内精选二】分数与除法。 把 3kg平均分成 7份，每份占 3kg的( )，每份是( )kg。 【答案】 1 7 3 7 【分析】根据分数的意义：把一个整体平均分成若干份，其中的 1份就是几分之 几，即平均分成 7份，其中的 1份是 1 7，每份的重量，用总重量÷分成的份数＝1 份量，即 3÷7，再根据分数和除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数， 据此即可写成分数。 【详解】1÷7＝ 1 7 3÷7＝ 37 每份占 3kg的 1 7，每份是 3 7 kg。 【专项训练】 1．粮油店老板将 8千克香油平均装进 5个瓶子中，那么 2瓶香油占这些香油的 ( )。 第 6 页 共 16 页 【答案】 2 5 【分析】求一个数占另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数即可解答。 【详解】2÷5＝ 25 所以，2瓶香油占这些香油的 25 。 2．某施工队计划 10天修完一条 11km的公路，平均每天修这条公路的         （ ） （ ） ，平 均每天修         （ ） （ ） 。 【答案】 1 10 ； 11 10 【分析】将这条 11km的公路看作单位“1”，用 1÷10，就得到平均每天修这条公 路的的几分之几，是求分率。用 11÷10，平均每天修的长度，是求具体的数量； 据此解答。 【详解】1÷10＝ 1 10 11÷10＝ 11 10 （km） 某施工队计划 10天修完一条 11km的公路，平均每天修这条公路的 1 10 ，平均每 天修 11 10 km。 3．一个 6kg的西瓜平均分给 7个人吃，每人吃了这个西瓜的    ，每人吃了     kg。 【答案】 1 7； 6 7 【分析】每个人吃了这个西瓜的几分之几，将这个西瓜总质量看成单位“1”，再 根据分数的意义求出每份是总数量的几分之几； 根据除法的意义，用总重量除以分的份数就是每份的重量。 【详解】1÷7＝ 17 6÷7＝ 67（kg） 则每人吃了这个西瓜的 1 7 ，每人吃了 6 7 kg。 第 7 页 共 16 页 【课内精选三】分解质因数。 把 100分解质因数。 解析：100=2×2×5×5=2²×5² 【专项训练】 1. 把 60分解质因数。 解析： 60=2×2×3×5 =2²×3×5 2. 把 210分解质因数。 解析：210=2×3×5×7 3. 把 750分解质因数。 解析：750=2×3×5³ 【课内精选四】分数的基本性质。 3 5的分子增加 6，要使分数大小不变，分母应该乘( )。 【答案】3 【分析】根据分数的基性质，先计算分子增加 6，等于多少，再除以 3，即得到 扩大到原来的几倍，分母也应该乘几。 【详解】  3 6 3  9 3  3 3 5的分子增加 6，要使分数大小不变，分母应该乘 3。 【专项训练】 1． 27的分子乘 6，要使分数值不变，分母应加上( )。 【答案】35 【分析】根据分数的基本性质可知，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数 （0除外），分数的大小不变，据此分析。 【详解】分子乘 6，分母也应乘 6。 第 8 页 共 16 页 7×6－7 ＝42－7 ＝35 2 7的分子乘 6，要使分数值不变，分母应加上 35。 2．一个分数 2 3 ，如果分子加 8后不改变分数的大小，分母要加上( )。 【答案】12 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外）， 分数的大小不变。 2 3 的分子加上 8得 10，相当于分子 2乘 5，根据分数的基本性质，要使分数的大 小不变，分母也要乘 5得 15，再减去原来的分母，即是分母应该加上的数。 【详解】分子相当于乘： （2＋8）÷2 ＝10÷2 ＝5 分母也要乘 5或加上： 3×5－3 ＝15－3 ＝12 一个分数 2 3 ，如果分子加 8后不改变分数的大小，分母要加上 12。 3．把 38的分子增加 9，要使分数大小不变，则分母增加( )。 【答案】24 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外）， 分数的大小不变，据此确定分子扩大的倍数，进而求出分母的值，最后求出分母 应乘或加上多少。 【详解】（3＋9）÷3 ＝12÷3 ＝4 8×4－8 第 9 页 共 16 页 ＝32－8 ＝24 把 3 8的分子增加 9，要使分数大小不变，则分母增加 24。 第 10 页 共 16 页 【奥数拓展一】分数的意义。 如图 1所示，小三角形的面积是大三角形的几分之几? 解析： 可以把小三角形在圆内旋转，当转到如图 2所示的位置时，就会发现大三角形正 好是由 4个小三角形组成的，所以，小三角形的面积是大三角形的 4 1 。 【专项训练】 1. 如图所示，小正方形的面积是大正方形的几分之几? 解析： 2 1 2. 如图所示，最小的正方形面积是最大的正方形面积的几分之几? 第 11 页 共 16 页 解析： 4 1 3. 将边长为 a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各 边的中点连接成第三个正方形，继续下去，得到如图所示的图形，那么，图中阴 影部分面积是边长为 a的正方形面积的几分之几? 解析： 16 1 【奥数拓展二】分数与除法。 有同样大小的红、白、黑玻璃球共 80个，按照 1个红球、2个白球、3个黑球的 顺序排列，问：三种颜色的玻璃球各占总数的几分之几? 解析： 80÷(1+2+3)=13……2 红玻璃：1×13+1=14，14÷80= 40 7 80 14  白玻璃：2×13+1=27，27÷80= 80 27 黑玻璃：3×13=39，39÷80= 80 39 【专项训练】 1. 有同样大小的红、白、黑玻璃球共 100个，按照 2个红球、3个白球、3个黑 球的顺序排列，那么，三种颜色的玻璃球各占总数的几分之几? 解析：红 50 13 ；白 50 19 ；黑 25 9 2. 如图所示，三个同心圆分别被直径 AB、CD、EF、GH 八等分，那么，图中 阴影部分面积占非阴影部分面积的几分之几? 第 12 页 共 16 页 解析： 3 1 3. 梯形的两条对角线把梯形分成 4个三角形，BO=1厘米，OC=2厘米，那么阴 影三角形的面积是整个梯形面积的几分之几? 解析： 9 1 【奥数拓展三】分解质因数（一）。 310除以一个两位数，余数是 37，求这样的两位数。 解析： 在有余数的除法中，被除数减去余数等于除数与商的乘积，根据题意，除数×商 =310－37=273 273=3×7×13 =3×91 =7×39 除数为两位数，又要大于 37，所以，除数应该是 91或 39。 【专项训练】 1. 用一个两位数除 708，余数为 43，求这个两位数。 解析： 708－43=665，665=5×7×19=7×95，所以，除数只能是 95。 2. 小明翻开数学书，发现左右两页页码的积是 1332，求这两页的页码各是多少? 解析： 因为 1332=2×2×3×3×37，根据题意 1332是两个连续自然数的积，经过观察，可 以写成 1332=36×37，所以，这两页的页码分别是 36和 37。 3. 有 735 个同学参加“金钥匙”知识竞赛，要把他们安排在若干个考场中，每个 试场的人数相等且每个试场的人数在 30至 40人之间，则需要分成几个考场? 解析： 因为 735=3×5×7×7，又因为每个考场人数在 30至 40人之间，因此 735=21×35， 第 13 页 共 16 页 即每个考场有 35人，可以分成 21个考场。 【奥数拓展四】分解质因数（二）。 要使 36×110×280×( )的最后五个数字都是 0，那么括号里填入的自然数最 小是多少? 解析： 首先，同学们要明白，要使乘积的最后五个数字是 0，只要所有的因数分解质因 数后有 5个 5和 5个 2，为什么呢?因为 2×5=10，有一个 0,五组“2×5”便会产生 5 个 0，因此 36=2×2×3×3，110=2×5×11，280=2×2×2×5×7。 现在有 6个质因数 2和 2个质因数 5，质因数“2”的个数足够，还缺 5－2=3(个) 质因数 5，这必须由最后那个自然数来实现，即 5×5×5=125。 所以，括号里填入的自然数最小是 125。 【专项训练】 1. 要使 145×32×20×A的乘积的末尾一共有 5个“0”，则 A最小是几? 解析： 145=5×29，32=2×2×2×2×2，20=2×2×5，有 7个质因数 2，两个质因数 5，因此， 还需 3个质因数 5，5×5×5=125，所以，A最小是 125。 2. 计算 1×2×3×4×5×…×23×24×25，积的末尾一共会有几个"0"? 解析： 积的末尾有多少个 0，关键是看质因数中有多少对 2和 5 1，2，3，4，5，6，7，…，23，24，25中有 6个因数 5，所以，积的末尾一共 会有 6个“0”，一般，质因数 2的个数是足够的。 3. 如果 168 乘自然数 A的得数是个平方数，那么 A 最小是几?这个平方数是多 少(A≠0)? 解析： 168=2×2×2×3×7，A=2×3×7=42，2×2×2×3×7×2×3×7=7056。 所以，A最小是 42，这个平方数是 7056。 第 14 页 共 16 页 【奥数拓展五】分解质因数（三）。 阳阳的哥哥参加了今年的中学生“数学爱好者杯”数学竞赛，比赛结束后，阳阳问 哥哥：“这次比赛你得了多少分?是第几名?”哥哥告诉她说：“我得的名次和我的 岁数及我的得分的乘积是 2910，你说我的得分和名次各是多少?” 解析： 根据阳阳哥哥的回答，可以知道 2910是三个数的乘积，那么，我们不妨把 2910 分解质因数.2910=2×3×5×97。 2910有 4个质因数，看来需要把两个质因数进行“组合”成一个数，这样才会有 三个数，阳阳的哥哥既然是中学生，他的年龄就有一定的范围，他不可能是 2 岁、3岁、5岁、6岁、10岁，因此，可以肯定他的岁数是 3×5=15(岁)，接下来， 问题就好解决了。 2910=2×3×5×97=2×(3×5)×97=2×15×97。 答：他的名次是第 2名，得分是 97分。 【专项训练】 1. 一个长方形的面积是 600平方厘米，它的长和宽是两个相邻的自然数.这个长 方形的周长是多少? 解析： 600=2×2×2×3×5×5=24×25，(24+25)×2=98(厘米)，所以，这个长方形的周长是 98 厘米。 2. 小林、小明、小宇、小军四个人是好邻居，更巧的是他们的年龄正好是四个 连续的自然数，并且乘积是 3024，你知道他们的年龄分别是多少吗? 解析： 3024=2×2×2×2×3×3×3×7 =(2×3)×7×(2×2×2)×(3×3) =6×7×8×9 所以，他们四个人的年龄分别是 6岁、7岁、8岁、9岁。 3. 三个自然数的乘积为 84，其中两个数的和等于另一个数，这三个数分别是多 少? 解析： 第 15 页 共 16 页 84=2×2×3×7，3+4=7，所以，这三个数分别是 3、4、7。 【奥数拓展六】分解质因数（四）。 植树节那天，樊老师带着部分同学去植树，同学们按人数恰好可以平均分成 4 组，樊老师也一起动手参加植树，并且师生每人植的棵数一样多，已知他们一共 植了 168棵树，并且每人植树的棵数不满 10棵，那么，每人植树多少棵? 解析： 由于“每人植的棵数×总人数=总棵数”，不难知道“每人植的棵数”和“总人数”都是 168的因数，可以考虑将 168分解质因数。 168=2×2×2×3×7。 由于学生恰好可以平均分成 4组，再加上一个老师，因此，总人数一定是 4的倍 数多 1，可以看出只有 3×7=21是符合条件的。 168=2×2×2×3×7=(2×2×2)×(3×7)=8×21 答：每人植了 8棵树。 【专项训练】 1. 陈老师把全班同学平均分成了两组，并和全体同学一起为学校搬运新课桌， 已知老师和每位同学搬的张数相同，共搬了 148张桌子，那么，这个班有多少名 同学? 解析：148=(2×2)×37，37－1=36(人)，所以，这个班有 36人。 2. 张老师带领一班学生去植树，学生恰好平均分成 4组，如果张老师和学生每 人植树棵数一样多，且他们一共植了 667棵树，这个班有多少个学生?每人植树 多少棵? 解析：667=23×29=23×(28+1)，所以，这个班有 28个学生，每人植树 23棵。 3. 春天到了，李老师和五(1)班学生一起去植树，活动结束后，他们数一数发现： 大家一共植树 364 棵，而且每人植的棵数一样多，如果五(1)班学生人数恰好可 以平均分成 17组，那么每人植树多少棵? 解析：364=2×2×7×13，只有 364=(51+1)×7，所以，每人植树 7棵。 【奥数拓展七】分数的基本性质。 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19后得到一个新分数，这个分数可 第 16 页 共 16 页 以化成 5 1 ，求原来的分数。 解析： 16 7 【专项训练】 1. 一个分数的分子与分母之和是 27，分子减少 3后得到的新分数可以化成 2 1 ， 求原来的分数。 解析： 16 11 2. 一个分数的分子与分母之和是 35，分子增加 9后得到的新分数可以化成 3 1 ， 求原来的分数。 解析： 33 2 3. 一个真分数分子与分母的和是 64，它可以化成 5 3 ，原来的分数是多少? 解析： 40 24 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】分数的意义 3 【课内精选二】分数与除法 4 【课内精选三】分解质因数 4 【课内精选四】分数的基本性质 5 【奥数拓展一】分数的意义 6 【奥数拓展二】分数与除法 7 【奥数拓展三】分解质因数（一） 8 【奥数拓展四】分解质因数（二） 8 【奥数拓展五】分解质因数（三） 9 【奥数拓展六】分解质因数（四） 10 【奥数拓展七】分数的基本性质 11 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元分数的意义和性质·思维素养篇·第一部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】分数的意义。 下图阴影部分占两个大正方形面积的( )。 【专项训练】 1．用分数表示下图中的阴影部分。 2．涂色部分占整个图形的几分之几？                                                         3．有若干个“☆”，菲菲用一张纸遮住了这些“☆”的一部分（如图），露出的部分是总数的，“☆”总数有( )个。 【课内精选二】分数与除法。 把3kg平均分成7份，每份占3kg的( )，每份是( )kg。 【专项训练】 1．粮油店老板将8千克香油平均装进5个瓶子中，那么2瓶香油占这些香油的( )。 2．某施工队计划10天修完一条11km的公路，平均每天修这条公路的，平均每天修。 3．一个6kg的西瓜平均分给7个人吃，每人吃了这个西瓜的，每人吃了kg。 【课内精选三】分解质因数。 把100分解质因数。 【专项训练】 1. 把60分解质因数。 2. 把210分解质因数。 3. 把750分解质因数。 【课内精选四】分数的基本性质。 的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该乘( )。 【专项训练】 1．的分子乘6，要使分数值不变，分母应加上( )。 2．一个分数，如果分子加8后不改变分数的大小，分母要加上( )。 3．把的分子增加9，要使分数大小不变，则分母增加( )。 【奥数拓展一】分数的意义。 如图1所示，小三角形的面积是大三角形的几分之几? 【专项训练】 1. 如图所示，小正方形的面积是大正方形的几分之几? 2. 如图所示，最小的正方形面积是最大的正方形面积的几分之几? 3. 将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连接成第三个正方形，继续下去，得到如图所示的图形，那么，图中阴影部分面积是边长为a的正方形面积的几分之几? 【奥数拓展二】分数与除法。 有同样大小的红、白、黑玻璃球共80个，按照1个红球、2个白球、3个黑球的顺序排列，问：三种颜色的玻璃球各占总数的几分之几? 【专项训练】 1. 有同样大小的红、白、黑玻璃球共100个，按照2个红球、3个白球、3个黑球的顺序排列，那么，三种颜色的玻璃球各占总数的几分之几? 2. 如图所示，三个同心圆分别被直径AB、CD、EF、GH八等分，那么，图中阴影部分面积占非阴影部分面积的几分之几? 3. 梯形的两条对角线把梯形分成4个三角形，BO=1厘米，OC=2厘米，那么阴影三角形的面积是整个梯形面积的几分之几? 【奥数拓展三】分解质因数（一）。 310除以一个两位数，余数是37，求这样的两位数。 【专项训练】 1. 用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数。 2. 小明翻开数学书，发现左右两页页码的积是1332，求这两页的页码各是多少? 3. 有735个同学参加“金钥匙”知识竞赛，要把他们安排在若干个考场中，每个试场的人数相等且每个试场的人数在30至40人之间，则需要分成几个考场? 【奥数拓展四】分解质因数（二）。 要使36×110×280×( )的最后五个数字都是0，那么括号里填入的自然数最小是多少? 【专项训练】 1. 要使145×32×20×A的乘积的末尾一共有5个“0”，则A最小是几? 2. 计算1×2×3×4×5×…×23×24×25，积的末尾一共会有几个"0"? 3. 如果168乘自然数A的得数是个平方数，那么A最小是几?这个平方数是多少(A≠0)? 【奥数拓展五】分解质因数（三）。 阳阳的哥哥参加了今年的中学生“数学爱好者杯”数学竞赛，比赛结束后，阳阳问哥哥：“这次比赛你得了多少分?是第几名?”哥哥告诉她说：“我得的名次和我的岁数及我的得分的乘积是2910，你说我的得分和名次各是多少?” 【专项训练】 1. 一个长方形的面积是600平方厘米，它的长和宽是两个相邻的自然数.这个长方形的周长是多少? 2. 小林、小明、小宇、小军四个人是好邻居，更巧的是他们的年龄正好是四个连续的自然数，并且乘积是3024，你知道他们的年龄分别是多少吗? 3. 三个自然数的乘积为84，其中两个数的和等于另一个数，这三个数分别是多少? 【奥数拓展六】分解质因数（四）。 植树节那天，樊老师带着部分同学去植树，同学们按人数恰好可以平均分成4组，樊老师也一起动手参加植树，并且师生每人植的棵数一样多，已知他们一共植了168棵树，并且每人植树的棵数不满10棵，那么，每人植树多少棵? 【专项训练】 1. 陈老师把全班同学平均分成了两组，并和全体同学一起为学校搬运新课桌，已知老师和每位同学搬的张数相同，共搬了148张桌子，那么，这个班有多少名同学? 2. 张老师带领一班学生去植树，学生恰好平均分成4组，如果张老师和学生每人植树棵数一样多，且他们一共植了667棵树，这个班有多少个学生?每人植树多少棵? 3. 春天到了，李老师和五(1)班学生一起去植树，活动结束后，他们数一数发现：大家一共植树364棵，而且每人植的棵数一样多，如果五(1)班学生人数恰好可以平均分成17组，那么每人植树多少棵? 【奥数拓展七】分数的基本性质。 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，这个分数可以化成，求原来的分数。 【专项训练】 1. 一个分数的分子与分母之和是27，分子减少3后得到的新分数可以化成，求原来的分数。 2. 一个分数的分子与分母之和是35，分子增加9后得到的新分数可以化成，求原来的分数。 3. 一个真分数分子与分母的和是64，它可以化成，原来的分数是多少? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 11 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 11 页 目 录 【课内精选一】分数的意义 .................................................................................................... 3 【课内精选二】分数与除法 .................................................................................................... 4 【课内精选三】分解质因数 .................................................................................................... 4 【课内精选四】分数的基本性质 ............................................................................................ 5 【奥数拓展一】分数的意义 .................................................................................................... 6 【奥数拓展二】分数与除法 .................................................................................................... 7 【奥数拓展三】分解质因数（一） ........................................................................................ 8 【奥数拓展四】分解质因数（二） ........................................................................................ 8 【奥数拓展五】分解质因数（三） ........................................................................................ 9 【奥数拓展六】分解质因数（四） ...................................................................................... 10 【奥数拓展七】分数的基本性质 .......................................................................................... 11 第 3 页 共 11 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元分数的意义和性质·思维素养篇·第一部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】分数的意义。 下图阴影部分占两个大正方形面积的( )。 【专项训练】 1．用分数表示下图中的阴影部分。 2．涂色部分占整个图形的几分之几？ ( ) ( ) ( ) ( ) 3．有若干个“☆”，菲菲用一张纸遮住了这些“☆”的一部分（如图），露出的部 分是总数的 1 5，“☆”总数有( )个。 第 4 页 共 11 页 【课内精选二】分数与除法。 把 3kg平均分成 7份，每份占 3kg的( )，每份是( )kg。 【专项训练】 1．粮油店老板将 8千克香油平均装进 5个瓶子中，那么 2瓶香油占这些香油的 ( )。 2．某施工队计划 10天修完一条 11km的公路，平均每天修这条公路的         （ ） （ ） ，平 均每天修         （ ） （ ） 。 3．一个 6kg的西瓜平均分给 7个人吃，每人吃了这个西瓜的    ，每人吃了     kg。 【课内精选三】分解质因数。 把 100分解质因数。 【专项训练】 1. 把 60分解质因数。 2. 把 210分解质因数。 3. 把 750分解质因数。 第 5 页 共 11 页 【课内精选四】分数的基本性质。 3 5的分子增加 6，要使分数大小不变，分母应该乘( )。 【专项训练】 1． 27的分子乘 6，要使分数值不变，分母应加上( )。 2．一个分数 2 3 ，如果分子加 8后不改变分数的大小，分母要加上( )。 3．把 38的分子增加 9，要使分数大小不变，则分母增加( )。 第 6 页 共 11 页 【奥数拓展一】分数的意义。 如图 1所示，小三角形的面积是大三角形的几分之几? 【专项训练】 1. 如图所示，小正方形的面积是大正方形的几分之几? 2. 如图所示，最小的正方形面积是最大的正方形面积的几分之几? 3. 将边长为 a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各 边的中点连接成第三个正方形，继续下去，得到如图所示的图形，那么，图中阴 影部分面积是边长为 a的正方形面积的几分之几? 第 7 页 共 11 页 【奥数拓展二】分数与除法。 有同样大小的红、白、黑玻璃球共 80个，按照 1个红球、2个白球、3个黑球的 顺序排列，问：三种颜色的玻璃球各占总数的几分之几? 【专项训练】 1. 有同样大小的红、白、黑玻璃球共 100个，按照 2个红球、3个白球、3个黑 球的顺序排列，那么，三种颜色的玻璃球各占总数的几分之几? 2. 如图所示，三个同心圆分别被直径 AB、CD、EF、GH 八等分，那么，图中 阴影部分面积占非阴影部分面积的几分之几? 3. 梯形的两条对角线把梯形分成 4个三角形，BO=1厘米，OC=2厘米，那么阴 影三角形的面积是整个梯形面积的几分之几? 第 8 页 共 11 页 【奥数拓展三】分解质因数（一）。 310除以一个两位数，余数是 37，求这样的两位数。 【专项训练】 1. 用一个两位数除 708，余数为 43，求这个两位数。 2. 小明翻开数学书，发现左右两页页码的积是 1332，求这两页的页码各是多少? 3. 有 735 个同学参加“金钥匙”知识竞赛，要把他们安排在若干个考场中，每个 试场的人数相等且每个试场的人数在 30至 40人之间，则需要分成几个考场? 【奥数拓展四】分解质因数（二）。 要使 36×110×280×( )的最后五个数字都是 0，那么括号里填入的自然数最 小是多少? 第 9 页 共 11 页 【专项训练】 1. 要使 145×32×20×A的乘积的末尾一共有 5个“0”，则 A最小是几? 2. 计算 1×2×3×4×5×…×23×24×25，积的末尾一共会有几个"0"? 3. 如果 168 乘自然数 A的得数是个平方数，那么 A 最小是几?这个平方数是多 少(A≠0)? 【奥数拓展五】分解质因数（三）。 阳阳的哥哥参加了今年的中学生“数学爱好者杯”数学竞赛，比赛结束后，阳阳问 哥哥：“这次比赛你得了多少分?是第几名?”哥哥告诉她说：“我得的名次和我的 岁数及我的得分的乘积是 2910，你说我的得分和名次各是多少?” 【专项训练】 1. 一个长方形的面积是 600平方厘米，它的长和宽是两个相邻的自然数.这个长 方形的周长是多少? 第 10 页 共 11 页 2. 小林、小明、小宇、小军四个人是好邻居，更巧的是他们的年龄正好是四个 连续的自然数，并且乘积是 3024，你知道他们的年龄分别是多少吗? 3. 三个自然数的乘积为 84，其中两个数的和等于另一个数，这三个数分别是多 少? 【奥数拓展六】分解质因数（四）。 植树节那天，樊老师带着部分同学去植树，同学们按人数恰好可以平均分成 4 组，樊老师也一起动手参加植树，并且师生每人植的棵数一样多，已知他们一共 植了 168棵树，并且每人植树的棵数不满 10棵，那么，每人植树多少棵? 【专项训练】 1. 陈老师把全班同学平均分成了两组，并和全体同学一起为学校搬运新课桌， 已知老师和每位同学搬的张数相同，共搬了 148张桌子，那么，这个班有多少名 同学? 2. 张老师带领一班学生去植树，学生恰好平均分成 4组，如果张老师和学生每 人植树棵数一样多，且他们一共植了 667棵树，这个班有多少个学生?每人植树 多少棵? 第 11 页 共 11 页 3. 春天到了，李老师和五(1)班学生一起去植树，活动结束后，他们数一数发现： 大家一共植树 364 棵，而且每人植的棵数一样多，如果五(1)班学生人数恰好可 以平均分成 17组，那么每人植树多少棵? 【奥数拓展七】分数的基本性质。 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19后得到一个新分数，这个分数可 以化成 5 1 ，求原来的分数。 【专项训练】 1. 一个分数的分子与分母之和是 27，分子减少 3后得到的新分数可以化成 2 1 ， 求原来的分数。 2. 一个分数的分子与分母之和是 35，分子增加 9后得到的新分数可以化成 3 1 ， 求原来的分数。 3. 一个真分数分子与分母的和是 64，它可以化成 5 3 ，原来的分数是多少? 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】分数的意义 3 【课内精选二】分数与除法 5 【课内精选三】分解质因数 7 【课内精选四】分数的基本性质 7 【奥数拓展一】分数的意义 10 【奥数拓展二】分数与除法 11 【奥数拓展三】分解质因数（一） 12 【奥数拓展四】分解质因数（二） 13 【奥数拓展五】分解质因数（三） 14 【奥数拓展六】分解质因数（四） 15 【奥数拓展七】分数的基本性质 15 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元分数的意义和性质·思维素养篇·第一部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】分数的意义。 下图阴影部分占两个大正方形面积的( )。 【答案】 【分析】根据图可知，把一个大正方形平均分成4份，那么两个大正方形相当于平均分成8份，其中的1份占两个大正方形面积的几分之几，根据分数的意义，把一个整体平均分成若干份，其中的一份就是几分之几。据此即可填空。 【详解】由分析可知： 阴影部分占两个大正方形面积的。 【专项训练】 1．用分数表示下图中的阴影部分。 【答案】； 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数；将第一个图形平均分成9份，其中5份涂色，用分数表示，分母为9，分子为5；将第二个图形平均分成4份，其中3份涂色，用分数表示，分母为4，分子为3。 【详解】 2．涂色部分占整个图形的几分之几？                                                         【答案】； 【分析】将最右边小长方形的阴影部分向左平移到最左边小长方形的空白部分，阴影部分恰好拼成一个小长方形。中间右侧的三角形向左平移可以和左侧三角形拼成一个长方形。整个图形平均分成4个小长方形，阴影部分占了2个小长方形。 右侧阴影部分左右对称变化后再向左平移可以和左侧阴影部分拼在一起，恰好拼成一个小长方形。整个图形平均分成3个小长方形，阴影部分占了1个小长方形。 据此解答即可。 【详解】第一个图形将整体平均分成4份，阴影部分占其中的2份，所以阴影部分是整体的。 第二个图形将整体平均分成3份，阴影部分占其中的1份，所以阴影部分是整体的。 3．有若干个“☆”，菲菲用一张纸遮住了这些“☆”的一部分（如图），露出的部分是总数的，“☆”总数有( )个。 【答案】20 【分析】把“☆”的总数看作单位“1”，把它平均分成5份，每份是它的，露出的部分是“☆”是其中1份，有4个，用1份的个数乘5就是“☆”的总数。 【详解】如图： 4×5＝20（个） “☆”总数有20个。 【课内精选二】分数与除法。 把3kg平均分成7份，每份占3kg的( )，每份是( )kg。 【答案】 【分析】根据分数的意义：把一个整体平均分成若干份，其中的1份就是几分之几，即平均分成7份，其中的1份是，每份的重量，用总重量÷分成的份数＝1份量，即3÷7，再根据分数和除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，据此即可写成分数。 【详解】1÷7＝ 3÷7＝ 每份占3kg的，每份是kg。 【专项训练】 1．粮油店老板将8千克香油平均装进5个瓶子中，那么2瓶香油占这些香油的( )。 【答案】 【分析】求一个数占另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数即可解答。 【详解】2÷5＝ 所以，2瓶香油占这些香油的。 2．某施工队计划10天修完一条11km的公路，平均每天修这条公路的，平均每天修。 【答案】； 【分析】将这条11km的公路看作单位“1”，用1÷10，就得到平均每天修这条公路的的几分之几，是求分率。用11÷10，平均每天修的长度，是求具体的数量；据此解答。 【详解】1÷10＝ 11÷10＝（km） 某施工队计划10天修完一条11km的公路，平均每天修这条公路的，平均每天修km。 3．一个6kg的西瓜平均分给7个人吃，每人吃了这个西瓜的，每人吃了kg。 【答案】； 【分析】每个人吃了这个西瓜的几分之几，将这个西瓜总质量看成单位“1”，再根据分数的意义求出每份是总数量的几分之几； 根据除法的意义，用总重量除以分的份数就是每份的重量。 【详解】1÷7＝ 6÷7＝（kg） 则每人吃了这个西瓜的，每人吃了kg。 【课内精选三】分解质因数。 把100分解质因数。 解析：100=2×2×5×5=2²×5² 【专项训练】 1. 把60分解质因数。 解析： 60=2×2×3×5 =2²×3×5 2. 把210分解质因数。 解析：210=2×3×5×7 3. 把750分解质因数。 解析：750=2×3×5³ 【课内精选四】分数的基本性质。 的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该乘( )。 【答案】3 【分析】根据分数的基性质，先计算分子增加6，等于多少，再除以3，即得到扩大到原来的几倍，分母也应该乘几。 【详解】 的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该乘3。 【专项训练】 1．的分子乘6，要使分数值不变，分母应加上( )。 【答案】35 【分析】根据分数的基本性质可知，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此分析。 【详解】分子乘6，分母也应乘6。 7×6－7 ＝42－7 ＝35 的分子乘6，要使分数值不变，分母应加上35。 2．一个分数，如果分子加8后不改变分数的大小，分母要加上( )。 【答案】12 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 的分子加上8得10，相当于分子2乘5，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分母也要乘5得15，再减去原来的分母，即是分母应该加上的数。 【详解】分子相当于乘： （2＋8）÷2 ＝10÷2 ＝5 分母也要乘5或加上： 3×5－3 ＝15－3 ＝12 一个分数，如果分子加8后不改变分数的大小，分母要加上12。 3．把的分子增加9，要使分数大小不变，则分母增加( )。 【答案】24 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此确定分子扩大的倍数，进而求出分母的值，最后求出分母应乘或加上多少。 【详解】（3＋9）÷3 ＝12÷3 ＝4 8×4－8 ＝32－8 ＝24 把的分子增加9，要使分数大小不变，则分母增加24。 【奥数拓展一】分数的意义。 如图1所示，小三角形的面积是大三角形的几分之几? 解析： 可以把小三角形在圆内旋转，当转到如图2所示的位置时，就会发现大三角形正好是由4个小三角形组成的，所以，小三角形的面积是大三角形的。 【专项训练】 1. 如图所示，小正方形的面积是大正方形的几分之几? 解析： 2. 如图所示，最小的正方形面积是最大的正方形面积的几分之几? 解析： 3. 将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连接成第三个正方形，继续下去，得到如图所示的图形，那么，图中阴影部分面积是边长为a的正方形面积的几分之几? 解析： 【奥数拓展二】分数与除法。 有同样大小的红、白、黑玻璃球共80个，按照1个红球、2个白球、3个黑球的顺序排列，问：三种颜色的玻璃球各占总数的几分之几? 解析： 80÷(1+2+3)=13……2 红玻璃：1×13+1=14，14÷80= 白玻璃：2×13+1=27，27÷80= 黑玻璃：3×13=39，39÷80= 【专项训练】 1. 有同样大小的红、白、黑玻璃球共100个，按照2个红球、3个白球、3个黑球的顺序排列，那么，三种颜色的玻璃球各占总数的几分之几? 解析：红；白；黑 2. 如图所示，三个同心圆分别被直径AB、CD、EF、GH八等分，那么，图中阴影部分面积占非阴影部分面积的几分之几? 解析： 3. 梯形的两条对角线把梯形分成4个三角形，BO=1厘米，OC=2厘米，那么阴影三角形的面积是整个梯形面积的几分之几? 解析： 【奥数拓展三】分解质因数（一）。 310除以一个两位数，余数是37，求这样的两位数。 解析： 在有余数的除法中，被除数减去余数等于除数与商的乘积，根据题意，除数×商=310－37=273 273=3×7×13 =3×91 =7×39 除数为两位数，又要大于37，所以，除数应该是91或39。 【专项训练】 1. 用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数。 解析： 708－43=665，665=5×7×19=7×95，所以，除数只能是95。 2. 小明翻开数学书，发现左右两页页码的积是1332，求这两页的页码各是多少? 解析： 因为1332=2×2×3×3×37，根据题意1332是两个连续自然数的积，经过观察，可以写成1332=36×37，所以，这两页的页码分别是36和37。 3. 有735个同学参加“金钥匙”知识竞赛，要把他们安排在若干个考场中，每个试场的人数相等且每个试场的人数在30至40人之间，则需要分成几个考场? 解析： 因为735=3×5×7×7，又因为每个考场人数在30至40人之间，因此735=21×35，即每个考场有35人，可以分成21个考场。 【奥数拓展四】分解质因数（二）。 要使36×110×280×( )的最后五个数字都是0，那么括号里填入的自然数最小是多少? 解析： 首先，同学们要明白，要使乘积的最后五个数字是0，只要所有的因数分解质因数后有5个5和5个2，为什么呢?因为2×5=10，有一个0,五组“2×5”便会产生5个0，因此 36=2×2×3×3，110=2×5×11，280=2×2×2×5×7。 现在有6个质因数2和2个质因数5，质因数“2”的个数足够，还缺5－2=3(个)质因数5，这必须由最后那个自然数来实现，即5×5×5=125。 所以，括号里填入的自然数最小是125。 【专项训练】 1. 要使145×32×20×A的乘积的末尾一共有5个“0”，则A最小是几? 解析： 145=5×29，32=2×2×2×2×2，20=2×2×5，有7个质因数2，两个质因数5，因此，还需3个质因数5，5×5×5=125，所以，A最小是125。 2. 计算1×2×3×4×5×…×23×24×25，积的末尾一共会有几个"0"? 解析： 积的末尾有多少个0，关键是看质因数中有多少对2和5 1，2，3，4，5，6，7，…，23，24，25中有6个因数5，所以，积的末尾一共会有6个“0”，一般，质因数2的个数是足够的。 3. 如果168乘自然数A的得数是个平方数，那么A最小是几?这个平方数是多少(A≠0)? 解析： 168=2×2×2×3×7，A=2×3×7=42，2×2×2×3×7×2×3×7=7056。 所以，A最小是42，这个平方数是7056。 【奥数拓展五】分解质因数（三）。 阳阳的哥哥参加了今年的中学生“数学爱好者杯”数学竞赛，比赛结束后，阳阳问哥哥：“这次比赛你得了多少分?是第几名?”哥哥告诉她说：“我得的名次和我的岁数及我的得分的乘积是2910，你说我的得分和名次各是多少?” 解析： 根据阳阳哥哥的回答，可以知道2910是三个数的乘积，那么，我们不妨把2910分解质因数.2910=2×3×5×97。 2910有4个质因数，看来需要把两个质因数进行“组合”成一个数，这样才会有三个数，阳阳的哥哥既然是中学生，他的年龄就有一定的范围，他不可能是2岁、3岁、5岁、6岁、10岁，因此，可以肯定他的岁数是3×5=15(岁)，接下来，问题就好解决了。 2910=2×3×5×97=2×(3×5)×97=2×15×97。 答：他的名次是第2名，得分是97分。 【专项训练】 1. 一个长方形的面积是600平方厘米，它的长和宽是两个相邻的自然数.这个长方形的周长是多少? 解析： 600=2×2×2×3×5×5=24×25，(24+25)×2=98(厘米)，所以，这个长方形的周长是98厘米。 2. 小林、小明、小宇、小军四个人是好邻居，更巧的是他们的年龄正好是四个连续的自然数，并且乘积是3024，你知道他们的年龄分别是多少吗? 解析： 3024=2×2×2×2×3×3×3×7 =(2×3)×7×(2×2×2)×(3×3) =6×7×8×9 所以，他们四个人的年龄分别是6岁、7岁、8岁、9岁。 3. 三个自然数的乘积为84，其中两个数的和等于另一个数，这三个数分别是多少? 解析： 84=2×2×3×7，3+4=7，所以，这三个数分别是3、4、7。 【奥数拓展六】分解质因数（四）。 植树节那天，樊老师带着部分同学去植树，同学们按人数恰好可以平均分成4组，樊老师也一起动手参加植树，并且师生每人植的棵数一样多，已知他们一共植了168棵树，并且每人植树的棵数不满10棵，那么，每人植树多少棵? 解析： 由于“每人植的棵数×总人数=总棵数”，不难知道“每人植的棵数”和“总人数”都是168的因数，可以考虑将168分解质因数。 168=2×2×2×3×7。 由于学生恰好可以平均分成4组，再加上一个老师，因此，总人数一定是4的倍 数多1，可以看出只有3×7=21是符合条件的。 168=2×2×2×3×7=(2×2×2)×(3×7)=8×21 答：每人植了8棵树。 【专项训练】 1. 陈老师把全班同学平均分成了两组，并和全体同学一起为学校搬运新课桌，已知老师和每位同学搬的张数相同，共搬了148张桌子，那么，这个班有多少名同学? 解析：148=(2×2)×37，37－1=36(人)，所以，这个班有36人。 2. 张老师带领一班学生去植树，学生恰好平均分成4组，如果张老师和学生每人植树棵数一样多，且他们一共植了667棵树，这个班有多少个学生?每人植树多少棵? 解析：667=23×29=23×(28+1)，所以，这个班有28个学生，每人植树23棵。 3. 春天到了，李老师和五(1)班学生一起去植树，活动结束后，他们数一数发现：大家一共植树364棵，而且每人植的棵数一样多，如果五(1)班学生人数恰好可以平均分成17组，那么每人植树多少棵? 解析：364=2×2×7×13，只有364=(51+1)×7，所以，每人植树7棵。 【奥数拓展七】分数的基本性质。 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，这个分数可以化成，求原来的分数。 解析： 【专项训练】 1. 一个分数的分子与分母之和是27，分子减少3后得到的新分数可以化成，求原来的分数。 解析： 2. 一个分数的分子与分母之和是35，分子增加9后得到的新分数可以化成，求原来的分数。 解析： 3. 一个真分数分子与分母的和是64，它可以化成，原来的分数是多少? 解析： 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$