精品解析：山西省晋中市榆次区山西现代双语学校南校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二年级2024-2025学年第二学期3月考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设为等比数列{}的前n项和,,则＝ A. 10 B. 9 C. -8 D. -5 2. 数列，，，，…的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在处导数为，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，为其前项和，若，，则（ ） A. 30 B. 52 C. 72 D. 80 5. 若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 7. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.这个新数列的各项之和为（ ） A. 1470 B. 1472 C. 1882 D. 1642 8. 已知是的导函数，且，则的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（ ） A. B. 的公比为2 C. D. 10. 等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 时n最小值为8 D. 当时最小 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，则（ ） A. B. C. 此数列的前项和为 D. 数列的前60项和为930 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为________. 13. 在数列中，已知，，记数列的前项之积为，若，则的值为________. 14. 网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E､F､G､H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M､N､P､Q，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是___________. ①正方形的面积为 ② ③使不等式成立的正整数的最大值为4 ④数列的前项和 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求经过点的曲线的切线方程． 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 17. 已知数列的前项和为，，． （1）求数列通项公式 （2）设，记数列的前项和为，证明． 18. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）讨论的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级2024-2025学年第二学期3月考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设为等比数列{}的前n项和,,则＝ A. 10 B. 9 C. -8 D. -5 【答案】A 【解析】 【详解】由,得,故. 故选：A 2. 数列，，，，…的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将原数列变形，再分别观察分子、分母的规律即可求解. 【详解】将数列，，，，…变为，，，，…，从而可知分子的规律为，分母的规律为，再结合正负的调节，可知其通项为. 故选：D 3. 若函数在处导数为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可直接求解. 【详解】 , 故选：D. 4. 在等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ） A. 30 B. 52 C. 72 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式求出首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 则，即，解得， . 故选：C. 5. 若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果. 【详解】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 6. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 7. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.这个新数列的各项之和为（ ） A. 1470 B. 1472 C. 1882 D. 1642 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可. 【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为， 故选：B 8. 已知是导函数，且，则的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据设，分析的取值，结合函数图象可确定答案. 【详解】设， A.当，，时，， 函数为开口向下的二次函数，对称轴为轴，满足要求，A正确； B.∵时，，时，，∴. 由图象得，为开口向上的二次函数，即， 由得，故，对称轴为轴，不合要求，B错误； C.由图象可得为奇函数，且，故， ∴， 当时，恒成立，在上单调递增，满足要求，C正确； D.∵时，，∴， 由，得，， 由图象得，，的极小值点为，极大值点大于，即，故. 由得，，由得，或， ∴在上单调递增，在和上单调递减，满足要求，D正确. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（ ） A. B. 的公比为2 C. D. 【答案】BC 【解析】 分析】令求出，由分别求出，由等比性质求出，进而求出和，结合等比通项公式可求. 【详解】因为，所以． 因为是等比数列，所以，即，解得，则错误； 的公比，则B正确； 因为，所以，则C正确； 因为，所以，所以，则D错误． 故选：BC 10. 等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 时n的最小值为8 D. 当时最小 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列性质、通项公式和求和公式逐项判断即可； 【详解】对A，设公差为d，因为等差数列是递增数列，则，故A正确； 对B，因为，则，即，故B正确； 对D，，则对称轴为，开口向上，所以当或4时，取得最小值，故D错误； 对C，由，即0，即，解得（舍去）或，所以时，n的最小值为8，故C正确． 故选：ABC 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，则（ ） A. B. C. 此数列的前项和为 D. 数列的前60项和为930 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，,当时，,联立可得，利用累加法可得，从而可求出数列的通项公式，利用通项公式逐项判断即可得. 详解】令且， 当时，①； 当时，②， 由①②联立得， 所以， 累加可得， 令(且为奇数)，得， 当时满足上式， 所以当为奇数时，， 当为奇数时，， 所以，其中为偶数， 所以， 所以，故A正确， ，故B正确； 由， 而，故此数列的前项和不为，故C错误； 因为， 所以的前2n项和 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用题中所给递推式，分奇偶讨论结合累加法求得数列通项公式，后续求和亦需分奇偶进行讨论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数大于0求解的范围即可. 【详解】由， 得， 令得，. 所以的单调递增区间为. 故答案为： 13. 在数列中，已知，，记数列的前项之积为，若，则的值为________. 【答案】2022 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式即可计算作答. 【详解】因，， 显然，则有， 而，有，则， ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列， ∴，即， ∴， 当时，， 所以n的值为2022. 故答案为：2022 14. 网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E､F､G､H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M､N､P､Q，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是___________. ①正方形的面积为 ② ③使不等式成立的正整数的最大值为4 ④数列的前项和 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据题意得到数列是以4为首项，为公比等比数列，进而求出的通项公式，再根据得到，得到的通项公式，最后验证四个选项得到答案. 【详解】由题意可得，，，，，则，则数列是以4为首项，为公比的等比数列，即， 由题意可得，即，，，，则， 对于①，正方形的面积，所以①不正确； 对于②，由上述分析可得②正确； 对于③，由，则数列是单调递减数列，由于，，，，，则使不等式成立的正整数的最大值为4，故③正确； 对于④，数列的前项和，故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】方法点睛，解决新定义题的关键是读懂材料，将题意与已学过知识进行结合. 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求经过点的曲线的切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）切点为，可得，根据导数的几何意义求出在点处的切线方程，再根据切线过点求出切点，即可得解. 【小问1详解】 函数的导数为， 可得曲线在点处的切线斜率为1，切点为， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 设切点为，可得， 由的导数，可得切线的斜率为， 切线的方程为， 由切线经过点，可得， 化为，解得或1， ， 则切线的方程为或， 即或． 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 17. 已知数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式 （2）设，记数列的前项和为，证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和，即可证明． 【小问1详解】 由， 当时，则， 可得，则； 当时，则，可得； 综上所述：可得，可知是首项为，公比为的等比数列， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 可得． 所以． 18. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. 【小问2详解】 因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导求得曲线在点处的切线方程为，由已知可得，求解即可； （2）求导得，对分类讨论可求得的单调性. 【小问1详解】 因为，所以. 由， 得曲线在点处的切线方程为， 即，则，解得， 【小问2详解】 . 若，则当时，，当时，. 若，则当时，， 当时，. 若，则在上恒成立. 若，则当时，，当时，. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$