精品解析：山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高二下学期第三次质量检测（3月）数学试题

2023级高二第三次质量检测数学试题 第I卷（选择题） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 3. 若从这个整数中取个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 5. 从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件为“相邻的2个格子颜色不同”，事件为“3个格子的颜色均不相同”，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 24 7. 若为正奇数，则被9除所得的余数是(　　) A. 0 B. 2 C. 7 D. 8 8. 设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（ ） A. 16 B. 25 C. 32 D. 41 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项.符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是（ ） A. 曲线与x轴之间面积为1 B. 曲线在处达到峰值 C. 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 D. 当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖” 10. 袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（ ） A. 抽取次后停止取球的概率为 B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 C. 取球次数的期望为 D. 取球次数的方差为 11. 某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或者②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败．已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为p（0＜p＜1），投进区域③的概率是投进区域①的概率的4倍，每次投实心球的结果相互独立．记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为P1，第四次投完实心球后恰好胜利的概率为P2，则（ ） A. B. C. D. 若，则p的取值范围为 第II卷 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，含项的系数为______. 13 已知随机变量，若，则______． 14. 在一个密闭的箱子中，一共有20个大小､质量､体积等完全相同的20个小球，其中有n个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取5个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为，则当___________时，取得最大值. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： （1）排成前后两排，前排3人，后排4人； （2）全体排成一排，男生互不相邻； （3）全体排成一排，甲､乙两人中间恰好有3人. 16. 已知 （1）若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数； （2）若，且，求. 17. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有（，且）个，其余的球为红球，从袋里任意取出2个球，这两个球的颜色相同的概率是. （1）求红球的个数； （2）若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望. 18. 为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为． （1）求甲队第二场比赛获胜的概率； （2）用表示比赛结束时比赛场数，求的期望； （3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率． 19. 2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，各地各校积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能.某中学初三年级对全体男生进行了立定跳远测试，计分规则如下表： 立定跳远（厘米） 得分 3.5 4 4.5 5 5.5 6 该年级组为了了解学生体质，随机抽取了100名男生立定跳远的成绩，得到如下频率分布直方图. （1）现从这100名男生中，任意抽取2人，求两人得分之和不大于7.5分的概率（结果用最简分数表示）； （2）若该校初三年级所有男生的立定跳远成绩服从正态分布.现在全年级所有初三男生中任取3人，记立定跳远成绩在215厘米以上（含215厘米）的人数为5，求随机变量5的分布列和数学期望； （3）若本市25000名初三男生在某次测试中的立定跳远成绩服从正态分布.考生甲得知他的实际成绩为223厘米，而考生乙告诉考生甲：“这次测试平均成绩为210厘米，218厘米以上共有570人”，请结合统计学知识帮助考生甲辨别考生乙信息的真伪. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二第三次质量检测数学试题 第I卷（选择题） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，抽到正品数服从超几何分布，结合超几何分布的期望公式，即可求解. 【详解】由题意，有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品， 则抽到正品数服从超几何分布， 所以抽到的正品数的数学期望值是. 故选：B. 2. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质得到方程求解. 【详解】因为已知，由组合数的性质得到或， 解得或. 故选：D. 3. 若从这个整数中取个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】将和为奇数分为两类情况：个奇数，个偶数或个偶数，个奇数；利用组合数公式计算可得每种情况对应的数量，由分类加法计数原理可得结果. 【详解】中，共有个奇数，个偶数， 若个不同的数之和为奇数，则有个奇数，个偶数或个偶数，个奇数； 若个奇数，个偶数，则有种取法； 若个偶数，个奇数，则有种取法； 不同的取法共有：种. 故选：A. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可. 【详解】的展开式中的系数是 因为且，所以， 所以， 以此类推，. 故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算作用. 5. 从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件为“相邻的2个格子颜色不同”，事件为“3个格子的颜色均不相同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出用4种颜色涂3个格子的试验的所有样本点个数，并求出事件A，B所含样本点个数，再依据概率公式计算即得. 【详解】用4种颜色涂图示中3个格子的试验的所有样本点有个，它们等可能， 相邻的2个格子颜色不同时，可先涂中间格子有4种方法，再涂两边的格子各有3种方法，由分步乘法计数原理得事件A所含样本点有个， 3个格子的颜色均不相同时，相当于4种颜色占三个不同位置有种方法，即得事件B所含样本点有个， 于是得，， 所以. 故选：B 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理计算展开式中的系数即可. 【详解】原式，因展开式中没有项， 展开式中项为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A 7. 若为正奇数，则被9除所得的余数是(　　) A. 0 B. 2 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 分析】根据二项式定理可得，利用二项展开即可求解. 【详解】原式 ， 为正奇数，，则余数为7. 故选:C. 8. 设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（ ） A. 16 B. 25 C. 32 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可知当时，此时有或.由“交替”的排列的概念可得，当时，或，分别求解即可得到当时，或时，有8种方法.同理可求得当，或，此时也有8种方法.然后得出时，或时“交替”的排列数目，相加即可得出结果. 【详解】由已知可得，，. （ⅰ）当时，，可推出，，， 此时有或. ①当时，由已知可得或 当，时，此时必有，排列可以是或两种； 当时，时，此时可选择1，2，3中的任意排列，共中排列. 综上所述，共有8种方法； ②同理可得当，可得或，也有8种方法. 综上所述，当时，“交替”的排列的数目是16； （ⅱ）当时，，可推出，，， 此时有或. ①当时，由已知可得或 当，时，此时必有，排列可以是或两种； 当时，时，此时可选择3，4，5中的任意排列，共中排列. 综上所述，共有8种方法； ②同理可得当，可得或，此时也有8种方法. 综上所述，当时，“交替”的排列的数目是16. 所以，“交替”的排列的数目是32. 故选：C. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项.符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是（ ） A. 曲线与x轴之间的面积为1 B. 曲线在处达到峰值 C. 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 D. 当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖” 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布的性质结合解析式依次判断即可得出. 【详解】由正态分布密度函数的解析式可知曲线与x轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，故A正确； ，，当且仅当时取等号，∴曲线在处达到峰值，故B正确； 其图像关于直线对称，且当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，故C正确； 当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，故D错误.. 故选：ABC. 10. 袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（ ） A. 抽取次后停止取球的概率为 B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 C. 取球次数的期望为 D. 取球次数的方差为 【答案】BD 【解析】 【分析】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可判断出A选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为，可判断出B选项的正误，利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量的期望和方差，可判断C、D选项的正误，综合可得出结论. 【详解】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、， 则，，. 对于A选项，抽取次后停止取球的概率为，A选项错误； 对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B选项正确； 对于C选项，取球次数的期望为，C选项错误； 对于D选项，取球次数的方差为，D选项正确. 故选：BD. 11. 某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或者②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败．已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为p（0＜p＜1），投进区域③的概率是投进区域①的概率的4倍，每次投实心球的结果相互独立．记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为P1，第四次投完实心球后恰好胜利的概率为P2，则（ ） A. B. C. D. 若，则p的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对四个选项一一判断： 对于A：利用概率的范围直接判断；对于B：利用概率的乘法直接求解；对于C：根据游戏规则利用概率乘法直接求解；对于D：分别表示出，列不等式求出p的取值范围. 【详解】对于A：小张同学投进区域③的概率为4p，投进区域④的概率为1－6p，故，正确； 对于B：小张同学第二次投完实心球后，恰好游戏过关包含“第一次未投中区域①或者②，第二次投中区域①或者②”和“第一次与第二次均投中区域③”两个事件，则概率，错误； 对于C：第四次投完实心球后，恰好游戏胜利，则游戏胜利需前三次投完后有一次投进区域③且有两次投进区域④，因此，正确； 对于D：，令2p(12p－1)(18p－5)＞0，得或，又，所以，错误． 故选：AC． 第II卷 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，含项的系数为______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用组合数计算项的系数即可. 【详解】由题意，项的系数为. 故答案为：15. 13. 已知随机变量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程求得，再由概率公式计算． 【详解】因为，所以，解得或（舍去），所以． 故答案为：． 14. 在一个密闭的箱子中，一共有20个大小､质量､体积等完全相同的20个小球，其中有n个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取5个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为，则当___________时，取得最大值. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意：，当最大时取得最大值时，设，当时，，当，，所以最大，因此，当时，取得最大值. 【详解】根据题意：，取得最大值， 也即是取最大，所以，设， 则 当时，，当，， 所以最大，因此，当时，取得最大值. 故答案为：8 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： （1）排成前后两排，前排3人，后排4人； （2）全体排成一排，男生互不相邻； （3）全体排成一排，甲､乙两人中间恰好有3人. 【答案】（1）种；（2）种；（3）种. 【解析】 【分析】（1）直接全排列求解即可； （2）利用插空法求解即可； （3）首先排甲，乙有种方法，中间放入三人有种方法，再与其他人全排列即可. 【详解】（1）种方法. （2）先排女生有种，再将男生插空有种，故共有种方法. （3）将甲，乙及中间三人看作一个整体，先排甲，乙有种方法， 再排中间三人有种方法，最后将他们看作一个整体与剩下的2人全排列， 有种方法，故共有种方法. 16. 已知 （1）若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数； （2）若，且，求. 【答案】（1）594 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，然后可求的系数； （2）根据展开式系数特点判定系数正负去掉绝对值，然后给赋值就可求出和. 【小问1详解】 由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则，所以当时，故展开式中的系数为594； 【小问2详解】 若，由可知当为奇数时，即的奇次项系数为正，当为偶数时，即的偶次项系数为负，所以，又，故. 17. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有（，且）个，其余的球为红球，从袋里任意取出2个球，这两个球的颜色相同的概率是. （1）求红球个数； （2）若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望. 【答案】（1）3个 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据两个球的颜色相同的概率是列方程，求解即可； （2）根据求分布列的基本步骤以及期望公式求解即可. 【小问1详解】 设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件， 则 整理得：， 解得（舍）或. 所以，红球个数为3个. 【小问2详解】 的取值为，，，，， ， ，，. 所以的分布列为 2 3 4 5 6 . 18. 为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为． （1）求甲队第二场比赛获胜的概率； （2）用表示比赛结束时比赛场数，求的期望； （3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3． 根据对立事件的概率公式即可求解； （2）由题意知的可能取值为2，3，结合对立事件和独立事件的概率公式和数学期望的计算公式即可求解； （3）根据对立事件、独立事件的概率公式和条件概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3． 由全概率公式． 【小问2详解】 的可能取值为2，3． 由题意知，由（1）知， 则，， ， ，． 【小问3详解】 ，此时， ． 19. 2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，各地各校积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能.某中学初三年级对全体男生进行了立定跳远测试，计分规则如下表： 立定跳远（厘米） 得分 3.5 4 4.5 5 5.5 6 该年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名男生立定跳远的成绩，得到如下频率分布直方图. （1）现从这100名男生中，任意抽取2人，求两人得分之和不大于7.5分的概率（结果用最简分数表示）； （2）若该校初三年级所有男生的立定跳远成绩服从正态分布.现在全年级所有初三男生中任取3人，记立定跳远成绩在215厘米以上（含215厘米）的人数为5，求随机变量5的分布列和数学期望； （3）若本市25000名初三男生在某次测试中的立定跳远成绩服从正态分布.考生甲得知他的实际成绩为223厘米，而考生乙告诉考生甲：“这次测试平均成绩为210厘米，218厘米以上共有570人”，请结合统计学知识帮助考生甲辨别考生乙信息的真伪. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由表中的数据可知，两人得分之和不大于7.5分有两种情况：两人得分均为3.5分，或两人中1人3.5分，1人4分，然后根据频率分布直方图可求出两人得分之和不大于7.5分，得3.5分和得4分的人数，从而可求出概率； （2）由于服从正态分布，所以，从而可得，然后利用二项分布的概率公式可求出分布列； （3）假设考生乙所说为真，则，然后经过判断求解可得，从而可得，进而判断出为小概率事件，所以可得甲223厘米不可能发生，产生矛盾 【详解】（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，两人得分之和不大于7.5分，即两人得分均为3.5分，或两人中1人3.5分，1人4分，由题意知：得3.5分的分数为6人，得4分的人数为9人， 所以两人得分之和不大于7.5分的概率为：. （2）依题意，得 ∴，∴ ∴， ， ∴的分布列为： 0 1 2 3 （3）假设考生乙所说为真，则， ， 而，所以， 从而， 而， 所以为小概率事件，即甲同学的成绩为223厘米是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$