精品解析：山西省晋中市榆次区山西现代双语学校南校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度高一年级下学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：必修二第六章. 5．难度系数：0.8. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求. 1. 化简所得的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 在中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 无法确定 5. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（ ） A 已知梯形，其中=，= B. 且 C. 存在相异实数，使 D (其中实数满足) 10. 已知向量，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若与的夹角是，则 D. 若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是 11. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则（ ） A. B. 实数的值为 C. D. 若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，则与方向相同的单位向量是______. 13. 已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为__________. 14. 已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 设向量、满足，，，分别求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 18. 已知向量，，函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象. （1）求函数的解析式； （2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求周长的最大值. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一年级下学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：必修二第六章. 5．难度系数：0.8. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求. 1. 化简所得的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加减法的几何意义可得. 【详解】. 故选：B. 2. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量坐标运算和向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由，，，得，， 又，所以，解得. 故选：A. 3. 在中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可. 【详解】 在中，为的中点，为的中点， 故选：B. 4. 在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】应用正弦定理判断满足条件的三角形个数即可. 【详解】． 满足条件的三角形有2个． 故选：B. 5. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法1，由，得，化简后结合数量积的定义可求得结果；解法2，由已知条件可得，，，则，，从而可求得结果. 【详解】解法1：因为，，， 所以， 所以， 因为，所以. 解法2：由，，，， 可知， 令，，则，， ， 因为， 所以 故选：D 6. 在中，角，，对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理有，即，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理有：， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形. 故选：C. 7. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 8. 已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设，，.从而得到等边三角形,进一步可得的轨迹是两段圆弧,画出示意图可知当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，从而可解. 【详解】向量,向量均单位向量， ,. 如图，设.则是等边三角形. 向量满足与的夹角为, . 因为点在外且为定值, 所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB所对的圆周角. 因此：当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|, 在中,由正弦定理可得: . 取得最大值2. 故选：D 【点睛】关键点睛： 设，关键能够根据已知条件确定的轨迹是弦AB所对的两段圆弧,从而确定当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，即可求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（ ） A. 已知梯形，其中=，= B. 且 C. 存在相异实数，使 D. (其中实数满足) 【答案】BC 【解析】 【分析】当是梯形的腰，可判断A； 求出，，可判断B； 由不同时为0，使，可判断C；当可判断D， 【详解】对于A，若是梯形的腰，则不平行，所以不一定能使共线，错误； 对于B，由且得，，所以，共线，正确； 对于C，存在相异实数，且不同时为0，使，则共线，正确； 对于D， 当时，，不一定共线，错误. 故选：BC. 10. 已知向量，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角是，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量坐标是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB，利用向量数量积的运算律判断C，利用投影向量的定义判断D. 【详解】因为向量， 若，则，解得，A说法正确； 若，则，解得，B说法正确； 若与的夹角是，因为，， 所以， 所以，C说法正确； 若与的方向相反，所以， 所以在上的投影向量为，D说法错误； 故选：ABC 11. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则（ ） A. B. 实数的值为 C. D. 若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数量积的运算，结合已知条件，即可判断A、B；根据图形，表示出，然后根据数量积的运算律，即可得出C项；建立平面直角坐标系，得出的坐标，根据数量积的坐标表示，得出，配方根据二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】对于A项，因为，故A项错误； 对于B项，因为，所以，， 所以，，所以， 所以，，故B项正确； 对于C项，， 所以，，故C正确； 对于D项，如图，建立平面直角坐标系， 由题意可知，，，， 则，不妨设，，则， 所以，，， 所以，， 所以，当时，有最小值为，故D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，则与方向相同的单位向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同方向的单位向量公式即可. 【详解】与方向相同的单位向量是. 故答案为：. 13. 已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的夹角建立不等式，同时排除向量重合，得到参数范围即可. 【详解】与的夹角为锐角， ， ，解得. 当时，，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，的取值范围为且，即. 故答案为： 14. 已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值. 【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图， 因为， 所以点在直线上，取线段的中点，连接， 则， 显然当时，有最小值， 又易知，，所以的最小值为，所以， 故的最小值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 设向量、满足，，，分别求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两边平方即可求解； （2）利用平面向量数量积公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得； 【小问2详解】 . 16. 在中，内角对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用三角公式整理计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，则周长可求. 【小问1详解】 由，以及正弦定理可得 即， 即， 又在中， 所以， 则在中； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 由余弦定理， 解得， 所以的周长. 17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【小问1详解】 由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. 【小问2详解】 在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 18. 已知向量，，函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象. （1）求函数的解析式； （2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求周长的最大值. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的计算公式，结合辅助角公式，求出的解析式，再根据图象的平移，可求的解析式. （2）由和为锐角三角形，求出角，再利用余弦定理结合基本（均值）不等式，可求周长的最大值. 【小问1详解】 因为. 所以. 【小问2详解】 由， 所以或，所以或， 又因为为锐角三角形，所以. 由余弦定理：. 又，所以（当且仅当时取“”）， 此时，的周长取得最大值，为. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，. 则，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， ，则， ， 因为与的夹角为，则，解得. 【小问3详解】 依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $