精品解析：江苏省泰州市兴化市2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年春学期九年级学生阶段性评价 数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 说明： 1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线顶点坐标是(　　) A. B. C. D. 3. 如图，在中，，于点 ．若，，则的长为(　　) A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 4. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4．5 D. 6 6. 如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（ ） A. （0，） B. （1，） C. （2，2） D. （2，4） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 一组数据的极差是_____． 8. 圆心角为，半径为3的扇形的面积为_______． 9. 如图，是的直径，C、D为上的点，若，则______°． 10. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：_________（填“>”，“=”或“<”）． 11. 如图，在中，，于点D．若，则___________． 12. 已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是_________ ． 13. 如图， 在 中， P， Q分别为，的中点． 若 则 __________． 14. 如图所示的网格是正方形网格，线段绕点A顺时针旋转后与相切，则α的值为_______． 15. 如图，正方形的边长为4，以为边在其右侧作正，点Q是线段上一点，连接交于点P．当时，线段的长为_______． 16. 已知A、B是直线上两点，且A、B的横坐标为、5．当抛物线与线段有且只有一个公共点时，则a的取值范围_______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）计算： 18. 某校初一开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 爱国班 a 85 c 求知班 85 b 100 （1）根据图示直接写出a、b、c的值； （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？ （3）已知爱国班复赛成绩的方差是70，请求出求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？（计算方差的公式：） 19. 旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王老师和李老师一同支北京参加培训，购买从石家庄到北京的高铁票（如图所示，一排中的座位号为A、B、C、D、F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）系统分给王老师和李老师C、D座位是 事件． （2）利用画树状图或列表法求系统分配给王老师和李老师相邻座位的概率（过道两侧的座位C、D不算相邻）． 20. 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若是此方程的一个根，求实数的值． 21. “一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 22. 如图，点C是直径AB上一点．过C作交于点D，连接DA，DB． （1）求证：； （2）连接DO，过点D作的切线，交BA的延长线于点P．若，，求BC的长． 23. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求D到的距离． （2）求古塔的高度（结果保留根）． 24. 中，，． （1）如图1，若点在射线上，且，请用圆规和无刻度直尺．作（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在且唯一确定，并求出边长度．选择的条件：_______．（填序号）①；②的周长为；③． 25. 如图，半的直径为10，点C、D是半弧上的两点，将弧沿翻折． （1）如图1，连接交翻折后的弧于点Q，连接、．判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，当时，求的长； （3）如图3，已知，连接交翻折后的弧于点Q，当点Q为的中点时，求长． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，、，点E从点C出发，以每秒2个单位长度沿y轴负方向运动，点F从原点O出发，以每秒个单位长度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒．以、为一组邻边作平行四边形，点N在点F右侧2个单位，以为对角线作正方形，（F、P、N、M为顺时针顺序）． （1）时，求的值； （2）当时，求最小值； （3）当时，点P关于所在直线的对称点为Q，当点Q在上时，求t的值； （4）如图2，当时，连接、、、，在点E运动的过程中，若点M、P中恰好有且只有一个点在四边形内部时，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期九年级学生阶段性评价 数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 说明： 1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 抛物线的顶点坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式解析式直接得出顶点坐标. 【详解】∵抛物线的解析式为， ∴其顶点坐标为. 【点睛】此题主要考查抛物线的顶点坐标. 3. 如图，在中，，于点 ．若，，则的长为(　　) A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等腰三角形三线合一得出BD=12，再根据求出AB=13，再用勾股定理即可解出AD的长. 【详解】在中，，于点 ， ∴BD=BC=12， ∵，∴AB=13， 故AD===5. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用. 4. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，共有4种等可能的情况，数出其中两次摸出的数字之积为偶数的情况数，求出概率即可． 【详解】解：画树状图如下： ∵共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种， ∴两次摸出的数字之积为偶数的概率为，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了画树状图和列表求概率，根据题意画出树状图和列出表格是解题的关键． 5. 如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4．5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为AD∥BC，所以△ADE∽△CBE,所以,因为AE=2，CE=3，AD=3，所以，所以BC=4．5，故选C． 考点：相似三角形的判定与性质． 6. 如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（ ） A. （0，） B. （1，） C. （2，2） D. （2，4） 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形中位线的性质得到当BC为直径（过圆心M）时，OD最大；然后延长BC与圆交于C1点，连接AC1；再由圆周角定理可得∠BAC1=90°，然后由垂径定理得到AB=4、勾股定理可得BM=即BC1=、AC1=4，最后求出线段AC1的中点坐标即可． 【详解】解：如图：∵点O是AB的中点，点D是AC的中点 ∴OD//BC且OD=BC ∴BC最大时,即当BC为直径（过圆心M）时，OD最 如图：延长BC与圆交于C1点，连接AC1， ∵BC1是直径 ∴∠BAC1=90° ∵OB=OM=OA=2 ∴AB=2OA=4,点C1的横坐标为2，BM=，即BC1= ∴AC1= ∴点C1的坐标为（2,4） ∵AC1的中点D1，A（2,0） ∴D1的坐标为（2，2）． 故选：C． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的中点等知识，将求线段OD最大时D的坐标转换成求BC最大时点D的坐标是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 一组数据的极差是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查极差的概念，掌握极差的概念及计算是解题的关键． 根据极差的概念“一组数据中最大数与最小数的差”求解． 【详解】解：数据的最大数为4、最小数为， 这组数据的极差为， 故答案为：6． 8. 圆心角为，半径为3的扇形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式计算． 【详解】扇形的面积． 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或(其中为扇形的弧长)． 9. 如图，是的直径，C、D为上的点，若，则______°． 【答案】110 【解析】 【分析】根据是的直径，得出，进而得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：110． 【点睛】本题主要考查了圆的相关定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形对角互补． 10. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：_________（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵若点A(−1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=2x2+m上， y1=2×（-1）2+m=2+m，y2=2×22+m=8+m， ∵2+m＜8+m， ∴y1﹤y2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键． 11. 如图，在中，，于点D．若，则___________． 【答案】． 【解析】 分析】根据已知条件可知，，进而可得，则． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求正切值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 12. 已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是_________ ． 【答案】在外 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用．注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解： ， ， 解得， 点到圆心的距离， 的半径是4， 在外， 故答案为：在外． 13. 如图， 在 中， P， Q分别为，的中点． 若 则 __________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 利用三角形中位线定理以及相似三角形性质解决问题即可． 【详解】解：，分别为，的中点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 14. 如图所示的网格是正方形网格，线段绕点A顺时针旋转后与相切，则α的值为_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了旋转的性质和解直角三角形，解题的关键是勾画出示意图，熟练解直角三角形． 线段AB绕点A顺时针旋转后与相切，切点为，连接,根据切线的性质可知,利用三角函数求得，最后求即可． 【详解】 解：如图所示，线段AB绕点A顺时针旋转后与相切，切点为，连接, ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为4，以为边在其右侧作正，点Q是线段上一点，连接交于点P．当时，线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正三角形、正方形性质，三角形相似的性质与判定，根据相似比求线段长，掌握这些知识点和计算方法是本题关键． 先作辅助线，再通过相似和已知得出相似比，再通过相似比求出的值即可． 【详解】解： 如图：过点Q作平行线 故答案为： 16. 已知A、B是直线上两点，且A、B的横坐标为、5．当抛物线与线段有且只有一个公共点时，则a的取值范围_______． 【答案】或 【解析】 【分析】联立解析式得，根据抛物线与线段有且只有一个公共点，得，，解得或，结合抛物线对称轴为直线，分当时，当时，当时，把端点横坐标，，代入两个函数解析式，比较函数值，解不等式组即得． 【详解】解：联立解析式得，， 即， ∵抛物线与线段有且只有一个公共点， ∴，， 解得或， ∵抛物线对称轴为直线， ∴若时， 当时，， a全体实数； 当时，， 解得， ∴； 若时，抛物线与线段有且只有一个公共点； 若时， 当时，， 矛盾，a不存在； 时，， 解得； ∴a不存在． 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数与线段的交点问题．熟练掌握二次函数的对称性增减性质，根判别式与交点个数的关系，函数与不等式关系，解不等式，分类讨论，是解题有关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）计算： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先化简各数，再进行加减运算即可． 【详解】解：（1）， ， ∴或， ∴ （2）原式 ． 18. 某校初一开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 爱国班 a 85 c 求知班 85 b 100 （1）根据图示直接写出a、b、c的值； （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？ （3）已知爱国班复赛成绩的方差是70，请求出求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？（计算方差的公式：） 【答案】（1），， （2）爱国班成绩好些．因为两班平均数相等，爱国班的中位数高，所以爱国班成绩好些．（回答合理即可） （3）160；爱国班成绩较为稳定 【解析】 【分析】（1）观察图分别写出爱国和求知5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可； （2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好； （3）根据方差公式计算即可：（可简单记忆为“等于差方的平均数”）． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知爱国班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100， 求知班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80， ∵爱国班中85出现了2次且次数最多， ∴爱国班的众数为85，即， 爱国班的平均数为， ∴ 求知班数据排列为：70、75、80、100、100 ∴求知班的中位数是为第3个，即； 【小问2详解】 解：爱国班成绩好些． 因为两班平均数相等，爱国班的中位数高，所以爱国班成绩好些．（回答合理即可） 【小问3详解】 解： ∵， ∴爱国班成绩较为稳定． 【点睛】本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式． 19. 旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王老师和李老师一同支北京参加培训，购买从石家庄到北京的高铁票（如图所示，一排中的座位号为A、B、C、D、F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）系统分给王老师和李老师C、D座位是 事件． （2）利用画树状图或列表法求系统分配给王老师和李老师相邻座位的概率（过道两侧的座位C、D不算相邻）． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了事件分类、运用列表法或树状图求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题关键． （1）根据系统是随机分配座位的，虽然假设系统已将两人的位置分配到同一排，但并没有必然地将两人分配到C、D座位，即可得出答案； （2）画树状图，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有6种等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：因为系统是随机分配座位的，所以任何一种座位组合出现的可能性都是相同的，因此给王老师和李老师分配到C、D座位属于随机事件． 故答案为：随机． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有、、、、、共6种， 则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 20. 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若是此方程的一个根，求实数的值． 【答案】证明见解析； ，． 【解析】 【分析】（1）求证这个方程都有两个不相等的实数根，只要证明△＞0，即可得出方程有两不相等的实数根；（2）把x=-2代入方程得出关于m的方程，解方程求出m的值即可． 【详解】证明：∵关于的一元二次方程． ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； 解：∵是此方程的一个根， ∴把代入方程中得到， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了①一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．②方程的解得定义，就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 21. “一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确列出函数关系式． （1）结合已知的图象，用待定系数法可得与之间的函数关系式为； （2）由每天“中国结”的销售量不低于240件，可得，设每天获取的利润为元，可得：，由二次函数性质即得当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得， ； 【小问2详解】 每天“中国结”的销售量不低于240件， ， 解得， 设每天获取的利润为元， 根据题意得：， ，抛物线对称轴是直线， 时，取最大值，最大值是（元， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 22. 如图，点C是直径AB上一点．过C作交于点D，连接DA，DB． （1）求证：； （2）连接DO，过点D作的切线，交BA的延长线于点P．若，，求BC的长． 【答案】（1）见详解； （2）240． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于可得，再根据可得，从而证明； （2）根据切线的性质得出，再根据得出，再根据，从而设出，的长度，再根据勾股定理求出的长度，再根据线段之间的关系即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵为的直径 ∴， ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵为的切线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 设，，则 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角等于，切线以及垂线的性质，勾股定理等相关知识，熟练掌握直径所对圆周角等于和切线的性质是解答本题的关键． 23. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求D到的距离． （2）求古塔的高度（结果保留根）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过点作，根据斜坡的斜面坡度，结合勾股定理求出的长即可； （2）过点作，垂足为点，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， ∵斜坡的斜面坡度， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 过点作，垂足为点． 由题意得，， ∵ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴． 答：古塔的高度． 24. 中，，． （1）如图1，若点在射线上，且，请用圆规和无刻度的直尺．作（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在且唯一确定，并求出边的长度．选择的条件：_______．（填序号）①；②的周长为；③． 【答案】（1）作图见解析 （2）的长度为，②或③ 【解析】 【分析】（1）过作射线的垂线交于点即可； （2）分三种情况进行分析，然后求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过作射线的垂线交于点即可， ∴， ∵， ∴， ∴即为所作； 【小问2详解】 解：由（1）知： 在中，，，， ∴， 选①， ∵， ∴以点为圆心，为半径画圆，此时与射线有两个交点（如图），故存在但不唯一，不符合题意； 选②， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 联立，解得：， ∴； 选③， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：②或③． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了过一点作已知直线的垂线，直角三角形两锐角互余，含角直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，掌握基本作图是解题的关键． 25. 如图，半的直径为10，点C、D是半弧上的两点，将弧沿翻折． （1）如图1，连接交翻折后的弧于点Q，连接、．判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，当时，求的长； （3）如图3，已知，连接交翻折后的弧于点Q，当点Q为的中点时，求长． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等，弦相等解答即可； （2）作出点O关于的对称点M，则与是等圆，连接，设与交点为N，由翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，则，， 得到四边形是菱形，利用勾股定理，垂径定理解答即可． ； （3）过点作垂足为，过点作垂足为，连接，，根据正方形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，解答即可． 【小问1详解】 解：是等腰三角形． 理由如下：，且弧与弧是等圆中的弧， ， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：作出点O关于的对称点M，则与是等圆， 连接，设与交点为N， 由翻折后的弧与相切，且切点E在直径上， 则，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点作垂足为，过点作垂足为，连接，， ∵，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴正方形， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，、，点E从点C出发，以每秒2个单位长度沿y轴负方向运动，点F从原点O出发，以每秒个单位长度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒．以、为一组邻边作平行四边形，点N在点F右侧2个单位，以为对角线作正方形，（F、P、N、M为顺时针顺序）． （1）时，求的值； （2）当时，求最小值； （3）当时，点P关于所在直线的对称点为Q，当点Q在上时，求t的值； （4）如图2，当时，连接、、、，在点E运动的过程中，若点M、P中恰好有且只有一个点在四边形内部时，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由题意可知当时，，，则，再根据正切的定义即可求解； （2）由题意得，，进而可知，根据正方形的性质得，根据勾股定理可得，即的最小值为4，进而可知最小为2； （3）由（2）可知，，，，根据对称求得，利用待定系数法求得直线函数表达式为，把点坐标带入函数表达式可得方程，解方程即可求解； （4）分两种情况：当点P在四边形内部，当点M在四边形外部或边上，可知，；当点P在四边形外部或边上，当点M在四边形内部，可知，，结合角度的正切值列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当时，，，则， ∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，， ∵点在点右侧2个单位，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，互相垂直平分，且， ∴， 可得， 的最小值为4， 最小为2； 【小问3详解】 由（2）可知，，， ∵四边形平行四边形， ∴，即轴， ∵点关于所在直线的对称点为，则，， ∴，即： 设直线函数表达式为：，代入，，得： ，解得： ∴直线函数表达式为：， 把点坐标带入函数表达式可得： 解得：， 即：当点在上时，； 【小问4详解】 ∵四边形正方形， ∴， 由题意可得，，， 当点P在四边形内部，当点M在四边形外部或边上，可知，， ∴，即， ∴，解之得： 当点P在四边形外部或边上，当点M在四边形内部，可知，， 同理，可得，该不等式组无解 综上所述当时点中恰好有且只有一个点在四边形内部． 【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，轴对称，配方法求最值等知识点，理解题意，正确表示线段长度及点的坐标是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $