精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一下学期3月质量调研数学试题

华师大二附中高一数学3月质量调研 2025.03.21 （考试时间120分钟 满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若 是第四象限角，则是第________象限角. 【答案】三 【解析】 【分析】利用坐标轴依次找到角 、、的终边即可. 【详解】在坐标系中标出角 的终边，关于 轴对称得到角，再逆时针旋转 得到的终边在第三象限. 故答案为：三 2. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为______. 【答案】1 【解析】 【分析】运用扇形的弧长、面积公式计算即可. 【详解】设扇形的圆心角为 ，半径为 ， 所以，解得， 即这个扇形圆心角弧度数为. 故答案为：1. 3. 在上满足的 的取值范围是_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数图像数形结合去求 的取值范围 【详解】在同一坐标系内作出上和的图像， 则在上满足的 的取值范围是 故答案为： 4. 已知，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由角的取值范围，根据诱导公式与同角三角函数的平方式，可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：. 5. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】，分子分母同时除以，代入计算. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的基本关系的化简求值，属于基础题. 6. 已知，且x为第三象限的角，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件求得，再结合正切二倍角公式即可求解. 【详解】因为，且x为第三象限的角， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 7. 函数的图象的对称中心的坐标是___________. 【答案】， 【解析】 【分析】方法一：根据正弦函数的性质，利用图象变换方法；方法二：根据正弦函数的性质，利用整体代入方法求解. 【详解】方法一：图象变换法： 函数的对称中心是形如的点，其中 为整数. 变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、 向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的. 对称中心的变换： 横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为 向左平移个单位后，横坐标变为 . 向上平移1个单位后，纵坐标变为1. 函数 的图像的对称中心的坐标为：,. 方法二：利用正弦函数的性质直接求解法: 求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，解得 ,纵坐标恒为1. 最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,. 故答案为：,. 8. 已知函数，的部分图象如图所示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象得到函数周期，进而得到的值，再结合特殊点函数值求得答案. 【详解】由题意得，函数周期为，所以， 所以，由， 得，即， 又因为，所以，所以. 故答案为： 9. 设函数在区间上恰有三个最值点，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用最值点的个数列出不等式求解. 【详解】当时，，由函数在区间上恰有三个最值点， 得三个最值点分别为，因此，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 10. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为 ， ， ，若，则正实数 的值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出 点横坐标，再代入计算即可. 【详解】作出函数，的大致图象，如图，令，， 解得，， 则函数的图象与直线连续的三个公共点 ， ， ，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度） 即 ， 关于直线，对称，， 由于，故， 而 ， 关于直线，对称， 故 点横坐标为， 将 点横坐标代入，得． 故答案为：. 11. 表示不超过 的最大整数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据取整函数，结合正弦函数的性质，确定的可能取值和对应角 的范围，先考虑正弦函数一个周期上的取值情况，再推广到所求式的范围计算即得. 【详解】根据正弦函数的性质可知， 当，时，； 当，时，；当，时，； 因为在中， 使的角有共个， 使的角有1个，其和为，又， 而在中满足的角有9个，使的角有1个， 故所求式的值为. 故答案为：. 12. 在 中，若，则角 的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知均为锐角，则分类讨论，若 均为钝角，不妨设，则与矛盾，若 均为锐角，则利用以及基本不等式可得. 【详解】，则均为锐角， 若，不妨设，则，则， 即，从而，与矛盾， 所以，由得， 所以， 又因为， 则， 所以，，，所以. 故答案为：. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列命题中，假命题是（ ） A. 存在这样的 、 值，使得 B. 不存在无穷多的 、 值，使得 C. 对于任意的 、 值，都有 D. 不存在 、 值，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式进行逐项分析并判断真假. 【详解】A．当时，显然成立，故正确； B．当时，， 所以成立，所以存在无穷多的 、 值满足条件，故错误； 因为对于任意角 、 都满足，所以可判断CD均正确； 故选：B. 14. 已知 的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 若，则 一定是等边三角形 B. 若，则 一定是等腰三角形 C. 若，则 一定是等腰三角形 D. 若，则 一定是锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB，举特例判断C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D． 【详解】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确； 若，由正弦定理得，即， ，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错； 例如，，，满足，但此时 不是等腰三角形，C错； 时，由余弦定理可得，即 为锐角，但 是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错． 故选：A． 【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B，在由得结论时不能直接得出，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点． 15. 已知 ，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为 ，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的单调性，取特殊值排除选项. 【详解】取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，最大值为，故A正确； 取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，故B正确； 取时，则，，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，函数在上单调递增，，最大值为，故C正确； 所以不可能发生的是D. 故选：D. 16. 已知 、 、 为三角形的三个内角，则“”是“角 为直角”的（ ）条件 A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断可得答案. 【详解】当时，由得，， 令，则，， 根据零点存在性定理可知，关于 的连续函数在上有零点， ∴，满足条件，但角 不是直角， ∴由不能得到角 为直角. 当角 为直角时，，， ∴， ∴由角 为直角能得到. ∴“”是“角 为直角”的必要不充分条件. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知函数 （1）求的最小正周期， （2）将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对化简可得，然后利用周期公式可求出的最小正周期； （2）利用三角函数图像变换规律可得，由求出的范围，从而可求出的值域 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期. （2）由题意知， 因为， 所以， 所以， 即在上的值域为. 18. 在 中，角的对边分别为. （1）若，求角 的大小； （2）若 边上的高等于，求的最大值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到，从而将转化为关于角 的表达式，进而得解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又，则，所以， 因为，所以或. 【小问2详解】 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理，得， 从而有， 所以. 当，即时，有最大值， 即的最大值为. 19. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图． （1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角 不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形 ，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由． （2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点 、 分别在射线、上，点 在线段 上），尝试用 表示冰箱高度 的长，并求出 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到） 【答案】（1）冰箱能够按要求运送入客户家中，理由如下： 过A，D作水平线，作如图， 当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离） ， 故冰箱能够按要求运送入客户家中． （2）最小值为米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为米. 【解析】 【分析】（1）过A，D作水平线，作，由可得； （2）延长 与直角走廊的边相交于 、 ，由表示出 ，设进行换元，利用单调性即可求解. 【小问1详解】 冰箱能够按要求运送入客户家中，理由略 【小问2详解】 延长 与直角走廊的边相交于 、 ， 则，，， 又， 则，． 设， 因为，所以，所以， 则 ， 再令，则， 易知，在上单调递增， 所以单调递减， 故当，即，时，取得最小值. 由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米． 20. 已知函数. （1）若，试求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围； （3）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，.设，记且，试求中所有元素之和. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式结合同角三角函数的基本关系计算可得结果. （2）利用辅助角公式化简函数解析式，结合函数的单调性可求的取值范围. （3）求出函数解析式，画出函数图象，问题转化为直线与图象交点横坐标的和，讨论 的范围，结合图象的对称性可得结果. 【小问1详解】 由题意得，， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴，故在上为减函数，在上为增函数， 当 时，在上为减函数，不合题意. 当 时，，其中，. 由得，. ∵函数在区间上是增函数， ∴，即，故， ∴，故. 【小问3详解】 当时，. ∵的图象关于直线对称， ∴当时，，. 记中所有元素之和为 . 由得，，根据对称性得， 根据，作出在上的图象， 当时，直线与函数的图象有两个交点，这两个交点关于直线对称，故. 当时，直线与函数的图象有三个交点，其中一个交点横坐标为，其余两点关于直线对称，故. 当时，直线与函数的图象有四个交点，此时有两对关于直线对称的点，故. 当时，直线与函数的图象有两个交点，这两个交点关于直线对称，故. 综上得，当或时，；当时，；当时，. 21. 已知，，是同一平面内三条互不重合自上而下的平行直线. （1）如果与之间的距离为1，与之间的距离也是1，则可以把一个正三角形 的三个顶点分别放在，，上，求这个正三角形的边长. （2）如图，如果与之间的距离为1，与之间的距离为2，能否把一个正三角形 的三个顶点分别放在，，上？如果可行，求出 与夹角的正切值，并求该正三角形的边长；如果不能，说明为什么. （3）如果边长为2的正三角形的三个顶点分别在，，上，设与之间的距离为，与之间的距离为，求的取值范围. 【答案】（1）2 （2）可以，正切值为，正三角形的边长为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题设条件可得经过 的中点 ，且，即可求得边长； （2）设正三角形 的边长为， 与的夹角为 ，则得，，消去，即可求得，进而得，即可求出； （3）根据（2）写出的表达式，利用三角恒等变形，将其化成正弦型函数，利用正弦函数的图象性质即可求得其范围. 【小问1详解】 如图，因为 、 到直线的距离都等于1，所以过边 的中点 ， 所以，此时边长； 【小问2详解】 假设能，设正三角形 的边长为， 与的夹角为 ， 由对称性，不妨设；所以，， 则得，即，整理得， 则有， 故正三角形的边长为； 【小问3详解】 由（2）分析可得 ， 因为，所以， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华师大二附中高一数学3月质量调研 2025.03.21 （考试时间120分钟 满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若 是第四象限角，则是第________象限角. 2. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为______. 3. 在上满足的 的取值范围是_________________. 4. 已知，，则_________. 5. 已知，则__________. 6. 已知，且x为第三象限的角，则________． 7. 函数的图象的对称中心的坐标是___________. 8. 已知函数，的部分图象如图所示，则________． 9. 设函数在区间上恰有三个最值点，则 的取值范围为_________. 10. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为 ， ， ，若，则正实数的值为______. 11. 表示不超过 的最大整数，则_________. 12. 在 中，若，则角 的取值范围是_________. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列命题中，假命题是（ ） A. 存在这样的 、 值，使得 B. 不存在无穷多的 、 值，使得 C. 对于任意的 、 值，都有 D. 不存在 、 值，使得 14. 已知 的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 若，则 一定是等边三角形 B. 若，则 一定是等腰三角形 C. 若，则 一定是等腰三角形 D. 若，则 一定是锐角三角形 15. 已知 ，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当 变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A. B. C. D. 16. 已知 、 、 为三角形的三个内角，则“”是“角 为直角”的（ ）条件 A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知函数 （1）求的最小正周期， （2）将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域. 18. 在 中，角的对边分别为. （1）若，求角 的大小； （2）若 边上的高等于，求的最大值. 19. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图． （1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角 不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形 ，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由． （2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点 、 分别在射线、上，点 在线段 上），尝试用 表示冰箱高度 的长，并求出 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到） 20. 已知函数. （1）若，试求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数 的取值范围； （3）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，.设，记且，试求中所有元素之和. 21. 已知，，是同一平面内三条互不重合自上而下的平行直线. （1）如果与之间的距离为1，与之间的距离也是1，则可以把一个正三角形 的三个顶点分别放在，，上，求这个正三角形的边长. （2）如图，如果与之间的距离为1，与之间的距离为2，能否把一个正三角形 的三个顶点分别放在，，上？如果可行，求出 与夹角的正切值，并求该正三角形的边长；如果不能，说明为什么. （3）如果边长为2的正三角形的三个顶点分别在，，上，设与之间的距离为，与之间的距离为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $