精品解析：2025年辽宁省沈阳市于洪区模拟预测数学试题

于洪区2024—2025学年度下学期零模测试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A B. C. D. 2. 截至年月日时分，中国动画电影哪吒之魔童闹海全球票房含预售及海外已破亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第位将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 10. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 12. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，如表为几组实验数据，则蓄电池的电压________V． … 4 6 8 … … 9 6 45 … 13. 如图，与位似，点是它们的位似中心，已知，则与的周长之比是________． 14. 如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心，以长为半径作弧，交对角线于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的长为________． 15. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，若为等腰直角三角形，则的值为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元．用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）学校决定购买甲，乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗． 18. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的理论知识成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：理论知识成绩在C组的数据为：81，81，82，82，83，84，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．89 请根据以上信息，解答下列问题： （1）请通过计算补全频数分布直方图； （2）求所抽取学生理论知识成绩中位数； （3）请估计全校500名学生的理论知识成绩高于80分的人数； （4）某班甲、乙两位学生的理论知识成绩与实践操作成绩如表，学校规定将每位学生的理论知识和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，请通过计算说明甲、乙两位学生谁的总成绩更高？ 学生 理论知识成绩/分 实践操作成绩/分 甲 92 82 乙 85 90 19. 某花店购入一批进价为10元/束的康乃馨进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）康乃馨销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润多少？ 20. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． （1）求冬至时日影的长度； （2）求春分和秋分时日影长度（结果精确到尺）．（参考数据：，，，，，） 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图，等边的边长为2，过点作直线，点在直线上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）如图1，当点在边上时，求的长． （2）将线段沿着射线方向平移，使点与点重合，点的对应点为点，得到线段，连接，． ①如图2，当是等边三角形时，求证：四边形是菱形； ②当点在射线上时，若的面积为，求的长； ③当点在射线上时，是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，是关于自变量的函数．给定一个实数，构造一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的“界变构函数”．例如：当时，一次函数的“1界变构函数”为． （1）求一次函数的“3界变构函数”． （2）点在反比例函数的“0界变构函数”上，求的值． （3）已知关于的二次函数，点在该二次函数的“界变构函数”上． ①求值； ②当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 于洪区2024—2025学年度下学期零模测试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有1个正方形． 故选：B． 2. 截至年月日时分，中国动画电影哪吒之魔童闹海全球票房含预售及海外已破亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第位将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：140亿 ， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于幂的运算、完全平方公式、合并同类项，解决本题的关键是根据运算法则把各式分别计算出来，根据计算结果进行判断． 【详解】解：A选项：根据同底数幂的除法法则可得：，故A选项错误； B选项：根据合并同类项的法则可得：，故B选项错误； C选项：根据完全平方公式可得：，故C选项错误； D选项：根据幂的乘方的法则可得：，故D选项正确． 故选：D ． 4. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．利用平移变换的规律解决问题． 【详解】解：∵将线段平移得到线段，，， ∴向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点， ∴向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点， ∴，即， 故选：B． 6. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 7. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 8. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO=DO，AB=BC=CD=DA， ∵OE=3，且点E为CD的中点， 是的中位线， ∴BC=2OE=6． ∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出BC=6． 10. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴得N、P关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项D错误，选项B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数大于等于0求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 12. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，如表为几组实验数据，则蓄电池的电压________V． … 4 6 8 … … 9 6 4.5 … 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，设电流与电阻的函数关系式为，根据待定系数法求解即可，用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， 把，代入得， ， 故答案为：36． 13. 如图，与位似，点是它们的位似中心，已知，则与的周长之比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长． 故答案为： 14. 如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心，以长为半径作弧，交对角线于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质以及尺规作图，解直角三角形，正确作出垂线是解题的关键． 过点E作于点G，由题意得，平分，则，设，则，由得，求解，再由求解即可． 【详解】解：过点E作于点G， 由题意得，平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 设，则， ∴在中，由得：， 解得：，经检验是分式方程的解， ∴， 故答案为：． 15. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，若为等腰直角三角形，则的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，求出顶点的坐标是解题的关键． 先求出，则可得，对称轴为直线，那么，由为等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，则，故，再将其代入，即可求解． 【详解】解：记对称轴与轴交于点E， 当时，，而 ∴或， ∴， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵为等腰直角三角形，只能为， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂的意义、二次根式的性质、零指数幂的意义以及分式的加减运算法则、乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）根据负整数指数幂的意义、二次根式的性质以及零指数幂的意义即可求出答案． （2）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元．用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）学校决定购买甲，乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗． 【答案】（1）甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元 （2）33棵 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或不等式． （1）设乙种树苗每棵的价格是元、则甲种树苗每棵的价格是元，根据用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同，列出方程，解方程即可； （2）设可购买棵甲种树苗，根据学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设乙种树苗每棵的价格是元、则甲种树苗每棵的价格是元，根据题意，可列方程组： ， 解得：． 经检验，是原方程的根， ， 答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元； 【小问2详解】 解：设可购买棵甲种树苗，根据题意，可列不等式： ． 解这个不等式得：， 为正整数， 的最大值为33， 答：最多可购买33棵甲种树苗． 18. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的理论知识成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：理论知识成绩在C组的数据为：81，81，82，82，83，84，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．89 请根据以上信息，解答下列问题： （1）请通过计算补全频数分布直方图； （2）求所抽取学生理论知识成绩的中位数； （3）请估计全校500名学生的理论知识成绩高于80分的人数； （4）某班甲、乙两位学生的理论知识成绩与实践操作成绩如表，学校规定将每位学生的理论知识和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，请通过计算说明甲、乙两位学生谁的总成绩更高？ 学生 理论知识成绩/分 实践操作成绩/分 甲 92 82 乙 85 90 【答案】（1）见解析 （2）分 （3）300名 （4）甲学生的总成绩高 【解析】 【分析】本题主要查了频数分布直方图，中位数，加权平均数等： （1）先求出抽取的学生的总人数，可求出B组的频数，即可求解； （2）根据题意可得位于正中间的两个数分别为83，84，即可求解； （3）用500乘以成绩高于80分的人数的频率，即可求解； （4）分别求出甲、乙两位学生的总成绩，再比较，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：抽取的学生的总人数为名， ∴B组的频数为， 补全频数分布直方图，如下： 【小问2详解】 解：根据题意得：位于正中间的两个数分别为83，84， ∴所抽取学生理论知识成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：名 即理论知识成绩高于80分的人数为300名； 【小问4详解】 解：甲学生的总成绩为分， 乙学生的总成绩为分， ∵， ∴甲学生的总成绩高． 19. 某花店购入一批进价为10元/束的康乃馨进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）康乃馨销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，取最大值为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数，二次函数的应用，用到的知识点为：二次函数的二次项系数小于0，求二次函数的最大值，可整理成，二次函数的最大值为；也可整理成一般式：，最大值为：． （1）设与的函数表达式为：，把表格中的两组数值代入可得和的值，即可求出与的函数关系式； （2）设日销售利润为元，每束康乃馨的利润销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得康乃馨销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设， 将，代入， ． 解得：． ； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元． 则可得 ， 当时，取最大值为， 答：康乃馨销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 20. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． （1）求冬至时日影的长度； （2）求春分和秋分时日影长度（结果精确到尺）．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）16尺 （2）尺 【解析】 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用： （1）在中，利用解答，即可求解； （2）在中，利用，可得的长度，根据春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，尺，， ∴尺； 【小问2详解】 解：在中，，尺，， ∴尺， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为（尺）， 答：春分和秋分时日影长度9.2尺． 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，则可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么，则半径，再由弧长公式求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 22. 如图，等边的边长为2，过点作直线，点在直线上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）如图1，当点在边上时，求的长． （2）将线段沿着射线方向平移，使点与点重合，点的对应点为点，得到线段，连接，． ①如图2，当是等边三角形时，求证：四边形是菱形； ②当点在射线上时，若的面积为，求的长； ③当点在射线上时，是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①证明：∵是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 由平移得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； ②； ③存在， 【解析】 【分析】（1）由旋转得，，由等边可得，由平行得到，解得，则由即可求解； （2）①由是等边三角形，结合（1）可得，由平移得，那么四边形是平行四边形，再由邻边相等，即可证明为菱形； ②过点P作于点，过点B作于点，交延长线于点T，可证明，，由，求得，由（1）得，则，证明，那么，而，故； ③过点作于点，交于点，过点B作于点I，过点P作交延长线于点R，同理可得，由，求得，易证四边形为平行四边形，则，，同理可证明为平行四边形，则，同理可得，则，故，则． 【小问1详解】 解：如图， 由旋转得，， ∵等边边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②解：过点P作于点，过点B作于点，交延长线于点T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③解：存在，理由见解析： 过点作于点，交于点，过点B作于点I，过点P作交延长线于点R， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 同理可证明：为平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，难度较大，解题的关键在于正确构造全等三角形． 23. 在平面直角坐标系中，是关于自变量的函数．给定一个实数，构造一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的“界变构函数”．例如：当时，一次函数的“1界变构函数”为． （1）求一次函数的“3界变构函数”． （2）点在反比例函数的“0界变构函数”上，求的值． （3）已知关于的二次函数，点在该二次函数的“界变构函数”上． ①求的值； ②当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或3 （3）①2；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，理解新定义，通过数形结合求解． （1）根据“界变构函数”的定义解答即可； （2）根据“界变构函数”的定义，可得反比例函数的“0界变构函数”为，再分类解答，即可求解； （3）①根据“界变构函数”的定义，可得函数称为原函数的“界变构函数”，再把点代入解答即可； ②由①可得函数称为原函数的“界变构函数”，然后画出函数图象，结合函数图象可得当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，把代入得：，把代入得：，，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 即一次函数的“3界变构函数”为； 【小问2详解】 解：根据题意得：反比例函数的“0界变构函数”为， ∵点在反比例函数的“0界变构函数”上， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 综上所述，的值为或3； 【小问3详解】 解：①根据题意得：二次函数的二次函数的“界变构函数”为， ∵点在该二次函数的“界变构函数”上， ∴或， 解得：或， ∵， ∴； ②由①得：二次函数的二次函数的“界变构函数”为，即， 画出函数图象，如下图， 对于， 当时，， 解得：， ∴当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是， 把代入得：， 把代入得：，， ∵当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是， ∴当k在之间时，才能满足题意， ∴根据函数图象可知：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $