云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高三下学期3月模拟集训（二）数学试卷

玉溪师院附中2025届高三下学期第一阶段集训检测（二） 数学学科试卷参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D C B D C 9 10 11 ACD ACD ABD 12 13 14 256 3玩 d2+b2=4 15.（1)依题意， 23,解得ad2=1,b=3, a61 故双曲线c的方程为-写1： (2)依题意，得E(20), 设直线1的方程为x=y+2(t≠0)，P(5,),(2y,), x=y+2, 联立 3r-3 整理得(3-1)y2+12y+9=0, 因此当32-1≠0时，4-144r-36(32-1)=362+36>0, 121 9 +y3-'4 则3+x=0仍+⅓)+4=-4 故宜线：水高 70,得（号小则P修 故=*--4 6t2+6 故BR=PO. 16.(1)因为=2，所以比赛采用3局2胜制，X的所有可能取值为2,3， Px-2-图+周多px--G周5c X的分布列为 2 3 所以E(X)=2×)+3 422 ×g=9 (2)应选择方案一3局2胜制，理由如下： 若选赛制一3局2胜制时，记乙获胜为事件A, 则到（周+c》片 若选赛制二5局3胜制时，记乙获胜为事件B, 因为7品 所以选方案一3局2胜制 17D当a=0时，f=恤-，e店习 则f"(x)-nx+1-1=lhx, f)>0,得1<xs3:令f因<0，得号<1， 所以函数（在[日上单调递减，在L习上单调递增。 且f月-h2-3,f0=-山，f)=3h3-3,n2-20<3h3-3, 要使关于x的方程)=m在区间3]内有两个不相等的实数根。 则-1<m≤-2加2-}，即实数m的取值范围为1h2-引 (2)由f=hx+a-,x[] 则f(x)=lhx+a,由f'(x)=0得x=e. ①当e<总即a>1时，f(6的>0，f)在e上为增函数， 则e以-[日-。： 2 ②当se≤e,即-1≤a≤1时，在x[很e时，fs0,f为减函数， 在xe[e,e]时，f(≥0，f()为增函数， 则f(x)n=f(e）=-e: ③当e>e,即a<-1时，f6阅<0，f在上为减函数。 则f(x)n=f(c)=ca. ea,a<-1 综上所述，(x)n= -e,-1sa≤1 a-2 18.（1)…nA+mB-mB+nC,“g十2=2，化简得b2+c2-云2=-bc. a-b c a-b 由余弦定理得，c0sA=”2。三一气，得A=2”: 2bc 3 (2)设BD=x,CD=2x, 在AACD中，由，CD=AD 得2x2 sim∠DAC sinC sin30°sinC' 解得sinC= 2x BD x ② 0、8得m8=29,=万. .BD=√7，CD=2√7，从而AB=5. ,:二面角B-AD-C为直二面角，AB⊥AD,平面ABD∩平面ACD=AD,ABC平面ABD, ,∴.AB⊥平面ACD 建立如图所示的空间直角坐标系， 易知A(0,0,0),D0,√3,0)，C(0,4W3,0),B(0,0,√3)， ∴.AB=(0,0,5),B元=(0,4W5,-√5)，BD=LV5,-V5). 3 设平面B'CD的法向量i=(x,y,z),则有 :BC=0,即4W5-B:=0 i-BD=0x+5y-√5z=0 令y=1,解得i=(35,l4).∴cos(元，AB)= n.AB' 2 4B 111 故直线AB与平面8CD所成角的正弦值为2 11 19.(1)因为0P的“完美坐标”为[3.4]，则0P=3+4e, 又因为e,,已分别为Ox,Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°， 所以16H6卡1,4-石=月o60-》 所以网-国+6=52+24e+1@-P+24x16=67 (2)由(1)知6=号所以a6=(+8)g+g =59+x88+xy9g+46=X3+%y+2y+5y), 即a6=++6头+y) (3)因为向量a,6的“完美坐标”分别为[sinx,1],[cosx,1], 由(2)得f)=a.i=o8x+1+inx+cos). 令1=sinx+cosx=V5n(x+牙，则n.co=-), 因为xeR,所以-5s5im(r+孕sV2,即-反st≤反， 令g0r-1++00*+(5s1s西. 2 81 因为g0的图象是对称结为1=分开口向上的抛物线的一部分， 所以当1=号-反]时，g0取得最小值8( 当15时0取得最大值2同-(2+5+0=3层 所以的位线为列马， 4第一轮集训数学试卷（二） 第 1 页 共 4 页 考试时间：3月 11日晚上：19:00-21:00 玉溪师院附中 2025 届高三第一轮集训 数学试卷（二） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知4 3i （其中 i为虚数单位）是关于 x的方程  2 0 ,x ax b a b   R 的一个根，则在 复平面内， iz a b  所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 命题“ 2[1, 2], ln 2 0x x x a     ”为假命题，则实数 a的取值范围为（ ） A. ( ,0) B. 1, 2      C. ( , ln2 2)  D. ( , ln2 4)  3. 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总 体集中趋势，则 a，b可以分别大致反映这组数据的（ ） A. 平均数，中位数 B. 平均数，众数 C. 中位数，平均数 D. 中位数，众数 4．设 ， 是两个平面， ,m l是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若 , ,m l    ∥ ∥ ，则m l B．若 , ,m l m l   ∥ ，则 ∥ C．若 , ,m l m l   ∥ ，则  D．若 , ,m l l    ∥ ∥ ，则m l∥ 5．下列四个图象可能是函数 3 5log | 1| 1 xy x    图象的是（ ） A． B． C． D． 6.已知数列 na 的首项 1 10, 2 1 1n n na a a a     ，则 8a （ ） A.48 B.63 C.65 D.80 7.已知一个正整数 1010 (1 10)N a a    ，且 N 的 15 次方根仍是一个整数，则这个数 15 次方根为（ ）. （参考数据： lg 2 0.3 ， lg3 0.48 ， lg5 0.7 ） A.4 B.6 C.3 D.5 第一轮集训数学试卷（二） 第 2 页 共 4 页 8．已知抛物线C：  2 2 0x py p  的焦点 F 到准线 l的距离为 2，第一象限的点A在抛物线 C上，过点A作 l的垂线，垂足为点 B，若 2FB FD   ，且点  0, 3 在直线 AD上，则直线 AD 的倾斜角为（ ） A．30 B．40 C．60 D．75 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 若  f x 满足对定义域内任意的 1 2,x x ，都有      1 2 1 2f x f x f x x   ，则称  f x 为 “优美函数”，则下列函数不是“优美函数”的是（） A.   2xf x  B.   3logf x x C. 2( )f x x D. ( ) sinf x x 10.已知点  1,1A ，点 P是双曲线 2 2 : 1 9 7 x yC   左支上的动点，Q是圆 2 2 1: ( 4) 4 D x y   上的动点，则（ ） A. C的实轴长为 6 B. C的渐近线为 3 7 7 y x  C. PQ 的最小值为 12 D. PA PD 的最小值为6 10 11. 已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 1 2n n na a a   ，若 1 2 0a a  ，则（ ） A.  1 2n na a  是等比数列 B.  2n na a  是等比数列 C.  1 2n nS S  是等差数列 D.  2 1 2n na S  是等差数列 二、填空题（本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.已知幂函数  2 1( ) 5 mf x m m x    在 (0, ) 上单调递减，则 m =________. 13. 已知          4 2 3 40 1 2 3 42 1 1 1 1x a a x a x a x a x          ，则 0 1 2 3 4a a a a a    ______. 14. 如图的“心形”曲线C恰好是半圆 1C ，半圆 2C ，曲线    cos 1 0 π , cos 1 0 πy x x y x x         组合而成的，则曲线C所围成的“心形” 区域的面积等于__________. 第一轮集训数学试卷（二） 第 3 页 共 4 页 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分 13 分）已知双曲线C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， 且 1 2 4FF  ，  2, 3A 在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)已知不与 x轴垂直且过 2F 的直线 l与双曲线C交于 P，Q两点，若 PR RQ   ，  0 , 0B x ， 且 BR PQ ，求证： 2BF PQ . 16.（本小题满分 15 分）“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢 毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学 为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用  2 1 2,n n n   N 局 n胜的单败淘汰制，即先赢下 n局比赛者获胜.造房子游戏是同学们 喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获 胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 . （1）若 2n  ，设比赛结束时比赛的局数为 X ，求 X 的分布列与数学期望； （2）现有两种赛制：赛制一：采用 3 局 2 胜制，赛制二：采用 5 局 3 胜制，乙选手要想获 胜概率大，应选哪种赛制？并说明理由. 17.（本小题满分 15 分）已知函数      ln 1f x x x a x a   R ． (1)当 0a  时，关于 x的方程  f x m 在区间 1 ,3 2      内有两个不相等的实数根，求实数m的 取值范围； (2)求函数  f x 在区间 1 ,e e      上的最小值． 第一轮集训数学试卷（二） 第 4 页 共 4 页 18. （本小题满分 17 分）如图，在 ABC△ 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b， c， 已知 sin sin sin sinA B B C c a b     ． （1）求 A； （2）若 3BC BD   ， 0AB AD    ，| | 2AD   ，将 ABC△ 沿 AD折成直二面角 B AD C   ， 求直线 AB与平面 B CD 所成角的正弦值． 2021651 . 19. （本小题满分 17 分）如图，我们把由平面内夹角成60的两条数轴 Ox，Oy 构成的坐标 系，称为“完美坐标系”.设 1 e  ， 2 e  分别为 Ox，Oy 正方向上的单位向量，若向量 1 2 OP xe ye     ， 则把实数对[ , ]x y 叫做向量OP  的“完美坐标”. （1）若向量OP  的“完美坐标”为[3, 4]，求 OP  ； （2）已知 1 1,x y ， 2 2,x y 分别为向量 a，b  的“完美坐标”， 证明：  1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 a b x x y y x y x y      ； （3）若向量 a，b  的“完美坐标”分别为[sin ,1]x ，[cos ,1]x ， 设函数 ( )f x a b   ，� ∈ �，求 ( )f x 的值域.