精品解析：江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一下学期教学质量调研（一）（3月）数学试题

2024—2025学年度高一年级第二学期教学质量调研（一） 数学试题 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，若，则实数值为（ ） A B. 3 C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为上一点，且，则实数值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 7. 已知，则（ ） A B. C. D. 8. 在中，，则（ ） A. 9 B. C. 6 D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 已知向量满足条件，则等边三角形 C. 在中，若，则为直角三角形 D. 在中，若，则为等腰三角形 10. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为__________. 13. 若，则__________. 14 已知，则__________. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 已知向量. （1）若与共线，，求的值； （2）设函数，求的值域. 18. 在等腰梯形中，为线段中点，与交于点. （1）求的值； （2）求的余弦值； （3）求与的面积之比. 19. 在中，为钝角，，点为所在平面内一点，满足，，线段交线段于点. （1）若，求； （2）在（1）的条件下，求的取值范围； （3）设，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高一年级第二学期教学质量调研（一） 数学试题 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算求解参数. 【详解】因为， 又因为，所以 则实数. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式化简即得结果. 【详解】因为，所以， 因此 故选：A 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解． 【详解】因，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 4. 在中，为上一点，且，则实数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值. 【详解】 ， 因此， 因为三点共线，所以，， 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正用、逆用两角和正弦公式进行求解即可. 【详解】即变形得：. 故选：C 6. 在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系. 已知，则；因为，，，所以， 又因为，可得，即， 解得（舍去，因为在直角梯形中），所以，. 因为点为的中点，所以；点为的中点，可得，即.  所以，.  可得：.  故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将切化弦，后用二倍角公式代入展开，解得，再根据平方关系结合的范围解得，最后将所求式子用和角公式展开并代值计算即可. 【详解】 从而 故选：D 8. 在中，，则（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得出点是的三等分点，再用分别表示出，即可计算出． 【详解】因为，所以点是的三等分点， 所以，则， 又， 所以， 故选：A． 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 已知向量满足条件，则为等边三角形 C. 在中，若，则为直角三角形 D. 在中，若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量数量积的定义即可判断A；设，由及向量数量积的运算律得出，，，即可判断B；由向量数量积的定义及运算律即可判断C；由平面向量的线性运算及数量积的几何含义即可判断D． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设 由得，， 所以，即， 所以， 又，所以， 同理可得，， 所以为等边三角形，故B正确； 对于C，由，得， 展开整理得，即，故C正确； 对于D，设，则射线是的平分线， 又，所以， 所以为等腰三角形，故D正确； 故选：BCD． 10. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项利用诱导公式将化为，化为，式子呈现两角和余弦公式形式，进而得出，算出结果.对于B选项先由平方差公式展开，再依据平方关系和二倍角公式，对比结果判断对错.对于C选项分子分母同除，结合，变形为两角和正切公式形式，求出值.对于D选项先将化为，通分后用二倍角公式，再把化为展开化简得结果. 【详解】根据诱导公式可得，. 则. 可得. 因，所以选项正确. 可得. 则.可得. 所以，选项错误.  分子分母同时除以， 可得. 因为，所以. 可得，C选项正确.  . 可得. 则. 可得. 所以，选项正确. 故选：ACD. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由两角和与差的余弦和正切以及同角的三角函数关系逐项判断即可. 【详解】由题意可得，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误； 故选：BC 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据投影向量求出数量积，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 又向量在向量上的投影向量为，所以，， ， ，. 故答案为： 13. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先将用表示，再根据诱导公式以及二倍角余弦公式求得结果. 【详解】因为 故答案为：. 14. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由得到，由两角和差余弦公式展开化简即可求解； 【详解】由， 得：， ， ， 所以， 故答案为： 四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用平方法求；（2）根据，且与不能同向共线，即可得出结果 【小问1详解】 ，， 又， ，， . 【小问2详解】 与的夹角为锐角， ，， ，，，，，. 又与不共线，，， 且. 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式得出齐次式，求解即可； （2）由两角差的正切公式求得，再根据两角和与差的正弦余弦公式将化为齐次式，代入求解即可． 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 因为， 所以． 17 已知向量. （1）若与共线，，求的值； （2）设函数，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果； （2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域. 【小问1详解】 与共线 即 【小问2详解】 所以当时单调递增，当时单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减 又 所以函数的值域为 18. 在等腰梯形中，为线段中点，与交于点. （1）求的值； （2）求的余弦值； （3）求与的面积之比. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基底表示即可； （2）先用模长公式求出和，再利用向量夹角公式求解； （3）设，再利用基底表示，再利用三点共线得出系数和为1，即可求出，进而求出，将面积之比转化为线段之比即可. 【小问1详解】 取线段的中点，连接， 因，则四边形为边长为2的菱形， 又，则为等边三角形. 则 【小问2详解】 ， 所以. 【小问3详解】 设，因为为线段的中点，所以 因为三点共线，所以即 因为，所以， 又因为，所以 因为，所以 19. 在中，为钝角，，点为所在平面内一点，满足，，线段交线段于点. （1）若，求； （2）在（1）的条件下，求的取值范围； （3）设，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围. （3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【小问1详解】 因为， 同理所以为的外心，， 因为，，所以. 【小问2详解】 设， . 因为，所以. 【小问3详解】 设，，，， 两边同时平方得，，， 令，， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $