精品解析：浙江省宁波市宁海中学初中部2023—2024学年下学期九年级数学第一阶段考试题(1)

宁海中学初中部2023学年第一学期 九年级第一次阶段考数学试题卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 2. 已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 3. 如图，四边形，四边形，四边形都是正方形，图中与相似的三角形为（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 有最小值3 D. 顶点坐标是 5. 割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ） A B. C. D. 6. 如图，⊙O的半径OC与弦AB交于点D，连结OA，AC，CB，BO，则下列条件中，无法判断四边形OACB为菱形的是（ ） A ∠DAC=∠DBC=30° B. OA∥BC，OB∥AC C. AB与OC互相垂直 D. AB与OC互相平分 7. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，多边形ABDEC是由边长为2的正△ABC和正方形BDEC组成，则过A，D，E三点的圆的半径为( ) A. B. 2 C. D. 9. 如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（　　） A. 3 B. C. D. 10. 如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为__________．（结果保留） 12. 如图，内接于，，cm，则半径长为______________cm． 13. 已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为_________． 14. 如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为______． 15. 已知：如图，正方形的顶点A在矩形DEFG的边EF上，矩形DEFG的顶点G在正方形的边BC上，正方形的边长为4，DG的长为6，则DE的长为__． 16. 如图1，2是一个可调节顶棚户外椅的实物图，图3是椅子的左视图，，点为的中点，固定横条平行地面，已知，，，，，距离地面高度为144cm，在木条支架上的处装有固定卡扣，当顶棚后部下压时，滑杆会沿着点滑动，顶棚前沿将会上翘，当重合时，与地面平行，此时，点距离地面的高度为______ ；在顶棚的摆动过程中，点的最大离地高度为______ ． 三、解答题（共66分） 17. 已知线段为线段，的比例中项，若，，则的值. 18. 已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）． （1）求a的值． （2）求二次函数图象与x轴的交点坐标． 19. 如图，已知是的直径，弦． （1）求证：弧弧； （2）若弧AC的度数为，求的度数． 20. 如图，已知是斜边上的中线，过点作的平行线，过点作的垂线，两线相交于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，且．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． （1）作，使线段，线段； （2）在上找点，使得； （3）选择适当的格点，作． 22. 永农化工厂以每吨800元价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品． （1）用x的代数式表示该厂购进化工原料　 吨； （2）当x＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y，求y关于x的函数关系式； （3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？ 23. 模型探究：如图1，D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点，且． （1）与相似吗？请说明理由； 模型应用：为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且． （2）如图2，当点D在线段BC上时，求的值； （3）如图3，当点D落在线段CB延长线上时，求与的周长之比． 24. 已知：如图，抛物线交正半轴交于点，交轴于点，点在抛物线上，直线：过点，点是直线上的一个动点，的外心是． （1）求，的值． （2）当点移动到点时，求的面积． （3）①是否存在点，使得点落在边上，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． ②过点作直线轴交直线于点，当点从点移动到点时，圆心移动的路线长为_____．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁海中学初中部2023学年第一学期 九年级第一次阶段考数学试题卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法． 【详解】解：∵抛物线y=2x2-3的顶点坐标为（0，-3）， 抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0）， ∴抛物线y=2x2-3可以由抛物线y=2x2向下平移3个单位得到． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 2. 已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与的大小即可解答． 【详解】解：圆的半径，点P到O的距离， ∴， ∴点P在内， 故选：A． 3. 如图，四边形，四边形，四边形都是正方形，图中与相似的三角形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形ABGH的边长为1，先运用勾股定理分别求出FD、DG的长，将其三边按照从大到小的顺序求出比值，再分别求出四个选项中每一个三角形三边的比值，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似求解即可． 【详解】解：设正方形ABGH的边长为1， ∴DF=，DG=， ∴GF：DF：DG=1：：， A、DF=，DH=，HF=2，DF：HF：DH=GF：DF：DG， 则△DFG∽△HFD，符合题意； B、HG=1，DG=，DH=，HG：DG：DH≠GF：DF：DG， 则△DFG和△DGH不相似，不符合题意； C、△DEG是直角三角形，△DFG是钝角三角形，故不相似，不符合题意； D、△DEH是直角三角形，△DFG是钝角三角形，故不相似，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，判定两个三角形相似的一般方法有：（1）平行线法；（2）三边法；（3）两边及其夹角法；（4）两角法；本题还可以利用方法（3）进行判定． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 有最小值3 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴函数最大值为3，当时，随的增大而增大， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 5. 割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该二次函数与坐标轴的交点分别为A、B，连接AB，可作直线l∥AB，当直线l与该抛物线只有一个交点时，可设直线l与坐标轴的交点为C、D，求出△OCD的面积即为抛物线图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积． 【详解】如图， 设抛物线与坐标轴的交点为A、B，则有： A（4，0），B（0，4）； 作直线l∥AB，易求得直线AB：y=-x+4， 所以设直线l：y=-x+h，当直线l与抛物线只有一个交点（相切）时，有： -x+h=（x-4）2， 整理得：x2-x+4-h=0， △=1-4×（4-h）=0，即h=3； 所以直线l：y=-x+3； 设直线l与坐标轴的交点为C、D，则C（3，0）、D（0，3）， 因抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积大于S△OCD小于S△OAB S△OCD=×3×3=4.5． S△OAB=×4×4=8， 故抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积在4.5＜S＜8的范围内，选项中符合的只有A， 故选A． 【点睛】此题考查的是函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，难度适中． 6. 如图，⊙O的半径OC与弦AB交于点D，连结OA，AC，CB，BO，则下列条件中，无法判断四边形OACB为菱形的是（ ） A. ∠DAC=∠DBC=30° B. OA∥BC，OB∥AC C. AB与OC互相垂直 D. AB与OC互相平分 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠DAC=∠DBC=30°， ∴∠AOC=∠BOC=60°， 又∵OA=OC=OB， ∴△AOC和△OBC都是等边三角形， ∴OA=AC=OC=BC=OB， ∴四边形OACB是菱形；即A选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形； ∵OA∥BC，OB∥AC， ∴四边形OACB是平行四边形， 又∵OA=OB， ∴四边形OACB是菱形，即B选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形； 由OC和AB互相垂直不能证明到四边形OACB是菱形， 即C选项中条件不能判定四边形OACB是菱形； ∵AB与OC互相平分， ∴四边形OACB是平行四边形， 又∵OA=OB， ∴四边形OACB是菱形，即由D选项中的条件能够判定四边形OACB是菱形； 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， ∴①说法错误， ∵， ∴， ∴， ∴②说法错误， 由图象可知点的对称点为， ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴③说法错误， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴④说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴⑤说法正确， ∴正确的为④⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 8. 如图，多边形ABDEC是由边长为2的正△ABC和正方形BDEC组成，则过A，D，E三点的圆的半径为( ) A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正方形和等边三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据等边三角形的判定与性质即可得． 【详解】如图，设过三点的圆的圆心为点O，连接 则为所求的半径，且 是等边三角形，四边形为正方形，且它们的边长均为2 ，是等腰三角形 同理： 为等边三角形 即所求的圆的半径为2 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形和等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和利用圆周角定理是解题关键． 9. 如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作垂直于，延长和交于点，则有，由题意易得，，设，则，，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：如图，作垂直于，延长和交于点， ∵， ∴，， 菱形的边长为4， ，， 是的中点， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， 由， ， ∴， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键． 10. 如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，，，． ∴，． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键． 12. 如图，内接于，，cm，则半径长为______________cm． 【答案】2 【解析】 【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理得到∠AOC=60°，证明△AOC是等边三角形，半径即可求得． 【详解】解：连接OA、OC，如图所示： ∵∠B=30°， ∴∠AOC=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA=AC=2． 13. 已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为_________． 【答案】9：1 【解析】 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1， ∴三角形的相似比是3：1， ∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1． 14. 如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，然后根据已知条件求出，，从而得到，最后结合扇形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵直径， ∴． ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的面积= ． 故答案为：． 【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键． 15. 已知：如图，正方形的顶点A在矩形DEFG的边EF上，矩形DEFG的顶点G在正方形的边BC上，正方形的边长为4，DG的长为6，则DE的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据矩形和正方形的性质可得，∠EDG＝∠ADC＝90°，∠E＝∠C＝90°，可判断△AED∽△GCD，然后根据相似三角形的性质得出，代入数据即可求出DE的长度． 【详解】解：在正方形ABCD和矩形DEFG中， ∵∠EDG＝∠ADC＝90°，∠E＝∠C＝90°， ∴∠EDA+∠ADG＝∠ADG+∠GDC＝90°， ∴∠EDA＝∠GDC， ∴△AED∽△GCD， 则有， ∵AD＝CD＝4，DG＝6， ∴ED＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，涉及了正方形和矩形的性质，解答本题的关键是根据题意判定得出∠EAD＝∠GCD，进而证明△AED∽△GCD． 16. 如图1，2是一个可调节顶棚户外椅实物图，图3是椅子的左视图，，点为的中点，固定横条平行地面，已知，，，，，距离地面高度为144cm，在木条支架上的处装有固定卡扣，当顶棚后部下压时，滑杆会沿着点滑动，顶棚前沿将会上翘，当重合时，与地面平行，此时，点距离地面的高度为______ ；在顶棚的摆动过程中，点的最大离地高度为______ ． 【答案】 ①. 158.4 ②. 182.2 【解析】 【分析】作交于，交于，通过证明，即可得到，求出的长即可得到答案；在顶棚的摆动过程中，当重合时，离地最高，作交的延长线于，延长交于，交于，通过证明三角形相似并结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作交于，交于， ， ， ， ， ， 距离地面高度为144cm， ， ， 解得：， ， 由题意可得，在顶棚的摆动过程中，当重合时，离地最高， 如图所示， 作交的延长线于，延长交于，交于， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， ， ， 由①②即可解得：， ， 点的最大离地高度为， 故答案为：158.4，182.2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共66分） 17. 已知线段为线段，的比例中项，若，，则的值. 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的定义：比例中项的平方等于两条线段的乘积，列出等式即可求解． 【详解】解：∵线段为线段，的比例中项， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了比例线段；关键是理解比例中项的概念，注意线段不能是负数． 18. 已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）． （1）求a的值． （2）求二次函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）3 （2）（2，0）和（0，0） 【解析】 【分析】（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可； （2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标． 【小问1详解】 解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）， ∴0＝a（2-1）2-3， 解得：a=3； 【小问2详解】 由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3， 令y=0，则3（x-1）2-3=0， 解得：x=2或x=0， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式． 19. 如图，已知是的直径，弦． （1）求证：弧弧； （2）若弧AC的度数为，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据圆心角与弧的关系即可得证； （2）求出，求出，再求出答案即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：的度数是， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，掌握弧的度数等于所对圆心角的度数是解题的关键． 20. 如图，已知是斜边上的中线，过点作的平行线，过点作的垂线，两线相交于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得到，再由直角三角形斜边中线的性质解得，结合等边对等角性质可得，继而证明； （2）由勾股定理解得，由直角三角形斜边中线的性质得到，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】解：（1）， ， 是斜边中线， ， ， ， ； （2）， ， 是斜边中线， ， , ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，且．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． （1）作，使线段，线段； （2）在上找点，使得； （3）选择适当的格点，作． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可得出点的位置； （2）根据平行线分线段成比例即可得到格点的位置，也即就是与网格线的交点； （3）根据等腰直角三角形的底角等于，即可得到格点的位置． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：点如图所示，点有两个，是与网格线的交点，根据平行线分线段成比例可得到，即 【小问3详解】 解：如图所示， 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及利用相似变换作图，解题关键是熟练理解掌握勾股定理． 22. 永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品． （1）用x的代数式表示该厂购进化工原料　 吨； （2）当x＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y，求y关于x的函数关系式； （3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？ 【答案】（1）x；（2）y＝﹣4x2+800x；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内． 【解析】 分析】（1）根据“每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨”，即可求出； （2）根据总利润＝总售价－总成本即可求出y关于x的函数关系式； （3）先求出y=38400元时，x的值，然后根据二次函数图象的开口方向和增减性即可求出x的取值范围. 【详解】（1）x÷0.8＝x吨， 故答案为：x； 故答案为：x； （2）根据题意得，y＝x[1600﹣4（x﹣50）]﹣x•800＝﹣4x2+800x， 则y关于x的函数关系式为：y＝﹣4x2+800x； （3）当y＝38400时，﹣4x2+800x＝38400， x2﹣200x+9600＝0， （x﹣120）（x﹣80）＝0， x＝120或80， ∵﹣4＜0， ∴当y≥38400时，80≤x≤120， ∴100≤x≤150， ∴如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和二次函数的增减性是解决此题的关键. 23. 模型探究：如图1，D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点，且． （1）与相似吗？请说明理由； 模型应用：为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且． （2）如图2，当点D在线段BC上时，求的值； （3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求与的周长之比． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）与的周长之比为 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，即可证明； （2）①设，，根据等边三角形的性质与折叠可知，，，根据三角形的内角和定理得，即可证明，故，再根据比例关系求出的值； ②同理可证，得，得，再得到，再根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】解（1）， 理由：， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）①设，， 是等边三角形， ，， 由折叠知，，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ； ②设，， 是等边三角形， ，， 由折叠知，，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 与的周长之比为. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质. 24. 已知：如图，抛物线交正半轴交于点，交轴于点，点在抛物线上，直线：过点，点是直线上的一个动点，的外心是． （1）求，的值． （2）当点移动到点时，求的面积． （3）①是否存在点，使得点落在的边上，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． ②过点作直线轴交直线于点，当点从点移动到点时，圆心移动的路线长为_____．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）；（3）①点E坐标为：或或； ②圆心P移动的路线长= 【解析】 【分析】（1）令求出点A（6，0），把点C（-4，n）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B（0，-3）代入，从而可得答案； （2）记与轴的交点为，利用即可求解； （3）①分当点P落在CA上时，点P落在AE上时，点P落在CE上时三种情况讨论即可； ②分E在D和B点两种情况，求出圆心点的坐标，则圆心P移动的路线长=，即可求解． 【详解】解：（1）令 点A（6，0）， 把点C（-4，n）代入在抛物线方程， 解得： ， 把点B（0，-3）代入， 解得：， 则：直线l：，…① （2）由（1）知：A（6，0）、B（0，-3）、C（-4，5）、 AC中点为 设为： 解得： 所在的直线方程为：， 如图，AC与y轴交点H坐标为：（0，3）， （3）如下图： ①当点P落在CA上时， 圆心P为AC的中点 其所在的直线与AC垂直， 的垂直平分线即圆心P所在的直线方程为： 把代入得： …②， 解得： E的坐标为； 当点P落在AE上时， 设点 则点P的坐标， 则PA=PC， 解得： 故点 当点P落在CE上时， 则PC=PA， 同理可得： 故点 综上，点E的坐标为：或或； ②当E在D点时，作AD的垂直平分线交的垂直平分线于点， 则，的纵坐标为 代入②式，解得： 同理当当E在B点时， 作AB的垂直平分线交的垂直平分线于点， 的中点为：， 设为：， 解得： AB直线方程为：， 设的垂直平分线方程为： ， 的垂直平分线方程为： 解得： 则圆心P移动的路线长= 故答案为： 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$