专题11 直线与圆-2025年高考数学二轮复习核心考点聚焦与强化（新高考全国卷)

专题11 直线与圆的方程 二轮复习核心考点聚焦与强化 专题11 直线与圆的方程 一、关键知识： 1．直线的倾斜角与斜率 图示 倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率 k＝0 k>0 不存在 k<0 2．直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 3．距离公式 （1）两点间的距离=. （2）点到线的距离=. （3）平行线的距离=. 4．直线的夹角 （1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π﹣θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π﹣θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ． （2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是（0，]． 5．圆的方程 （1）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），其中圆心坐标为（，），半径r． （2）圆的标准方程：(x﹣a)2+(y﹣b)2＝r2，其中圆心坐标为(a,b)，半径为r． 6．圆的切线方程 （1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程 （2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程． 7．直线与圆的位置关系: 8．直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2位置关系的判断方法 （1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断． 圆心到直线的距离d.①相交：d＜r；②相切：d＝r；③相离：d＞r． （2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用△判断． 由消元，得到一元二次方程的判别式△ ①相交：△＞0；②相切：△＝0；③相离：△＜0． 9．圆与圆的位置关系 10．圆与圆的位置关系的判定 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d （1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4条公切线）：d＞r1+r2． ②外切（3条公切线）：d＝r1+r2． ③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2． ④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|． ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|． （2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值． 二、聚焦高考： 考点分析： 新高考在直线与圆部分的主要考查： 1.直线方程：直线的点斜式、斜截式、两点式、一般式等方程形式，以及直线的斜率、截距等概念，考查学生根据已知条件求直线方程或根据直线方程分析直线的性质。 2.圆的方程：圆的标准方程和一般方程，要求根据给定条件写出圆的方程或从圆的方程中获取圆心和半径等信息。 3.直线与圆的位置关系：判断直线与圆是相交、相切还是相离，常通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来确定。同时，还会涉及到利用位置关系求解相关问题，如切线长、弦长等。 4.圆的切线问题：包括求过圆上一点的切线方程、求圆外一点引圆的切线方程等。通过圆心与切点的连线垂直于切线这一性质来求解。 5.圆的弦长问题：利用垂径定理结合勾股定理来计算弦长。 高考真题： 1．（2021全国II）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 2．（2022全国II）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 3．（2023全国II）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 4．（2023全国I）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（2021全国I）写出与圆和都相切的一条直线的方程_____________． 6．（2021全国I）（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 三、考点精炼： 考点一：直线和圆的方程及位置关系 1．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．过点且与圆相切的一条直线方程为 . 3．在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆相离，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．直线，与圆相交于、两点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 7．直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8． “太极图”因其图形如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为 . 9．若圆 上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为 则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 考点二：圆的弦长计算及面积问题 1．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（   ） A． B．5 C． D．10 2．已知点为圆上不同的四点，直线平分圆，直线把圆的周长分为3∶1的两部分，若，则四边形的面积为（ ） A．1 B． C． D． 3．过点且斜率为的直线与圆交于两点，已知，试写出一个符合上述条件的圆的标准方程 . 4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 7．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 8．直线 与圆 相交于 两点，当 面积最大时 的值为（     ） A． B．2 C．4 D． 9．过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 考点三：圆的切线长问题 1．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（    ） A． B． C． D．3 2．已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 3．由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 4．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（   ） A． B．2 C． D．4 6．已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 7．已知过点有两条直线与圆相切，切点分别为，，则 ． 8．过点作的切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．2 9．已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．满足四边形是正方形的点有且只有一个 D．直线恒过定点 四、强化训练： 题组一：直线和圆的方程及位置关系 1．（多选）已知直线与圆交于两点，则（   ） A．过定点 B．若直线平分圆的周长，则 C．的最小值为 D．的中点的轨迹所形成的图形的面积为 2．（多选）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（     ） A．直线与圆相离 B．当最大时， C．点到直线的距离最大值为 D．点到直线的距离最小值为 3．（多选）设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．若，则或-1 B．若，则 C．恒过定点 D．被圆C截得的弦长最小值为4 4．已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ． 9．已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是 . 题组二：圆的弦长计算及面积问题 1．已知直线与圆交于，两点，则（   ） A． B．2 C．3 D． 2．已知为圆内两点，过的直线与圆交于两点，若，则的面积为 . 3．过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 8．圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为 . 9．设函数，若点满足，，记点P构成的图形为，则的面积是 . 10．（多选）已知点，，直线：.为圆：上的动点，下列选项中正确的是（    ） A．若圆关于对称，则 B．与圆总有公共点 C．面积的最大值为 D．面积的最小值为 题组三：圆的切线长问题 1．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 2．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 4．点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 7．已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在平面内，圆M的半径为1，过圆M外的动点P引圆M的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当取最小值时，与的夹角的余弦值为 . 9．动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 10．（多选）已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（   ） A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为 C．的取值范围为 D．已知点，则为定值 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$专题11 直线与圆的方程 二轮复习核心考点聚焦与强化 专题11 直线与圆的方程 一、关键知识： 1．直线的倾斜角与斜率 图示 倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率 k＝0 k>0 不存在 k<0 2．直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 3．距离公式 （1）两点间的距离=. （2）点到线的距离=. （3）平行线的距离=. 4．直线的夹角 （1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π﹣θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π﹣θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ． （2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是（0，]． 5．圆的方程 （1）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），其中圆心坐标为（，），半径r． （2）圆的标准方程：(x﹣a)2+(y﹣b)2＝r2，其中圆心坐标为(a,b)，半径为r． 6．圆的切线方程 （1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程 （2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程． 7．直线与圆的位置关系: 8．直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2位置关系的判断方法 （1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断． 圆心到直线的距离d.①相交：d＜r；②相切：d＝r；③相离：d＞r． （2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用△判断． 由消元，得到一元二次方程的判别式△ ①相交：△＞0；②相切：△＝0；③相离：△＜0． 9．圆与圆的位置关系 10．圆与圆的位置关系的判定 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d （1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4条公切线）：d＞r1+r2． ②外切（3条公切线）：d＝r1+r2． ③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2． ④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|． ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|． （2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值． 二、聚焦高考： 考点分析： 新高考在直线与圆部分的主要考查： 1.直线方程：直线的点斜式、斜截式、两点式、一般式等方程形式，以及直线的斜率、截距等概念，考查学生根据已知条件求直线方程或根据直线方程分析直线的性质。 2.圆的方程：圆的标准方程和一般方程，要求根据给定条件写出圆的方程或从圆的方程中获取圆心和半径等信息。 3.直线与圆的位置关系：判断直线与圆是相交、相切还是相离，常通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来确定。同时，还会涉及到利用位置关系求解相关问题，如切线长、弦长等。 4.圆的切线问题：包括求过圆上一点的切线方程、求圆外一点引圆的切线方程等。通过圆心与切点的连线垂直于切线这一性质来求解。 5.圆的弦长问题：利用垂径定理结合勾股定理来计算弦长。 高考真题： 1．（2021全国II）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【详解】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 2．（2022全国II）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为： 3．（2023全国II）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）． 4．（2023全国I）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以； 法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为，且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且，设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B. 5．（2021全国I）写出与圆和都相切的一条直线的方程_____________． 【答案】或或 【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可 [方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]：圆的圆心为，半径为，圆圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为,O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或. 6．（2021全国I）（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示，当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD. 三、考点精炼： 考点一：直线和圆的方程及位置关系 1．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，圆心坐标为点，半径为，则圆的方程为．故选：D． 2．过点且与圆相切的一条直线方程为 . 【答案】或 【详解】由知在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以，所以，所以，所以切线方程为．综上，切线方程为或.故答案为：或. 3．在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立，可得，解得,当，则方程组无解，即直线与圆无交点，故BC错误.化为标准方程为,其圆心为，半径为.由选项可得，将化为斜截式可得.对于A，圆心在第一象限，则，解得.由原点在圆外，可得，故.由直线方程可得，矛盾，故A错误. 对于D，圆心在第二象限，则，解得.由原点在圆外，可得，故，由直线方程可得，故D正确.故选:D. 4．已知直线与圆相离，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆的方程化为标准方程可为，则，解得或，圆心为，半径为，因为直线与圆相离，则，整理可得，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：D. 5．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，，由得，即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.点在直线上，所以直线与圆有公共点，则，解得故选:B. 6．直线，与圆相交于、两点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为直线，则直线恒过点，由可得圆的圆心 ，半径，则直线恒过圆心，因为，，所以①，②，②①得 因为点到直线的距离为：，则，的最小值是, 故答案为： 7．直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可作图如下：当直线位于直线时，交点一定有两个， 由，则，易知，设直线，由图可知为切线，则，解得，由图可得：.故选：C. 8． “太极图”因其图形如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为 . 【答案】 【详解】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：，观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小，此时，因此，解得，所以的最小值为.故答案为： 9．若圆 上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为 则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得已知圆的圆心，半径为，如图，由图可知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，当时，直线斜率不存在，倾斜角为，此时圆心到直线的距离，不符合，当时，直线斜率为.，此时，整理得.，解得，因为， ，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：A. 10．（多选）已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 【答案】AD 【详解】曲线.当，当. 曲线可以看作是以点和为圆心，半径为的两段优弧组成，构成“8”字形，不含圆的虚线部分，如图.,对于A,曲线上两点间的最大距离为,故A正确.对于B,因为点在曲线上，将点代入曲线方程. 当时，，解得或. 当时，，展开解得.此时无解.所以或，选项B错误.对于C,直线与曲线有公共点,则如图在切线a，b之间即可.当直线与上圆切时，则，解得，则.同理，可得当直线与下圆切时，求得，则.则，选项C错误. 对于D,在，则，则,则扇形的面积为.直角三角形的面积为.则弓形面积为.圆的面积为：.曲线C所围成的封闭图形的面积为两个圆的面积减去两个弓形面积即可.即为.选项D正确.故选：AD. 考点二：圆的弦长计算及面积问题 1．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【详解】圆C：的圆心，半径，圆心C到直线l的距离，所以.故选：C 2．已知点为圆上不同的四点，直线平分圆，直线把圆的周长分为3∶1的两部分，若，则四边形的面积为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】直线把圆的周长分为的两部分，则弦所对圆心角为，即．因为直线平分圆，所以为圆的直径．因为，所以过的平分线，有．由得，则四边形的面积为.故选：C． 3．过点且斜率为的直线与圆交于两点，已知，试写出一个符合上述条件的圆的标准方程 . 【答案】（答案不唯一，） 【详解】依题意，直线的方程为，即，圆的圆心，半径， 点到直线的距离，由，得，于是，整理得，解得或，所以圆的标准方程为或. 故答案为：（答案不唯一） 4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径，直线，即，恒过定点，又由圆的方程为，则点在圆内，当直线与垂直时，弦最小，此时，则的最小值为.故选：A 5．在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆的方程为，代入点的坐标求出圆的方程，即可得到圆心坐标与半径，再求出直线过定点，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】设圆的方程为， 则，解得，所以， 即圆，则圆心为，半径； 又直线，即，令，解得，所以直线过定点，又点与圆心在直线（斜率不存在）上，又，所以，当且仅当直线的斜率时取得，又无最大值，且无限接近圆的直径，所以．故选：C． 6．过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 【答案】C 【详解】圆化成标准方程为， 圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径． 当时，面积取得最大值，则最大值为．故选：C. 7．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】圆的圆心到直线的距离为，所以，记点到直线的距离为，则的面积，所以， 又圆心到直线的距离为，所以， 又，所以，故选：B 8．直线 与圆 相交于 两点，当 面积最大时 的值为（     ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】圆心到直线的距离，则弦长为， ，当且仅当，即时， 面积取得最大值.故选：B. 9．过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，可得，所以，曲线表示为圆的上半圆，且该半圆的半径为， ，当且仅当时，等号成立， 此时，原点到直线的距离为，由图可知，直线的斜率存在，且， 则直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，因为，解得，因此，直线的方程为，即.故选：A. 10．（多选）设为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】BC 【详解】由题设，圆心，半径为5，又过圆心， 所以，且，A错，B对； 显然，即原点在圆上，由到的距离，故的面积为，C对；若，则，与矛盾，D错.故选：BC 考点三：圆的切线长问题 1．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】∵圆，∴圆心，半径为1，设点关于x轴的对称点为，则，∴，所以光线从P点到Q点所经过的路程的长度为.故选：B. 2．已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，且，则，又， ∴，利用面积相等，∴，故选：D． 3．由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆的方程，得圆心，半径，如图，切线长，当最小时，最小，最小值为圆心到直线的距离，所以切线长的最小值.故选：C. 4．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知圆心为，半径，由题意，所以当时，取最小值，由点到直线的距离公式可得，此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点，由于与关于直线对称，，与关于直线对称，因此与就是同一条直线，即点即为所求的点，所以的最小值为.故选：C   5．已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】如图所示，因为MC，MD都与圆相切，所以， 因为在Rt和Rt中，，OM为公共边，.又因为，所以当取得最小值时，面积最小，此时四边形面积也取得最小值，又由勾股定理，，所以当取最小值时，最小.由题意，当时，取得最小值，，所以此时，，故四边形面积的最小值.故选：D. 6．已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由已知在以为直径的圆上，所以，又在圆上，所以为圆的两条切线，，故，所以四边形面积，圆的圆心坐标为，半径为，所以，所以，而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为，且点到直线的距离，所以四边形面积的最小值为.故选：B. 7．已知过点有两条直线与圆相切，切点分别为，，则 ． 【答案】 【详解】根据题意，圆心，半径为，设直线与圆相切于点，如图，易知，，则，所以，则．故答案为：. 8．过点作的切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题知，，，则， 故故选：B. 9．已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，因为，且，当最小时，则最大，可得最大，即最大，又因为的最小值即为圆心到直线的距离为，此时，所以取得最大值．故选：C． 10．（多选）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．满足四边形是正方形的点有且只有一个 D．直线恒过定点 【答案】ABD 【详解】如图所示，对于选项A，因为，所以当最小时，最小，而0，则．此时，正确；对于选项B，因为，所以最小时，四边形的面积最小，且为，正确；对于选项C，当最小时，最大，而此时是锐角，所以不存在点使四边形PAOB是正方形，错误；对于选项D，圆的圆心为，半径为．设，因为在直线上，所以．又为圆的切线，故以OP为直径的圆的方程为，联立，两式作差可得直线的方程为，将代入得，即，所以直线恒过定点，正确．故选：ABD. 四、强化训练： 题组一：直线和圆的方程及位置关系 1．（多选）已知直线与圆交于两点，则（   ） A．过定点 B．若直线平分圆的周长，则 C．的最小值为 D．的中点的轨迹所形成的图形的面积为 【答案】AC 【详解】对于A，直线过定点，A正确；对于B，圆的圆心，半径，当直线过点时，，解得，B错误；对于C，，当且仅当时，，C正确；对于D，当点不在直线时，，点在以线段为直径的圆上，当在直线时，点在以线段为直径的圆上，而直线不含直线，即点不含点，因此点的轨迹是以为直径的圆（除点外），因此的中点的轨迹所形成的图形的面积为，D错误.故选：AC 2．（多选）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（     ） A．直线与圆相离 B．当最大时， C．点到直线的距离最大值为 D．点到直线的距离最小值为 【答案】BC 【详解】由题意，，即，又的圆心为，半径为，所以到的距离为，故直线与圆相交，A错；要使最大，只需与圆相切，则，B对；由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，C对，D错.故选：BC.   3．（多选）设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．若，则或-1 B．若，则 C．恒过定点 D．被圆C截得的弦长最小值为4 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则，所以，故A不正确；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，直线：，整理得，令得，故直线恒过定点，故C正确；于D，圆C：的圆心，半径，设点为，则在圆内，则当时，直线被圆截得的弦长最小，因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，又，所以，此时解得，故存在使得被圆C截得的弦长最小值为4，故D正确．故选：BCD. 4．已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点，由过点定点，如下图，由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得，结合图知.故选：B 5．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，故曲线轨迹为以为圆心，1为半径的上半圆，恒过定点，把半圆和直线画出，如下，当直线过点时，满足两个相异的交点，且此时取得最大值，最大值为，当直线与相切时，由到直线距离等于半径可得，，解得，结合图形可知要想曲线与直线有两个相异的交点，实数的取值范围是.故选：B. 6．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆为以为圆心2为半径的圆，经过一四象限，又直线过定点，所以直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，如下图所示，又易知圆与轴的两个交点，， 当直线经过点时，，如图，当直线经过点，即直线与圆相切时，设圆心到直线的距离为，则，整理得到，解得， 7．圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且圆心到直线的距离，若圆上有且仅有两点到直线的距离为，则，即，解得或，所以实数的取值范围是.故选：D．结合图像可知，故选：D. 8．已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ． 【答案】或 【详解】设点，由可得：，两边平方整理得：，即点的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2.若该圆上有且只有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离，解得．故答案为：或. 9．已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为，则圆心到轴的距离为，又截轴所得弦长为，所以，解得（负值已舍去），所以圆的方程为．由圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，可知圆心到直线的距离，即1，所以，解得，所以的取值范围为．故选：A． 10．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，，即；当时，，即.如图，直线恒过，记，则，，当与相切时，，解得，当与相切时，，解得，结合图象可知，实数的取值范围是.故答案为： 题组二：圆的弦长计算及面积问题 1．已知直线与圆交于，两点，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径，直线即， 则圆心到直线的距离，所以.故选：B 2．已知为圆内两点，过的直线与圆交于两点，若，则的面积为 . 【答案】4 【详解】由垂径定理O到直线AB的距离为，所以.故答案为：4 3．过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆，即，则圆心，半径为，因为，所以点在圆内，由圆的性质可知，当时，弦的长度取得最小值，因为，所以弦的长度的最小值为.故选：B 4．已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆C：可化为，则圆心，半径为，由可得，联立，解得， 直线l：恒过定点，点在圆C内， 的最大值为，当直线时，取得最小值，此时，， 故线段AB长度的取值范围是.故选：A. 5．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，令，解得，所以直线恒过定点，圆的圆心为，半径为，且，即在圆内，当时，圆心到直线的距离最大为，此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.故选：A. 6．点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，则，点到直线距离的最大值为，所以，面积的最大值为.故选：A. 7．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】圆的圆心到直线的距离为，所以，记点到直线的距离为，则的面积，所以， 又圆心到直线的距离为，所以， 又，所以，故选：B 8．圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为 . 【答案】28 【详解】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，如图所示，设，则，且，则四边形的面积，当且仅当，即时，等号成立，所以四边形的面积的最大值为28.故答案为：28. 9．设函数，若点满足，，记点P构成的图形为，则的面积是 . 【答案】 【详解】依题意，即，即，不等式表示的点位于圆的圆上和圆内，由此画出图形如下图阴影部分所示，由于，所以，，所以图形的面积为.故答案为： 10．（多选）已知点，，直线：.为圆：上的动点，下列选项中正确的是（    ） A．若圆关于对称，则 B．与圆总有公共点 C．面积的最大值为 D．面积的最小值为 【答案】BC 【详解】对于A，若圆关于对称，则直线过圆心，则，解得，故A错误；对于B，因为直线：，即恒过点，又，所以点在圆的内部，所以与圆总有公共点，故B正确；对于C，D，因为，且,则直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，即点到直线的距离的取值范围为，所以面积的取值范围为，故C正确，D错误；故选：BC 题组三：圆的切线长问题 1．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】可知点关于轴的对称点，又圆，即，则圆心，半径，故，根据对称性可知，光线经过的路程即为，故选：C. 2．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径，由切线性质可得，，，又点的坐标为，所以，所以，所以的面积，的面积，所以四边形的面积.故选：D. 3．过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径，由题意可得，则，则当取得最小值时，线段长度的最小，则，所以.故选：B. 4．点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有，由圆的几何性质可得，又由，所以当时，取得最小值．故选：C. 5．已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以当时，最小，由点到直线的距离公式可得此时，过作直线的对称点，再连接，与直线的交点即为所找的点，由于关于直线对称，，与关于直线对称，因此与就是同一条直线，即点就是点，所以的最小值等于，故选：C． 6．已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【详解】圆，即，由对称性可知，四边形的周长为，而，的最小值为点到直线的距离为，所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 7．已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当，分别为圆的切线，且最小时，最大，又，则最大，所以最大，此时最小，此时.故选：D. 8．在平面内，圆M的半径为1，过圆M外的动点P引圆M的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当取最小值时，与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【详解】设，.因为是圆的切线，所以，.中，.根据向量数量积公式可得：，由勾股定理可得，同理. 根据二倍角公式可得.所以. 根据均值不等式有，当且仅当，即时等号成立.所以，即的最小值为. 当取最小值时，，此时.根据二倍角公式可得.所以与夹角的余弦值为. 故答案为：. 9．动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 【答案】 【详解】圆的几何性质可知，，四边形的面积为，，所以，直线，过定点，直线过定点，且两直线的系数满足，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为，所以的最大值为，所以的最大值为.故答案为：. 10．（多选）已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（   ） A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为 C．的取值范围为 D．已知点，则为定值 【答案】ACD 【详解】圆转化为标准方程为，,在直角中，；对于A:若直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得，所以A正确;对于B:当时，，，，四边形的面积，所以B错误;对于C:， 因为，所以，由对勾函数在上单调递增，所以，所以C正确;对于D:方法一：当时，存在与轴的交点，，，所以四点共圆，且为此圆直径，圆心为，半径为，此圆方程为：，因为是此圆与圆的相交弦，故直线方程为两圆方程作差，即，化简得：， 所以直线AB经过定点,因为，所以，因为在直线AB上，所以，即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.方法二：利用圆的极点极线性质，当时，存在与轴的交点，切点所在直线AB的方程为，化简得，所以直线AB经过定点,因为，所以，因为在直线AB上，所以，即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.故选：ACD. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$