精品解析：四川省成都市双流区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

2024-2025学年四川省成都市双流区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴ 故选C． 2. 如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．根据矩形的对角线相等，可得， 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点， ∴， 故选：C． 3. 下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据定义逐项判断，即形如，y是x的反比例函数． 【详解】解：A、由原式得，符合反比例函数的定义，所以A符合题意； B、该函数为正比例函数，所以B不符合题意； C、y既不是反比例函数，也不是正比例函数，所以C题意； D、y既不是反比例函数，也不是正比例函数，所以D不符合题意. 故选：A． 4. 如图所示的几何体是由6个完全一样的正方体组合而成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形． 5. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在， ∴从中摸出一个红球的概率为， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：C． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，据此即可解答，解题的关键是掌握：一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，若的周长是4，那么的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 和的周长之比为， 的周长是4， 的周长是10， 故选：C． 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．根据待定系数法求出反比例函数解析式，分别求出和时求得V的值，于是得到结论． 【详解】解：设 ∵有图象给出的信息可得：， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴气体体积压缩了， 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，有一个根是2的一元二次方程有无数个，只要含有因式的一元二次方程都有一个根是2，写出一个符合条件的方程就行．有一个根是2的一元二次方程有无数个，写出一个符合条件的方程就可以． 【详解】解：形如的一元二次方程都含有一个根是2， 所以当，时，可以写出方程：． 故答案可以是：（答案不唯一）． 10. 如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据菱形的性质，求出，且，根据勾股定理，即可求出菱形的边长． 【详解】解：设，的交点为， ∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∴菱形边长为． 故答案为：． 11. 如图，在中，D为边上一点，，，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用已知条件证明，得到，代入数值计算即可． 【详解】在和中， ∵（公共角），（已知）， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，正确理解题意，掌握相似的判定及性质定理是解题的关键． 12. 对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，而当时，，所以当时，或．关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式． 【详解】解：反比例函数中，， 图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，或 故答案为：或 13. 如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图、勾股定理及正方形的性质是解题的关键；由题意易得，，，，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线， ， 四边形ABCD为正方形， ，，， ， ， ， 由勾股定理得，， 的长为； 故答案为：． 14. 已知，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，利用设法，进行计算即可解答．熟练掌握用设法是解题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ， 故答案为：3． 15. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据题意列举出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共8种情况，3只雏鸟中恰有2只雄鸟有3种情况，所以概率为． 故答案为：． 16. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题，能根据根与系数的关系得出关系式，是解此题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， 即：， 解得：． 故答案为：． 17. 如图，把正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点，先由折叠的性质，设，即，， 然后利用勾股定理得到，进而得到，，证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】证明：延长，交于点，如图所示：　 ∵对折正方形得折痕， ∴设，即 ∵四边形为正方形， ∴， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，折叠性质，等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线求解．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．勾股定理：若三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则． 18. 已知双曲线和图象如图所示，直线与双曲线交于点，将直线向上平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及了平行线的性质，三角形相似的判定和性质及不规则面积的求解，解答本题的关键是数形结合思想，有一定难度．连接，，作于E，于F，先证得，由，得出，，根据反比例函数系数k的几何意义得出，进一步得出，通过证得，得出，然后根据求得的面积为4，从而求得k的值． 【详解】解：如图，连接，，作于E，于F． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程配方法，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，熟知实数的运算法则及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据绝对值，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根的运算法则进行计算即可． （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：（1）原式． （2）， ， ， 则， 所以． 20. 小明和小刚玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小明说“木棒”，小刚说“老虎”，则小明胜；又如，两人同时说“公鸡”，则为平局；再如，一人说“小虫”，一人说“老虎”，则为平局． （1）每一次小明说出“老虎”的概率是______； （2）如果用A，B，C，D分别表示小明说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小明获胜的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以说明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率，列表法求概率， 对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），列表得出可能出现的所有结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式计算； 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小明说出“老虎”的结果有1种， 每一次小明说出“老虎”的概率是， 故答案为：， 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D 共有16种等可能的结果，其中某一次说出时小明获胜的结果有：，，，，共4种， 某一次说出时小明获胜的概率为 21. 在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？ 【答案】13.5厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 像的高是13.5厘米． 22. 如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于和两点． （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数与几何综合，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设，过作轴于，过作轴于，利用旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，即可解答． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象过点和， ， ，， 反比例函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， 一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：设， 如图，过作轴于，过作轴于， ， 将线段绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， ，， ， ， 或， 或． 23. 如图，平分，B，C分别在射线上，连接，有，平分交于点D，点E在线段上，且，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1），根据角平分线的定义设，可得，再根据角平分线的定义得，然后根据等边对等角及三角形外角的性质得，最后根据等角对等边得，即可得出答案； （2），由可知，，进而得出，再由等边对等角得，然后根据三角形内角和定理求出，可得答案； （3），结合根据“边角边”证明，可得再根据，可得，然后说明，可求出，进而求出，接下来证明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【小问1详解】 证明：平分， 设， ， . 平分交于点D， ， . ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由可知：，， . ，， ， ， 在中，， ， 解得：， ； 【小问3详解】 解：由可知：，， ， 在和中， ， ， . ， ， . 又， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，，角平分线定义等，灵活选择判定定理是解题的关键． 24. 小明妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小明帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表： A B C D E 售价（元/盆） 20 30 18 22 26 日销售量(盆) 50 30 54 46 38 （1）请根据以上数据，求出日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式； （2）根据以上信息，小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得利润450元？ 【答案】（1） （2）30元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数应用，一元二次方程的应用．从表格中获取信息、正确求出一次函数、列出一元二次方程求解是解题的关键． （1）根据销售单价从小到大对应排列即可，观察表格可知销售量是售价的一次函数，设销售量为盆，售价为元，，把，代入求出完整解析式即可； （2）依据利润每盆花的利润销售量列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：（1）根据销售单价从小到大对应排列得下表： 售价元/盆 18 20 22 26 30 日销售量盆 54 50 46 38 30 观察表格可知销售量是售价的一次函数； 设销售量为盆，售价为元， 日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式为， 把，代入得， 解得， 日销售量（盆与售价（元盆）间的关系式； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， 小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为30元时，每天能够获得利润450元． 25. 如图，在矩形中，，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接 （1）若，求的长； （2）若，求的值； （3）过点作且，连接交射线于点，若为等腰三角形，求此时的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解本题的关键． （1）证明，得出，则可得出答案； （2）过点作于，则，证明，得出，证出，则可得出答案； （3）分三种情况，由等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，，， ， ； 【小问3详解】 解： ①当时，则， ， ， ， 又， ， ， ； ②当时，过作交延长线于，交延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得（舍去负值）， 经检验，是原方程的解； ； ③当时，不存在的情况， 综上所述，当或时，为等腰三角形． 26. 在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象相交于，两点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，连接． （1）求和的值； （2）如图，当点在点的左侧时，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，连接，求证：把分成面积相等的两部分； （3）“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助反比例函数给出了一种“三等分锐角”的方法：在（）中，将直线绕点旋转，当线段满足某一等量关系时，即可使得．设为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点的坐标．（小贴士：） 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线和直线的交点横坐标，再求出的中点坐标即可求证； （）由题意得，设，可得，，即得，进而可得，过作轴，再利用三角函数解得即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，三角函数，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：将代入得，， ， 将点代入反比例函数中，得， ∴； 【小问2详解】 证明：由（）知， 反比例函数表达式为， 令， 整理得，， 解得，， ， ， 设直线表达式为，则， 解得， 直线表达式为， 联立直线和直线得，， ， 解得， ，， 的中点横坐标为， 和交点为中点， 把分成面积相等的两部分； 【小问3详解】 解：如图，中，，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 如图，过作轴，则， 设， ，， ， ， ， ， ； 同理可得； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四川省成都市双流区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解是（ ） A B. C. D. 2. 如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，表示y是x反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由6个完全一样的正方体组合而成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，若的周长是4，那么的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 36 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 已知关于x一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程：______． 10. 如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为______． 11. 如图，在中，D为边上一点，，，，则的长为______． 12. 对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是______． 13. 如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则的长为______． 14. 已知，则的值为______． 15. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是______． 16. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为______． 17 如图，把正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．那么___________． 18. 已知双曲线和的图象如图所示，直线与双曲线交于点，将直线向上平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 小明和小刚玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小明说“木棒”，小刚说“老虎”，则小明胜；又如，两人同时说“公鸡”，则为平局；再如，一人说“小虫”，一人说“老虎”，则为平局． （1）每一次小明说出“老虎”的概率是______； （2）如果用A，B，C，D分别表示小明说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小明获胜的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以说明． 21. 在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？ 22. 如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于和两点． （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 23. 如图，平分，B，C分别在射线上，连接，有，平分交于点D，点E在线段上，且，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）若，，求的长． 24. 小明妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小明帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表： A B C D E 售价（元/盆） 20 30 18 22 26 日销售量(盆) 50 30 54 46 38 （1）请根据以上数据，求出日销售量(盆)与售价（元/盆）间的关系式； （2）根据以上信息，小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定多少时，每天能够获得利润450元？ 25. 如图，在矩形中，，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接 （1）若，求的长； （2）若，求的值； （3）过点作且，连接交射线于点，若为等腰三角形，求此时的长． 26. 在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象相交于，两点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，连接． （1）求和的值； （2）如图，当点在点的左侧时，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，连接，求证：把分成面积相等的两部分； （3）“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助反比例函数给出了一种“三等分锐角”的方法：在（）中，将直线绕点旋转，当线段满足某一等量关系时，即可使得．设为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点的坐标．（小贴士：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$