云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高三下学期3月模拟集训（一）数学试卷

玉溪师院附中2025届高三第一轮集训数学试卷（一） 参考答案 1 2 3 4 6 7 8 B A B A C D D 9 10 11 ABC ABC BC 12 13 14 0.5 5 0.（l40@ 43x 15.(1)条件①f(x)=Asin2x+cos2x, 所以/{}f(）4sm子+os子+4 1元cos 6 所以A-A5=0,解得A=5 22 条件②f(x)=Asin2x+cos2x, 所以了)的图象向右平移行后所得图象关于原点对称， 解得A=√5，经验证：A=√5 条件③f(x)=Asin2x+cos2x, 所以f)-Rsm2x+p叭，其中mp=子p0: 由题意知，f(x)-f(xn=4,即√+1=2，因为A>0,所以A=5 af-5m2x+eae2x=2an2x+8周} 当2x+名+2点keZ时，八)取得极大值，即x=名+机keZ 6 1 因为f(x)在(0，m)上有且仅有两个极大值点， 7π13π 所以k=0,1符合题意，所以m∈ 66 16.(1)证明：由Sn=2a-4n+2可得， 当n=1时，4=2a1-4+2,解得a=2 当n≥2时，Sm1=2an-1-4(m-1)+2,即Sn1=2a。-1-4n+6, 则a.=Sn-Sm-1=(2an-4n+2)-(2am-1-4n+6) an=2an-2an-1-4,即a-2a1+4 即a,+4=20a1+0,即a+4=2,又4+4=6， 0-1+4 所以数列{a.+4是首项为6，公比为2的等比数列. ②由④0a+4=6,则么7子6白r,设4肉地-又 则z=白+号令+分++ 专ggg.g字宁点品 2>20’即21<20，即2”<40，又neN,2=32,2°=64， 所以满足条件的最大整数为n为5. 17.(1)连OBOC由等边三角形可知AB、CD、F、E分布在同一个圆周上， 且AE=EF=FD=DC=CB=BA, 则六边形ABCDFE为正六边形， ∴.EF∥AD∥BC,EFC面ABCD,BCC面ABCD.EF∥ABCD (2)在图1中连EB交AD于O,则AD⊥EB,连FC交AD于O2,则AD⊥FC, 故在图2中AD⊥面EOB,AD⊥面FO,C 记面AEFD与面ABCD所成角为6，则∠EO,B=∠FO,C=8,SaB=S.Fa,c=6sin6 VABB-DCF =V-+Vso-o+VD-Fo 2 5Sae×A0+Sas×EF+S.o×D0,=32sn0=32 1 3 故in0=L,0=T,即面AEFD1面ABCD 2 法一（几何法)：延长AB、DC交于Q,延长AE、DF交于P, 则PO为面ABE与面CDF交线且AP=AQ=8,PD=OD=8取PQ中点M,连接AM、DM, 则∠AMD即为面ABE与面CDF所成角 在aAMD中，AM=DM=2V10,AD=8,故coS∠AMD= (21o)2+(210-81 2.2V10.2105 故面ABE与面CDF所成角的余弦值为 法二（坐标法）：以O为坐标原点，OB,OD,OE所在的直线为x,y,:轴， 建立空间直角坐标系，则 40,-2,0,B25,0,0,E0,0,25,C25,4,0,D(0,6,0),F0,4,25), 亚=W2,0)亚=02,2w,有2x+2=0令=L得元=-5列 AE.ii=2y+2v3:=0 同理可得面CDF法向量m=1,V5,1),设面ABE与面CDF所成角为a,故 1 成同5 18.(1)因为f(x)=e2-2(a+1)e+2ar+2a+1(a>0), 所以f(0)=0,f(x)=2e“-2(a+1)e+2a,则f(0)=0, 所以函数f(x)在x=0处的切线方程为y=0: (2)函数f(x)=e2-2(a+1)e+2ar+2a+1(a>0)的定义域为R, 且f(x)=2e2-2(a+1)e+2a=2(e-ae-1) 当a=1时，(x)=2(e-1≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增： 当a>1时，则当x>lna或x<0时f(x)>0,当0<x<na时f(x)<0, 所以f(x)在(-o,0),(ha,+∞)上单调递增，在(0，na)上单调递减： 当0<a<1时，则当x>0或x<na时f'(x)>0,当na<x<0时f'(x)<0, 3 所以f(x)在(-n,na),(0,+∞)上单调递增，在(na,0)上单调递减： 综上可得，当a=1时，f(x)在R上单调递增； 当a>1时，f(x)在(-o,0),(na,+o)上单调递增，在(0，na)上单调递减： 当0<a<1时，f(x)在(-o,na),(0,+∞)上单调递增，在(na,0)上单调递减 (3)因为f(0)=0,f(x)必有一个零点为0， 由(2)可得，当a=1时f(x)只有一个零点，不符合题意： 当a>1时，f(x)在(-o,0),(na,+o）上单调递增，在(0，na)上单调递减， 显然f(1na)<f(0)=0, 当x>n[2(a+1)]时e>2(a+1),则e-2(a+l)>0,e>0,2am>0, 所以f(x)=e2-2(a+1)e+2ar+2a+1=[e-2(a+1)]e+2r+2a+1>0, 所以f(x)在(na,+o)上存在一个零点， 此时f(x)有两个零点x,x2(不妨令x<x),且5=0，x∈(na,+0）,即x>0,满足x+x2>0: 当0<a<1时，f(x)在(-o,na),(0,+∞）上单调递增，在(na,0)上单调递减， 所以f(x)在(0，+∞)不存在零点，且一个零点为0，则另一零点不可能大于0， 此时不满足x+x,>0,故舍去： 综上可得实数a的取值范围为(1，+o) 19(1)由题意得VC+6=2c即a=2c,所以离心率e=9=} a 2 （2)由愿意得椭圆T若+大1 2516 ①当PE=PF时，由对称性得P(O,4). ②当|PE=|REl时，PE=FF引=6，故PF=2a-PE=4,设P(xy), 由F(-3,0),E(-3,0)得 0x+3+少=36-r+6r+=27 (x-32+y2=16x2-6x+y=7 两式作差得x= 5 4 代入稀圆方程，利，8（会.故P目8吗 3 国当P-5时，根据器员对移性可知P多8) （6)由题意得椭圆r号号-1(1o,R0) 设直线：y=k(x-1), y=k(x-1)】 由任号1+r-+状2=0 8k2 设M(x,),N(x,),则 x+为3=4k2+3 4k2-12 = 4k2+3 21 3 子-3k-少 2 2 x-1x-1x-1 x2-1 2-2+到+)片2+324号 2+3）.8k: +2k+3 4k2+3（ 24k2+3 =2k1 x3-(5+x2)+1 4k2-128k2 +1 4k2+34k2+3 x-1x-1 -363曲14己 2(x。-1) 1?得书=4第一轮集训数学试卷（一） 第 1 页 共 4 页 考试时间：3月 10日下午：14:30-16:30 玉溪师院附中 2025 届高三第一轮集训 数学试卷（一） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z在复平面内对应的点为  2, 1 ，则 4 i z z   （ ） A. 1 i B. 3 i C. 1 i D. 3 i 2．若集合   21 1 0M x m x mx m      的所有子集个数是 2，则m的取值是（ ） A． 2 3 3  或 1 B． 2 3 3 C． 2 3 3  D． 1 3.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是正方形，E为 PD中点，若 , ,PA a PB b PC c       ，则 BE   （ ） A. 1 1 1 2 2 2 a b c    B. 1 3 1 2 2 2 a b c    C. 1 1 1 2 2 2 a b c    D. 1 1 3 2 2 2 a b c    4.已知函数 e( ) cos 1 e x x af x x a     ，则“ 1a  ”是“函数  f x 的是奇函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为 10 元，被随机分配为 1.49 元，1.81 元，2.19 元，3.41 元，0.62 元，0.48 元，共 6 份，供甲、乙等 6人抢，每 人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是（ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 6 6．如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是 1 和 2，则该圆台的体积是 （ ） A． 7 2� 24 B． 7 3� 12 C． 7 2� 12 D． 7 3� 24 第一轮集训数学试卷（一） 第 2 页 共 4 页 7. 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的焦距与其虚轴长之比为 3：2，则C的离心率 为（ ） A. 5 B. 4 5 5 C. 3 5 5 D. 5 2 8.我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP 始终平分同一平 面内两条伞骨所成的角 BAC ，且 AB AC ，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图（2）， 伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D 的位置，且 A、B、D 三点共线， 40cm,AD B  为 AD 的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为 24cm，则当伞完 全张开时， BAC 的余弦值是（ ） A. 8 25  B. 4 21 25  C. 3 5  D. 17 25  二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为： 1 2 16, , ,x x x ；乙组数据为： 1 2 163 9,3 9, ,3 9x x x   ， 若甲组数据的平均数为m，标准差为 n，极差为 a，第60百分位数为b，则下列说法一定 正确的是（ ） A. 乙组数据的平均数为3 9m  B. 乙组数据的极差为3a C. 乙组数据的第60百分位数为3 9b D. 乙组数据的标准差为 n 10．函数  f x 满足 ,x y R，有      f xy yf x xf y  ，下列说法正确的有（ ） A．  0 0f  B．  1 0f  C．  f x 为奇函数 D．记    f xg x x  ，则  g x 在  0,  上单调递减 11.已知关于 x 的不等式 2( ) ( 2 ) 1 0( 0, 0)m a x m b x a b       的解集为 1( , 1) , 2         ，则下列结论正确的是（ ） 第一轮集训数学试卷（一） 第 3 页 共 4 页 A. 2 1a b  B. 2a b 的最大值为 3 C. 4 4 1 1a b    的最小值为3 2 2 D. 2 2a b 的最小值为 1 4 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.对具有线性相关关系的变量 ,x y有一组观测数据  , ( 1,2 10), 5, 4i ix y i x y    ，其 经验回归方程 ˆ ˆ3.2y x a   ，则在样本点  3,2.9 处的残差为__________. 13.已知方程 2 2 22 4 2 3 0x y m x y m m      表示一个圆，则实数m的取值范围是 ______．半径 R的最大值为______． 14. 已知三棱锥 P ABC 的外接球O的半径为 13， ABC 为等腰直角三角形，若顶点 P到 底面 ABC的距离为 4，且三棱锥P ABC 的体积为 16 3 ，则满足上述条件的顶点 P的轨迹长 度是______． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分 13 分）设函数 2( ) sin2 2sin 1( 0)f x A x x A    ，从条件①、条件②、 条件③这三个条件中选择一个作为已知. （1）求A的值； （2）若 ( )f x 在 (0, )m 上有且仅有两个极大值点，求m的取值范围. 条件①： π 7π 0 4 12 f f            ； 条件②：将 ( )f x 的图象向右平移 π 12 个单位长度后所得的图象关于原点对称； 条件③：对于任意的实数    1 2 1 2, ,x x f x f x 的最大值为 4. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. （本小题满分 15 分）已知 nS 为数列 na 的前 n项和，若 2 4 2  n nS a n . （1）求证：数列 4na  为等比数列； （2）令 2 4n n b a   ，若 1 2 13 20n b b b    ，求满足条件的最大整数 n . 第一轮集训数学试卷（一） 第 4 页 共 4 页 17.（本小题满分 15 分）如图 1，在等腰梯形 ABCD中， AD∥ , 8, 4, 60BC AD BC DAB   ，点 ,E F在以 AD为直径的半圆上，且   AE EF FD  ，将半圆沿 AD翻折如图 2. （1）求证： EF∥平面 ABCD； （2）当多面体 ABE DCF 的体积为 32 时，求平面 ABE与平面CDF 夹角的余弦值. 18.（本小题满分 17 分）已知函数      2e 2 1 e 2 2 1 0x xf x a ax a a       . （1）求函数  f x 在 0x  处的切线方程； （2）讨论函数  f x 的单调性； （3）若函数  f x 存在两个零点 1x ， 2x ，且 1 2 0x x  ，求实数 a的取值范围. 19.（本小题满分 17 分）已知椭圆 2 2 2 2Γ : 1( 0) x y a b a b     的左､右焦点分别为 1 2F F､ . （1）以 2F 为圆心的圆经过椭圆的左焦点 1F和上顶点 B，求椭圆Γ的离心率； （2）已知 5, 4a b  ，设点 P是椭圆Γ上一点，且位于 x轴的上方，若 1 2PF F△ 是等腰三 角形，求点 P的坐标； （3）已知 2, 3a b  ，过点 2F 且倾斜角为 π 2 的直线与椭圆Γ在 x轴上方的交点记作A， 若动直线 l也过点 2F 且与椭圆Γ交于M N､ 两点（均不同于A），是否存在定直线 0 0:l x x= ， 使得动直线 l与 0l 的交点C满足直线 AM AC AN､ ､ 的斜率总是成等差数列？若存在，求常数 0x 的值；若不存在，请说明理由.