精品解析：湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024—2025学年度下学期2024级三月月考数学试卷 命题人：方雅馨 审题人：邹泳 考试时间：2025年3月21日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法，求出集合，利用的性质，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由题意得，， 所以． 故选：D． 2. 设角的终边与单位圆交于点，则是的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别去验证充分性和必要性即可. 【详解】充分性：当，则满足， 必要性：时，，不满足， 所以则是的充分不必要条件. 故选： 3. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 4. 已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象经过点，得到，再结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】函数的图象经过点， 则，即， 又，. 当且仅当时取等号， 即时取等号. 故选：D. 5. 已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出，再由函数的单调性可得出，结合参变量分离法可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数与均是增函数， 所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得， 由得，即恒成立， 所以，当时，函数取得最大值，所以，，即， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 6. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据：） A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由，，可得，再由，求解即可. 【详解】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故选：B. 7. 已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由方程解得，得到的可能取值，根据题意可得，解出的取值范围即可. 【详解】由方程，可得， 所以， 当时，， 所以的可能取值为， 因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，解得，即的取值范围是， 故选：D 8. 已知函数，若存在满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由解析式易得，，应用辅助角公式有，进而易知在有对称轴满足，结合已知可得，再应用诱导公式将目标式化为，最后利用即可求值. 【详解】函数， 其中，，， ，是在内的两根， 又，， 则在有对称轴满足， 故有，则， 那么， 由，知. 故选：A 【点睛】关键点点睛：化简函数式为，并确定在有对称轴满足为关键. 二、多选题 9. 下列关于向量说法，正确的是（   ） A. 若，，则 B. 若，则存在唯一实数使得 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 在中，若，则与的面积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，取，即可求解；对于B，当，时，不存在实数使得，即可求解；对于C，根据条件，利用向量数量积的运算，即可求解；对于D，利用向量的线性运算得到，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立， 而此时不一定平行，所以选项A错误， 对于选项B，当，时，不存在唯一实数使得，所以选项B错误， 对于选项C，由，得，化简得， 所以，又，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以选项C正确， 对于选项D，因为，所以，设为的中点，连接， 则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍， 所以与的面积之比为，所以选项D正确， 故选：CD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 是函数的图象的一个对称中心 B. 函数在上单调递减 C. 函数是奇函数 D. 若且， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设及图象得到，对于A，代入检验，即可求解；对于B，根据条件得到，利用的性质，即可求解；对于C，根据条件得到，利用的性质，即可求解；对于D，根据条件求得，再构角，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】由图象可知：，，则，故， 所以， 又，则，所以， 又，所以，故， 对于选项A，因为，所以是函数的图象的一个对称中心，故选项A正确， 对于选项B，当时，， 由的性质知，函数在上单调递减，所以选项B正确， 对于选项C，因为， 又是偶函数，所以函数是偶函数，故选项C错误， 对于选项D，因为，则，得到， 又，则，所以， 则， 所以选项D正确， 故选：ABD. 11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. ，，，则有 D. 方程的所有实数之和为20 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由求出函数的周期为4，即可判断A；再根据的解析式分别求出和上的解析式，从而得到是偶函数，即可判断B；根据周期性和单调性即可判断C；最后作出出和的图象即可判断D. 【详解】 对于选项A，函数满足，则， 所以函数周期为4. ，又当时，，则，又因，则，故A错误； 对于选项B， 当时，则，则， 当时，则，则， 所以，在和图象关于轴对称，且在图象关于轴对称， 又因函数周期为4，所以是偶函数，故B正确； 对于选项C，，又因为，在是单调递减，故，即. 故C正确； 对于选项D，作出和的图象，如下图所示： 易得两个函数的图象有10个交点，且关于对称， 则方程的所有实数之和为20，故D正确. 故选：BCD. 三、填空 12. 已知，则 _______ . 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用诱导公式及倍角公式得，结合条件，利用齐次式，即可求解. 【详解】因为 ， 又，所以， 故答案为：. 13. 已知，则向量在向量上的投影向量为________ 【答案】 【解析】 【分析】 由向量在向量上的投影向量公式即可求解. 【详解】 由题意，向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知，，且，则的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式化简得，然后转化正切可得，进而将用来表示，从而利用基本不等式可得最大值. 【详解】由得，即， ， 由于，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 故． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）当时，求； （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先得到，然后展开计算即可； （2）由条件知，使用向量内积的坐标表示即可得到关于的方程，进而求出. 【小问1详解】 ，故． 【小问2详解】 由条件知，故， 所以． 16. 已知 （1）求的单调递增区间； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式. 【答案】（1） . （2） 【解析】 【分析】 （1）根据三角恒等变换和辅助角公式将函数化简为的形式，从而求出单调递增区间； （2）利用图像的变换求出的解析式，利用三角函数的图象即可求解. 【小问1详解】 令 ，解得. 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 将的图象上所有的点向右平移个单位得到的图象， 再将的图象向下平移1个单位得到的图象， 最后将的图象上所有点的纵坐标变为原来的横坐标不变， 得到的图象，即， 由，即，得， 解得 令可得，令可得， 又所以， 即当时，不等式的解集为. 17. 如图，有一块半径为1，圆心角为的扇形木块，现要分割出一块矩形，其中点，在弧上，且线段平行于线段． （1）若点，分别为弧的两个三等分点，求矩形的面积； （2）设，当为何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）； （2）， ． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，交于，连接，，即可表示，，，从而得到，再由面积公式及二倍角公式计算可得； （2）结合（1）可得，，，则，即可表示矩形的面积，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 作，垂足为，交于，连接，， 由于点，分别为弧的两个三等分点，四边形为矩形，即，关于直线对称， 则，，则，， 而，故为等腰直角三角形，则， 故， 则； 【小问2详解】 因为，则， 故，， ， 故 ， 则 ， 因为，所以， 故当，即时，取最大值， 即当时，矩形的面积最大，． 18. 已知函数． （1）若为奇函数，求值； （2）若在上有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，有，即可求解； （2）构造函数，利用（1）中结果得到，再利用倍角公式及辅助角公式得到，结合题设条件，即可求解 【小问1详解】 因为，所以的定义域为， 又为奇函数，则， 解得，故， 当时，， 此时， 即， 所以函数为奇函数. 综上，故． 【小问2详解】 设，由上一问结论知是奇函数， 则 ， 从而方程等价于， 即，即， 取合适的实数使得，， 则 ， 故原方程又化为，即， 显然，该方程有解的充要条件是，即，即， 所以的取值范围是． 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）求函数在内的“倒域区间”； （3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）运用奇函数的性质即可求得函数的解析式； （2）根据题意列出方程组，从而求解； （3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求m的值． 小问1详解】 当时，， 所以 【小问2详解】 设，显然在上递减， 所以，整理得， 即为方程在上的两个根，且， 所以解得， 所以在内的“倒域区间”为． 【小问3详解】 因为在时，函数值y的取值区间恰为，其中，， 所以，即a，b同号，所以只需考虑或， 当时，根据的性质知，最大值为1，，， 所以，由（2）知在内的“倒域区间”为； 当，最小值，，， 所以，同理知在内的“倒域区间”为． 所以． 依题意：抛物线与函数的图像有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限． 因此，m应当使方程在内恰有一个实数根， 并且使方程在内恰有一个实数． 由方程内恰有一根知； 由方程在内恰有一根知， 综上所述：． 【点睛】关键点点睛：（3）根据题中的意义我们需要将集合恰含有2个元素转化为与函数的图像有两个交点，来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期2024级三月月考数学试卷 命题人：方雅馨 审题人：邹泳 考试时间：2025年3月21日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设角的终边与单位圆交于点，则是的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 5. 已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据：） A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 7. 已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列关于向量说法，正确的是（   ） A. 若，，则 B. 若，则存在唯一实数使得 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 在中，若，则与面积之比为 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 是函数的图象的一个对称中心 B. 函数上单调递减 C. 函数是奇函数 D. 若且， 11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. ，，，则有 D. 方程的所有实数之和为20 三、填空 12. 已知，则 _______ . 13. 已知，则向量在向量上的投影向量为________ 14. 已知，，且，则的最大值为____________． 四、解答题 15. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）当时，求； （2）当时，求值． 16. 已知 （1）求的单调递增区间； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式. 17. 如图，有一块半径为1，圆心角为扇形木块，现要分割出一块矩形，其中点，在弧上，且线段平行于线段． （1）若点，分别为弧的两个三等分点，求矩形的面积； （2）设，当为何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？ 18. 已知函数． （1）若为奇函数，求的值； （2）若在上有解，求的取值范围． 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）求函数在内的“倒域区间”； （3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$