精品解析：山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月校际联考数学试题

2025年3月高一校际联考（名校卷） 数学试题 命题单位：济南市历城第二中学·数学学科组 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在中，在线段上，为的角平分线，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（ ） A. 5.861 B. 5.674 C. 5.076 D. 4.926 8. 已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量为 10. 设为复数，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为______． 13. 如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，则的值为______． 14. 在圆内接四边形中，，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，分别是边中点，已知． （1）求三角形面积； （2）求三角形的周长． 16. 已知复数，其中i为虚数单位． （1）若，求； （2）若，求的值． 17. 已知是平面内两个不共线的向量． （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线； （3）若，求实数的值． 18. 已知三角形内角的对边分别是，且满足． （1）求角A的大小； （2）若三角形面积为10，内切圆的半径为1，求； （3）若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值． 19. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； （3）已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年3月高一校际联考（名校卷） 数学试题 命题单位：济南市历城第二中学·数学学科组 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】由向量，得. 故选：D 2. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定复数进行除法运算即可得解. 【详解】. 故选：A 3. 在中，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式计算. 【详解】. 故选：A. 4. 在中，在线段上，为的角平分线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积可得，再利用向量的线性运算求解判断. 【详解】在中，为的角平分线，， ，即， 因此，所以. 故选：C 5. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：A 6. 已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将向量对应的复数表示为，再由给定信息求出向量对应的复数即可. 【详解】设射线为终边的角为，而，则， ，， 向量对应复数， 所以向量坐标为. 故选：B 7. 如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（ ） A. 5.861 B. 5.674 C. 5.076 D. 4.926 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，用圆半径的表示出，结合已知求出，再用三角恒等变化求解. 【详解】令圆切直线于点，连接，设圆半径为， 依题意，， 则，则，得， 因此 . 故选：C 8. 已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求出最小值． 【详解】设向量共起点，由，得， 令，则，， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆，令圆心为，则，圆半径为1， 由与的夹角为，得向量的终点在与所成角为的两条射线上，如图， 而是圆上的点与射线上的点间距离，过作垂直于射线于，， 所以的最小值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的坐标，再结合数量积的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由向量，得，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，向量在上的投影向量，D正确. 故选：ABD 10. 设为复数，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数的乘法、共轭复数的意义及复数的模的公式求解判断AB；举例说明判断CD. 【详解】设， 对于A，，则， ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，取，，而，D错误. 故选：AB 11. 已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量与四心的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由重心为G，得， 则，A正确； 对于B，外心为O，有，， ，B错误； 对于C，由重心为G，得，由欧拉线定理得， 因此，C正确； 对于D，由，得，则， ，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由纯虚数概念可得答案. 【详解】，因为纯虚数， 则. 故答案为： 13. 如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果. 【详解】由，得， 而，，则， 又、、三点共线，则，所以. 故答案为：3 14. 在圆内接四边形中，，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理确定的形状，设并结合正弦定理表示出，再利用三角形面积公式求出最大值. 【详解】在中，， 由余弦定理得， 则，，是四边形外接圆直径，， 设，则， 在中，， 由正弦定理得，即， 在中，， ，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，分别是边的中点，已知． （1）求三角形的面积； （2）求三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】如图设，利用结合余弦定理可得三角形三边. （1）由余弦定理可得，进而可得，即可得面积； （2）三边相加可得周长. 【小问1详解】 如图，因分别是边的中点， 则设. 注意到， 则. 则由余弦定理： . 解得.则在三角形中，. 由余弦定理可得， 从而. 则三角形的面积为：； 【小问2详解】 由（1）易得三角形的周长为 16. 已知复数，其中i为虚数单位． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的模和共轭复数的运算结果代入已知表达式，利用复数相等的条件：实部和虚部相等，建立方程组求解； （2）利用错位相减法，结合复数虚数单位的幂的运算求解. 【小问1详解】 首先，复数的模长平方 ，共轭复数 . 代入方程得：， 展开并整理得：， 根据复数相等的条件得：， 解得，， 因此，复数； 【小问2详解】 考虑， 则， 相减得：， 其中，（因），且. 因此： 解得：， 因此，，即，， 故. 17. 已知是平面内两个不共线的向量． （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线； （3）若，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算 ，观察  与  的关系，即可得到结论； （2）根据向量共线条件，利用向量共线定理，求得； （3）计算 和 的坐标，利用向量垂直的坐标表示求得. 【小问1详解】 ， 所以，则有  ， 又 与  有公共点，因此  三点共线. 【小问2详解】 因为和共线，有， 则有，解得  ， 所以. 【小问3详解】 ， 则，， 由， 则，解得. 18. 已知三角形的内角的对边分别是，且满足． （1）求角A的大小； （2）若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求； （3）若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合三角函数和差角公式可得答案； （2）由三角形面积及内切圆的半径可得，由三角形面积及（1）可得，最后结合余弦定理可得答案； （3）如图由几何知识可设，则，据此可得面积表达式，然后由两角和的正切公式结合基本不等式取等条件可得答案. 小问1详解】 由正弦定理边角互化可得： 又，则， 从而，结合， 则或（舍去）. 故. 【小问2详解】 因三角形的面积为10，内切圆的半径为. 则，则. 又由（1），. 则由余弦定理：. 化简后可得：； 【小问3详解】 如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F. 由（1）可得，则， 又由角平分线性质可得， 又注意到，， 则，设，则. 又，则.其中. 故三角形面积为： . 注意到. 则.要使最小，则需使最大. 注意到，则由基本不等式取等条件可得， 要使最大，需满足. 则，此时，即三角形为等边三角形. 19. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； （3）已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由题可写出答案； （2）考虑存在14个两两垂直的14维信号向量，任取其中两个，可得有7个分量相同，则有7个分向量不同，再通过假设第三个与他们垂直向量存在，从而利用反证法完成证明； （3）通过个2024维信号向量后个分量组成的向量的和向量模长为非负数，结合题意可完成证明. 【小问1详解】 由题可得4个两两垂直的4维信号向量可以为： ； 【小问2详解】 证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量， 任取其中两个不同向量，. 因， 则设与中，有个分量相同，则有个分向量不同. 因，则. 再取任意与和不同向量， 设在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同， 则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同， 则有个分量与相反. 因，则. 由上可得在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同， 则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反. 因，则 则此时，这显然不可能，则在14维信号向量中，找不到两两垂直的3个向量，即不存在14个两两垂直的14维信号向量； 【小问3详解】 取个2024维信号向量后个分量组成的向量为： ，因两两内积为0，它们的前个分量都是相同的， 则两两内积为.又注意到. 则， 注意到展开式中，形如的项有个， 则. 由题可得，则. 【点睛】关键点睛：本题关键为读懂题干信息，本题第2问背景涉及Hadamard矩阵，Hadamard矩阵的阶数只能为2或4的倍数，此外对于不存在型命题的证明，常考虑反证法；第三问，因要证明不等式与向量有关，故考虑利用向量模为非负数证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$