精品解析：北京市第五十五中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

北京市第五十五中学2024－2025学年度第二学期 3月阶段调研试卷 高一数学 本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填涂在答题纸上） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 或0 D. 或1 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 函数的图像（ ） A 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 6. 如图，在中，是中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 已知是夹角为两个非零向量，且，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 2 9. 设、为平面向量，则“存在实数，使得”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（ ）（参考数据：） A. 0.052 B. 0.104 C. 0.896 D. 0.948 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分，把答案填写在答题纸上） 11. 计算的值是______． 12. 向量满足，，与的夹角为，则______． 13. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________. 14. 已知函数，其中， （1）函数的最小正周期是______． （2）若在区间上单调递增，则的一个取值可以为______． 15. 正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅，频率相同的正弦波，，叠加而成，即，设，，，若图中所示为的部分图象，则下列所有正确序号的是______． ① ②的最小正周期是 ③若，，则 ④不存在，使得恒为0 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴； （2）求函数在的最值． 17. 已知，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值； （3）求的最小值． 18. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． （1）求值； （2）若四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）求的最小值． 20. 已知函数一段图象如图所示； （1）求函数的解析式； （2）若，，求的值． 21. 如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． （1）求函数的表达式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若在上仅存在两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第五十五中学2024－2025学年度第二学期 3月阶段调研试卷 高一数学 本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填涂在答题纸上） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和差余弦公式直接求解即可. 【详解】， 故选：B. 2. 若，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 或0 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算计算求解. 【详解】因为，，且， 则 则. 故选：A. 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义可得，再由正切函数的和差角公式展开，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为角的终边过点，则， 所以. 故选：B 4. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 5. 函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C 关于直线对称 D. 关于点对称 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式化简，注意定义域，进而判断奇偶性，代入法验证对称轴和对称中心. 【详解】由题设，且， 所以为奇函数，关于原点对称，A正确，B错误； ，关于对称，C错误； ，关于对称，D错误； 故选：A 6. 如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】因为，所以为的中点，又D是AB的中点， 所以， 则，. 故选：B. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简，然后根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论. 【详解】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，可得. 故选：C. 8. 已知是夹角为的两个非零向量，且，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的公式，建立方程，结合题意，可得答案. 【详解】由向量在向量上的投影向量为，则， 整理可得，由，解得. 故选：C. 9. 设、为平面向量，则“存在实数，使得”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若存实数，使得，则有， ， 若，则 故“存在实数，使得”不是“”的充分条件； 当，，满足，但是不存在实数，使得， 故“存在实数，使得”不是“”的必要条件； 即“存在实数，使得”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 10. 人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（ ）（参考数据：） A. 0.052 B. 0.104 C. 0.896 D. 0.948 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分，把答案填写在答题纸上） 11. 计算的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦二倍角公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 12. 向量满足，，与的夹角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先对进行平方，再结合数量积的定义求解即可. 【详解】由题意得，，与的夹角为， 所以 ，则. 故答案为： 13. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________. 【答案】2 【解析】 【分析】由图得，根据向量与共线，结合共线向量基本定理设，即可解得实数的值. 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 14 已知函数，其中， （1）函数最小正周期是______． （2）若在区间上单调递增，则的一个取值可以为______． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式化简，再利用周期公式； （2）求的范围，利用即可求. 【详解】（1）， 则函数的最小正周期是. （2），则， 在区间上单调递增， 则， 则， 当时，，故取即可. 故答案为：（1）；（2）（答案不唯一） 15. 正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅，频率相同的正弦波，，叠加而成，即，设，，，若图中所示为的部分图象，则下列所有正确序号的是______． ① ②的最小正周期是 ③若，，则 ④不存在，使得恒为0 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，根据图象得到，，，从而计算出；对于②，的最小正周期均为，②正确；对于③，法一：利用三角恒等变换变形得到，法二：代入特殊值检验；对于④，令，得到方程组，变形得到．同理可得，以上三个式子不能同时成立，故④正确． 【详解】对于①，由题图可知，，且，所以， 又，所以，因为，所以， 所以，故①正确． 对于②，因为，所以的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，故②正确． 对于③，法一：若， 则 ， 法二：若，则， ， 而，两者不等，故③错误． 对于④，， 即， 展开得， 若等式恒成立，则则 平方求和得， 所以．同理可得， 以上三个式子不能同时成立，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴； （2）求函数在的最值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为 （2）在上的最大值和最小值分别为和 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式对函数进行化简，再去求解其最小正周期和对称轴； （2）结合第（1）所有的解析式，利用换元法求解在上的最值. 【小问1详解】 因为， 由，则的最小正周期为， 令，则， 则的对称轴为. 【小问2详解】 又因为，则， 且当时，，所以， 当时，， 即的最大值和最小值分别为. 17. 已知，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，即可求得向量与 的夹角； （2）根据向量垂直的充要条件，即可求得的值； （3）根据向量的模的计算方法，即可求得的最小值. 【小问1详解】 设向量 与 的夹角为 ， ， ， . 【小问2详解】 ， ， ， ，. 【小问3详解】 ， 当时， 取最小值为. 18. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角的三角函数关系式求得，再利用两角和的正弦公式求解即可； （2）利用同角的三角函数关系式求得，再利用二倍角的正切公式求解即可； （3）利用半角公式求出，再利用两角差的余弦公式即可求解； 【小问1详解】 ，， ， . ; 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 ， ，， ， 解得， . 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）若四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量减法运算，结合模的坐标表示即可求解. （2）设出点的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得. （3）利用共线向量设出的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得. 【小问1详解】 由，，得， 所以. 【小问2详解】 设，而，则， 由四边形是平行四边形，得，即，解得， 所以点的坐标是. 【小问3详解】 由点是直线上的一个动点，设，即， 于是 因此， 所以当时，取得最小值. 20. 已知函数的一段图象如图所示； （1）求函数的解析式； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图象，由周期性可求，由可求，从而得到函数的表达式； （2）根据题意，先求的值与的范围，然后利用同角三角函数的基本关系可求. 【小问1详解】 由图象可知，，所以，又，故. 由，得，又，故. 于是. 【小问2详解】 ，即， ， 由，得，又， 所以， 则， 于是. 21. 如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． （1）求函数的表达式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若在上仅存在两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图得出点的坐标，再求数量积即可； （2）令，即可求的单调递减区间； （3）先求出范围，结合正弦函数图象知，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意可知，，， 则，故， 则. 【小问2详解】 ， 令， 得， 故的单调递减区间为. 【小问3详解】 若在上仅存在两个零点， 则在上仅存在两个根， ，则， 结合正弦函数图象知，，得， 则的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$