云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高三下学期3月模拟集训（三）数学试卷

第一轮集训数学试卷（三） 第 1 页 共 4 页 考试时间：3 月 13 日下午：14:30-16:30 玉溪师院附中 2025 届高三第一轮集训 数学试卷（三） 一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的). 1．已知函数  f x 的定义域为R ，则 “  y f x 为奇函数”是“  y f x 为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量a  ，b  满足  2 0a a b      ，则b  在a  上的投影向量为（ ） A． 2a  B． 1 2 a  C． 2a  D． 2 2a  3．已知圆 2 2: 6 2 8 0C x y x y     的一条直径的两个端点分别是 ,A B，则它们到直线 : 4 0l x y   的距离之和为（ ） A．3 2 B． 4 2 C． 6 2 D．8 2 4．若 1 21, , , 4a a 成等差数列； 1 2 31, , , , 4b b b 成等比数列，则 1 2 2 a a b  等于 A． 12 B． 1 2  C． 1 2  D． 14 5．已知椭圆 2 2 2: 1( 2)2 x yM a a    ，过焦点 F 的直线 l与M 交于A，B两点，坐标原点O在 以 AF 为直径的圆上，若 2AF BF ，则M 的方程为（ ） A． 2 2 1 5 2 x y   B． 2 2 1 4 2 x y   C． 2 2 1 3 2 x y   D． 2 2 1 6 2 x y   6．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形 ABCD的直观图为梯形 ,A B C D    其中 , , 4, 2.A B / /C D A B B C A B DC             以原四边形 ABCD的边 AD为轴旋转一周得到的 几何体体积为（ ） A．14 2 8  B． 56 2 π3 C．112 2 π 3 D． 80 3 7．若锐角 ,  满足  3cos cos cos     ，则  tan   的最小值为（ ） A．2 2 B． 2 3 C． 2 5 D． 2 6 第一轮集训数学试卷（三） 第 2 页 共 4 页 8．若 0, 1x y  ，满足 e lnxx y y   ，则下列不等式成立的是（ ） A． 1x y   B． 1x y   C． 1x y  D． 2x y  二、选择题:(本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分). 9．已知函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图所示，下列说法正确 的是（ ） A． π 3   B．函数  f x 的图象关于 11 12 x  对称 C．函数  f x 在 1 1, 6 2      上的值域为 3, 3   D．要得到函数    cosg x A x   的图象，只需将函数  f x 的图象向左平移 14 个单位 10．甲罐中有 5个红球，5个白球，乙罐中有 3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一 球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球． 1A表示事件“从甲罐取出的球是红球”， 2A 表示事件 “从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A． 1A、 2A 为对立事件 B．  1 411P B A  C．   3 10 P B  D．    1 2 1P B A P B A  11．在棱长为 4的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M 为棱 AD中点， N为侧面 1 1BCC B 的中心， P为线段MN（含端点）上一动点，平面 1DMN 交BC于Q，则（ ） A．三棱锥 1A ABP 的体积为定值 B． PB的最小值为 2 5 5 C． 1BQ  D．平面 1DMN 将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为3 : 2 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 6 12x x       展开式中的常数项为______. 第一轮集训数学试卷（三） 第 3 页 共 4 页 13．甲、乙、丙、丁、戊五人完成 A，B，C，D，E五项任务所获得的效益如下表： A B C D E 甲 10 12 9 12 10 乙 24 25 23 22 22 丙 9 13 14 12 10 丁 6 8 10 8 10 戊 13 15 14 15 11 现每项任务指派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担 A任务的指派方法数有 种； 效益之和的最大值是 ． 14．已知 ( ) | ln ln 2 | | 1 | af x a x x      ，则 ( )f x 的最小值为 ． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 13 分）在△ABC中角 A，B，C所对的边分别为 a、b、c，满足 22cos 1 cos cos 2 2 sin cos 2 C A B A B   ． （1）求 cosB的值； （2）设△ABC外接圆半径为 R，且  sin +sin 1R A C  ，求 b的取值范围． 16．（本小题满分 15 分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 1 1 2 CA CB AA   ，BC AC ， P为 1A B上的动点，Q为棱 1C C的中点． (1)设平面 1A BQ平面 ABC l，若 P为 1A B的中点，求证： //PQ l； (2)设 1BP BA   ，问线段 1A B上是否存在点 P，使得 AP 平面 1A BQ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由． 第一轮集训数学试卷（三） 第 4 页 共 4 页 17．（本小题满分 15 分）设函数 ( ) exf x a ． (1)证明：当 1a  时， ( ) ef x x≥ 恒成立； (2)若对任意 (0, ), ( ) ln 1x f x x x     恒成立，求 a的取值范围． 18．（本小题满分 17 分）已知抛物线  2: 2 0E y px p  的焦点为 F ，过 F作直线 1l 与抛物 线交于 ,A B两点 (A在 x轴的上方)，线段 AB的中点M 到 y轴的距离的最小值为 1 . (1)求抛物线 E的方程； (2)过 F作直线 2l 与抛物线交于 ,C D 两点(C在 x 轴的上方)，记直线 AD的斜率为 1k ，直线 BC的斜率为 2k ,且 2 12k k . （i）求证：直线 AD过定点G ； （ii）若线段CD的中点为 N ，求 GMN 的面积的取值范围. 19．（本小题满分 17 分）乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局 3胜制”和“7局 4胜制”，“5 局 3胜制”指 5局中胜 3局的一方取得胜利，“7局 4胜制”指 7局中胜 4局的一方取得胜利． (1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用 5局 3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率 为 0.8；若采用 7局 4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 0.9．已知甲、乙两人采 用两种赛制各共进行了  *m mN 场比赛，请根据小概率值 0.010  的 2K 独立性检验，来 推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． (2)若甲、乙两人采用 5局 3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为 p，没有平局．记事件“甲 只要取得 3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为 A，事件“两人赛满 5局，甲至少取得 3局比 赛胜利且甲获胜”为 B，试证明： ( ) ( )P A P B ． (3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是 ( 0.5)p p  ，没有平局．若采用“赛 满 2 1n  局，胜方至少取得 n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 ( )P n ．若采用“赛满 2 1n + 局， 胜方至少取得 1n  局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 ( 1)P n  ，试比较 ( )P n 与 ( 1)P n  的大小． 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    ．  2 0P K k 0.05 0.025 0.010 0k 3.841 5.024 6.635 玉溪师院附中2025届高三第一轮集训数学试卷(三) 参考答案 10 11 AB ACD AC 12 13 14 60 ①78 ②75 15.(1)因为2cos:tC-1-cos.Acos B+2V2sn Acos B,所以coSC+cos4cosB22sn4cosB, 即 2 -cos(A+B)+cos Acos B=22sinAcos B, 所以sinAsinB=22sinAcosB;因为sinA0,所以sinB=22cosB (2)因为R(sinA+sinC)=1,由正弦定理得a+c=2,可得c=2-a, .0<a<2,.2 3<b<2, 3 16.(1)证明:设AB的中点为E,连接PE,PO.CE, 在直三柱ABC-ABC.中,AA//CC,AA=CC,所以AA//QC,且AA=QC, 所以四边形PECO为平行四边形 则PQ//EC,又PO平面ABC,ECc平面ABC,所以PQ//平面ABC, 又平面A.BO0平面ABC=I,PQc平面A.BQ, _ 所以PO/ (2)在直三校柱ABC-A.BC中,CC.1平面ABC,BC1AC, 故可以C为原点,以CB.CA.CC.所在直线分别为xXyz轴建立空间直角坐标系 所以B(1.0.0).O(0.0.1).4(0.1.2)A(0.1.0). 则B4=(-1.1.2)4=(0.-1.-1),AB=(1.-1.0). BP=aBA(0<a<1),则BP=(-.1.2),所以AP=AB+BP=(1-a-1,) [AP.BA=0 若AP1平面ABO,则{ lAPA0=o' [-(1-a)+2-1+42-0 则{ 1-(21-1)-22=0 所以线段4B上存在点P,使得AP1平面ABO,此时a-1. 3 $$7. (1)当a=1时,f(x)=e,令g(x)=f(x)-ex=e-ex,求导得g'(x)=e-e, 当x<1时,g(x)0,当x>1时,g(x)>0, 函数g(x)在(-.1)上递减,在(1.+c)上递增 因此g(x)>g(1)=0,所以/(x)ex. lnx+x+1 (2)任意xe(0.+).f(x)-lnx-x>1a nx+x+1 1-lnx-x 令/h(x)= -x>0,求导得 。 寸()-x“ 。{ 2 令x)-1nx_, 当$<x<1时,(x)>0.(x)>0,当x1时,xx)<0.(x)<0 则函数h(x)在(0.1上单调递增,在(1.+)上单调递减 代>E:y{}=2$x,得-2p{ny-p{=0,有△=4(n+1)p>,$ 设A(,y),B(,y),则y+y=2p,yy=-p^}, #4(5#+分)-1#)#-#p# 当且仅当n=0时取等号 .P-1,即p=2,故抛物线B的方程为y=4x. (2)(i由(1)知,yy.三-4,设C(x,y),D(xy),同理,有yy=-4 由题易知y>0.y.<0.y>0.y.<0. .翻 -: - 简-04()-(4--) 1..yV=-8. 设直线AD:x=my+t,代入E:v=4x,得v*}-4y-4=0, 有yy.=-4r=-8,解得t=2,即AD:x=my+2,恒过定点G(2.0); 由yy=-4yy-4y=-8,得y=-2=2y,=2. 设M(xy)-(r),有yx(n+y),y-(,+y), #-(第7)-1)-(1#)-(#), 16 )0-16). &GMN 的面积-(→-1),+y)(,-1)y -1(--)y)(y -)1()-x) -(_)(-)71 -1()()1-2-()---、 “#Vy=V+()2)=2-yR5(2 )5 =3 此时 4(. 2V2))C(#V2)D2-22, 直线AD和BC的斜率均不存在, #) 故。GMN的面积的取值范围为 19.(1)由题设,赛制与甲获胜情况列联表如下, 甲获胜场数 乙获胜场数 5局3胜 0.2n 0.8n n 7局4胜 0.9n 0.lni n 1.7n 0.3n 2nl 所以K 2n(0.08nr'-0.18nt)2m 1.7mx0.3nx nx n 51 51 4 当n>170时,根据小概率值a=0.010的x独立性检验,推断赛制对甲获胜的场数有影响 当n<170时,根据小概率值a=0.010的是独立性检验,没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数 有影响. (2) 由题意,P(A)=p+pCp-p)+pCp1-p =+3p1-p)+6p'-p)=6p-15p +10p, P(B)=Cp(1-p) }+ctp(1-p)+cp(1-p){}=1op'-p)+5p'-p)+ =1$0p-220p+10 +5p -5p+p=6 -15p$+10^.$ 综上,P(A)=P(B),得证. (3)考虑赛满2n+1局的情况,以赛完2n-1局为第一阶段,第二阶段为最后2局 设“赛满2n+1局甲获胜”为事件C,结合第一阶段结果,要使事件C发生,有两种情况 第一阶段甲获胜,记为A;第一阶段乙获胜,且甲恰好胜了n-1局,记为A, 则C=AC+A.C,得P(C)=P(A.C)+P(A.C). 若第一阶段甲获胜,即赛满2n-1局甲至少胜x局,有甲至少胜x+1局和甲恰好胜:局两种情况 甲至少胜;+1局时,无论第二阶段的2局结果如何,最终甲获胜 甲恰好胜局时,有可能甲不能获胜,此时第二阶段的2局比赛甲均失败,概率为 Cp-p)0-p), 所以P(AC)=P()-Cp-p)-p)* 若第一阶段乙获胜,且甲恰好胜了n-1局,那么要使甲最终获胜,第二阶段的2局甲全胜, 得 P(A.C)-P(A)P(CIA)-Cp*-p)p, 所以P(n+1=P(C)=P(n)-Cp'-p)-p)+Cp'-p)p, 则$Pqn+1)-P(n)=Cp(1-pp-Cp-p-p) =Cn-p*"-p)"-C,p-p)* -C-p-p)[p--p] 得P(n+1)>P). _