精品解析：云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高三下学期3月模拟集训（一）数学试卷

玉溪师院附中2025届高三第一轮集训 数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合的所有子集个数是，则的取值是（ ） A. B. C. D. 或 3. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是 A. B. C. D. 6. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 乙组数据的平均数为 B. 乙组数据的极差为 C. 乙组数据的第百分位数为 D. 乙组数据的标准差为 10. 函数满足，，有，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 记，则在上单调递减 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为________________. 13. 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．半径的最大值为______． 14. 已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知. （1）求的值； （2）若在上有且仅有两个极大值点，求的取值范围. 条件①：； 条件②：将的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称； 条件③：对于任意的实数的最大值为4. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 已知为数列的前项和，若. （1）求证：数列为等比数列； （2）令，若，求满足条件的最大整数. 17. 如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2. （1）求证：平面； （2）当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数存在两个零点，，且，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为. （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； （2）已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； （3）已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2025届高三第一轮集训 数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念和运算法则计算可得. 【详解】由题意，因为，所以， 故选：B. 2. 若集合的所有子集个数是，则的取值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解. 【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素， ①当时，即当时，则，合乎题意； ②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得. 综上所述，或. 故选：D. 3. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点， ． 故选：C． 4. 已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由是奇函数确定的取值范围，即可判断. 【详解】由为奇函数， 可得：，即， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 解得， 所以是函数为奇函数的充分不必要条件. 故选：A 5. “微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合的知识求得总的基本事件的个数，再利用列举法求得满足的基本事件的个数，从而利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】因为甲乙两人从六份红包中随机取两份的可能有种， 其中金额之和大于等于的可能有 ，共五种， 故甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是. 故选：C. 6. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 7. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则， 所以，故的离心率为. 故选：C. 8. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出、、的长，利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，， 因为为的中点，所以，， 当伞完全收拢时，，所以，， 在中，， 所以，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 乙组数据的平均数为 B. 乙组数据的极差为 C. 乙组数据的第百分位数为 D. 乙组数据的标准差为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可. 【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：， 则乙组数据从小到大排列为：， 因为甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为， 则，又，所以， 所以乙组数据的平均数为，故A正确； 乙组数据的极差为，故B正确； 乙组数据的第百分位数为，故C正确； 乙组数据的标准差为，故D错误. 故选：ABC 10. 函数满足，，有，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 记，则在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过赋值可判断ABC，通过特例可判断D. 【详解】令，A正确； 令，B正确； 令， 令为奇函数.C正确； 当，由可得：， 即，可用对数函数换底， 令，，则，满足 而当时，单调递增，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知结合二次不等式与二次方程的关系可得，然后结合基本不等式的乘“1”法可判断C，利用向量的性质可求解B，根据二次函数的性质可判断D． 【详解】因为关于的不等式，的解集为, 所以，所以，， 所以，A错误； 因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，故，当且仅当时等号成立，故B正确； ，当且仅当，即时取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，故最小值为，D错误． 故选：BC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为________________. 【答案】0.5## 【解析】 【分析】利用样本中心在回归直线上及残差的定义即可求解. 【详解】将代入，得，解得， 所以， 故当时，， 所以残差. 故答案为：0.5. 13. 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．半径的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先对方程配方形成圆的标准式，进而求出实数的取值范围即可；再由，进而求出半径的最大值即可. 【详解】由题意知：，所以， 所以的取值范围为； 由因为，当且仅当时， . 故答案为：；. 14. 已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】设直角边的边长为，根据三棱锥的体积为，求得，进而求得外接圆半径为，得出球心到底面的距离，得出球心到该截面圆的距离，进而求得截面圆的半径，即可求得点的轨迹长度. 【详解】设底面等腰直角三角形的直角边的边长为， ∴顶点到底面的距离为4且三棱锥的体积为， ∴，解得， ∴的外接圆半径为， ∴球心到底面的距离为， 又∵顶点到底面的距离为4， ∴顶点的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面和截面圆之间）且球心到该截面圆的距离为， ∵截面圆的半径， ∴顶点的轨迹长度是， 故答案是：． 【点睛】解题方法点拨： 1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知. （1）求的值； （2）若在上有且仅有两个极大值点，求的取值范围. 条件①：； 条件②：将的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称； 条件③：对于任意的实数的最大值为4. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简后，选条件①，根据化简得解；选条件②，由平移可知，化简求解；选条件③，转化为振幅得解； （2）由正弦型函数性质求出极大值点，再根据题意知在区间内，不在区间内即可得解. 【小问1详解】 条件① ， 所以， 所以，解得 条件② ， 所以的图象向右平移后所得图象关于原点对称， 所以，即， 解得，经验证：. 条件③ ， 所以，其中， 由题意知，，即， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 当时，取得极大值， 即 因为在上有且仅有两个极大值点， 所以符合题意， 所以 16. 已知为数列的前项和，若. （1）求证：数列为等比数列； （2）令，若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式可得，即，即可得证. （2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得，令，结合，即可求解. 【小问1详解】 证明：由可得， 当时，，解得， 当时，，即， 则 ，即， 即，即， 又， 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，则， 设， 则 令，得， 即，即， 又，，， 所以满足条件的最大整数为为5. 17. 如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2. （1）求证：平面； （2）当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理来求得正确答案. （2）利用几何法，或建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 设是的中点，连， 依题意，在等腰梯形中，， 点在以为直径的半圆上，且， 由等边三角形可知分布在同一个圆周上， 且， 则六边形为正六边形， 面面. 【小问2详解】 在图1中连交于，则，连交于，则， 故在图2中，平面， 所以平面，同理可证得平面， 记面与面所成角为，则， ， 故，即面面. 法一（几何法）：延长交于延长交于 则为面与面交线且，取中点， 连接，则，则即为面与面所成角. 在中，， 故， 故面与面所成角的余弦值为. 法二（坐标法）：以为坐标原点，所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，则 ， ，有， 令得， 同理可得面法向量，设面与面所成角为， 故. 18. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数存在两个零点，，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）求出，再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程； （2）由（1）可得，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）由，可得必有一个零点为，再结合（2）讨论可得. 【小问1详解】 因为， 所以，，则， 所以函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 函数的定义域为， 且， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，则当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，则当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 因为，必有一个零点为， 由（1）可得，当时只有一个零点，不符合题意； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 显然， 当时，则，，， 所以， 所以在上存在一个零点， 此时有两个零点，（不妨令），且，，即，满足； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 所以在不存在零点，且一个零点为，则另一零点不可能大于， 此时不满足，故舍去； 综上可得实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为. （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； （2）已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； （3）已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，即可知离心率； （2）分，和三种讨论即可； （3）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算，将韦达定理式整体代入，再计算，得到方程即可. 【小问1详解】 由题意得即，所以离心率. 【小问2详解】 由题意得椭圆 ①当时，由对称性得. ②当时，，故，设， 由得， 两式作差得， 代入椭圆方程，得（负舍），故 ③当时，根据椭圆对称性可知. 【小问3详解】 由题意得椭圆. 设直线， 由得. 设，则， ， ， 由，得. 【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线，从而将其与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入，设直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $