精品解析：黑龙江省哈尔滨市道里区2024-2025学年下学期九年级数学基础调研测试（零模）试题

2024−2025学年度下学期九年级数学基础调研测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，，，，点D在边上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 第一个盒子中有2个白球和1个黄球，第二个盒子中有3个白球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒子中随机抽取1个球，取出的两个球都是黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A. 1 B. C. D. 2 9. 如图，若，则下列各式错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形为矩形，，，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，同时，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，设点运动的时间为，的面积为，下列选项中能表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 2024年全国新生人口为9540000人，将9540000用科学记数法表示为______． 12. 函数中，自变量的取值范围为__________． 13. 函数中，自变量的取值范围为__________． 14. 抛物线的顶点的横坐标为______． 15. 如图，中，，，，利用尺规在上分别截取，使，分别以D，E为圆心、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G，则的长为______． 16. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．此函数的解析式为，则n的值为______． 17. 一个扇形的半径为4，圆心角为135°，则此扇形的弧长为 _____． 18. 四边形为菱形，，，点E在上，连接，，则的长为______． 19. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是_____． 20. 在中，，点P为上一动点，连接，则长的最小值为______． 21. 如图，为矩形的对角线，过点B作的垂线交于点F，点M为垂足，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③四边形是菱形；④的面积与的面积相等．其中正确的结论是______．（填序号） 三、解答题 22. 先化简，再求代数式的值，其中． 23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图中确定点，补全四边形，使四边形是平行四边形； （2）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，画直线，直线，点为垂足，在图中标出点． 24. 为了解高远中学九年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查该校九年级部分学生，根据统计的结果，绘制如下不完整的统计图1和图2，请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）此次共调查了多少名学生？ （2）通过计算将图2补充完整； （3）若该校九年级有375名学生，请估计该校九年级每周参加科学教育的时间是的学生有多少名？ 25. 点D，E分别在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若点D为的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为面积一半的所有三角形． 26. 我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工1天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过200万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 27. 定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“张望角”． （1）如图1，点D在的延长线上，是中的“张望角”，求证：； （2）如图2，内接于，点D在的延长线上，点E在上，连接，连接，点F在上，，连接，连接并延长交的延长线于点I，求证：是中的“张望角”； （3）如图3，在（2）的条件下，若是的直径，过点I作的垂线，点G为垂足，交于点H，若，，求的长． 28. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，过点A作直线交y轴正半轴于点D，，点P在第二象限抛物线上，点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交直线于点Q，的长为d，求d与t之间的函数关系式，不必写出自变量t的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，以为边作等边三角形（点F在第二象限），点G在x轴正半轴上，连接，点H在上，连接交于点I，连接，平分，，过点I作x轴的平行线交的平分线于点M，，求d值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度下学期九年级数学基础调研测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是 故选： A． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式除以单项式运算法则和积的乘方运算法则化简、同底数幂的乘法运算法则进行求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 3. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形：一个平面图形，绕一点，旋转，与自身完全重合，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题中心对称图形的识别．熟练掌握中心对称图形的定义，是解题的关键． 4. 如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从上面看到的图形，共分三列，从左到右小正方形的个数是：1，1，1． 【详解】解：这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是：1，1，1， 故选C． 5. 如图，在和中，，，，点D在边上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形内角和定理，求出，平行线的性质和外角的性质，求出，再用，求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质以及平行线的性质，掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． 6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每株椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 7. 第一个盒子中有2个白球和1个黄球，第二个盒子中有3个白球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒子中随机抽取1个球，取出的两个球都是黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，正确作出列表是解题关键．根据题意作出列表，由列表可知，共有15种等可能的结果，其中取出的两个球都是黄球的结果有2种，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，列表如下， 盒子2 盒子1 白 白 白 黄 黄 白 白，白 白，白 白，白 白，黄 白，黄 白 白，白 白，白 白，白 白，黄 白，黄 黄 黄，白 黄，白 黄，白 黄，黄 黄，黄 由列表可知，共有15种等可能的结果，其中取出的两个球都是黄球的结果有2种， 所以，取出的两个球都是黄球的概率为． 故选：A． 8. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，若，则下列各式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴错误的是选项D； 故选D． 10. 如图，四边形为矩形，，，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，同时，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，设点运动的时间为，的面积为，下列选项中能表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的应用，矩形的性质，熟练掌握相关知识点，求出每一段对应的函数解析式是解题的关键．分类讨论，利用三角形面积公式求出每一阶段对应的函数解析式，结合对应的函数图像及性质分析即可． 【详解】解：当时，如图， 此时， ∴， ∴当时，图像为二次函数的部分图像，开口向上，且当时，； 当时，如图， 此时， ∴当时，图像为一次函数图像一部分，且当时，； 当时，如图， 此时， 则， ∴， ∴当时，图像为开口向下的二次函数的图像一部分，且时，． 综合分析，只有B符合题意． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 2024年全国新生人口为9540000人，将9540000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：9540000； 故答案为： 12. 函数中，自变量的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得分式中分母不为零即可. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查自变量的取值范围，解此题关键在于分式中分母不能为零. 13. 函数中，自变量的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得分式中分母不为零即可. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查自变量的取值范围，解此题关键在于分式中分母不能为零. 14. 抛物线的顶点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；把二次函数的一般式化为顶点式，则问题可求解． 【详解】解：由抛物线，可知顶点坐标为，即横坐标为； 故答案为． 15. 如图，中，，，，利用尺规在上分别截取，使，分别以D，E为圆心、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据含角的直角三角形的性质求出，然后求出，勾股定理求出，然后求出，利用等角对等边求解即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 由题意可知，平分， ， ， ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．此函数的解析式为，则n的值为______． 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用； 把点A坐标代入函数解析式即可求出n的值． 【详解】解：∵点在函数的图像上， ∴， 故答案为：160． 17. 一个扇形的半径为4，圆心角为135°，则此扇形的弧长为 _____． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：扇形弧长为：＝3π． 故填：3π． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长计算，牢记扇形的弧长公式成为解答本题的关键． 18. 四边形为菱形，，，点E在上，连接，，则的长为______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、菱形的性质及勾股定理是解题的关键；如图，过点A作于点F，由题意可分当点E在点F的左侧和右侧进行分类求解即可． 【详解】解：过点A作于点F，如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， 设， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 当点E在点F的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴； 当点E在点F的右侧时，此时点E与点重合，如图， 同理可得：， ∴； 故答案为：1或3． 19. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是_____． 【答案】120个 【解析】 【分析】观察图形各边上棋子的个数，可得出多边形上黑色棋子个数与边数的关系，找出第10个图形为几边形，代入即可得出结论． 【详解】解：观察图形，可得出棋子数与图形边数之间的关系： 棋子数＝（n﹣2）n（n为多边形的边数）， 第1个多边形为三角（边）形，故第10个多边形为12边形， 故第10个图形需要黑色棋子的个数＝（12﹣2）×12＝120（个）． 故答案为：120个． 【点睛】本题为规律型-图形的变化，关键在于找到图中的规律. 20. 在中，，点P为上一动点，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，作于点E，则，因为，所以，则，由，求得，则，所以长的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：． 21. 如图，为矩形的对角线，过点B作的垂线交于点F，点M为垂足，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③四边形是菱形；④的面积与的面积相等．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，即可判定①；由矩形的性质可证四边形是平行四边形，得到，由得，即得，得到四边形是平行四边形，即可判定②和③；由得，即得，得到，即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：①于， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③由②知四边形是平行四边形，条件不足无法得到四边形是菱形，故③错误； ④∵， ∴， ∴， 由②知， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题 22. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值及特殊角度的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再化简代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当时 原式 23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图中确定点，补全四边形，使四边形是平行四边形； （2）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，画直线，直线，点为垂足，在图中标出点． 【答案】（1）如图所示，四边形是平行四边形： （2）如图所示，点即为所求： 【解析】 【分析】（1）将点沿方向平移使得，得到点，连接，即可； （2）找到相对于点，的格点，连接交于点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 为了解高远中学九年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查该校九年级部分学生，根据统计的结果，绘制如下不完整的统计图1和图2，请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）此次共调查了多少名学生？ （2）通过计算将图2补充完整； （3）若该校九年级有375名学生，请估计该校九年级每周参加科学教育的时间是的学生有多少名？ 【答案】（1）50名 （2）将图2补充完整如下： ． （3）估计该校九年级每周参加科学教育的时间是的学生有60名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用每周参加科学教育的时间是的学生人数除以其所占的百分比即可得； （2）根据（1）的结果，求出每周参加科学教育的时间是的学生人数，据此补全条形统计图即可得； （3）利用该校九年级学生的总人数乘以每周参加科学教育的时间是的学生人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：（名）， 答：此次共调查了50名学生． 【小问2详解】 解：随机调查每周参加科学教育的时间是的学生人数为（名）， 将图2补充完整如下： ． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校九年级每周参加科学教育的时间是的学生有60名． 25. 点D，E分别在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若点D为的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为面积一半的所有三角形． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线平分三角形的面积． （1）根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据三角形中线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵点D为的中点，， ∴， ∴点E为的中点， ∴和的面积等于面积的一半， 和的面积等于面积的一半， 综上所述：面积为面积一半的三角形有：和和和． 26. 我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工1天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过200万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 【答案】（1）乙队单独完成这项工程需要90天 （2）甲、乙两队最多合作20天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量的三分之二，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工，根据总工程款甲队工作时间乙队工作时间，结合工程款不超过200万元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可． 【小问1详解】 解：设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙队单独完成这项工程需要90天； 【小问2详解】 解：设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工， 依题意得：， 解得：． 答：甲、乙两队最多合作20天． 27. 定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“张望角”． （1）如图1，点D在的延长线上，是中的“张望角”，求证：； （2）如图2，内接于，点D在的延长线上，点E在上，连接，连接，点F在上，，连接，连接并延长交的延长线于点I，求证：是中的“张望角”； （3）如图3，在（2）的条件下，若是的直径，过点I作的垂线，点G为垂足，交于点H，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是中的“张望角”， ∴分别是，的平分线 ； （2） 证明：， ， ， 即平分， ， ， ∵四边形内接于， ， ， ， ， 即平分， 是中的“张望角”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中“张望角”的定义和角平分线的定义得到，结合三角形的外角性质可得结论； （2）先根据圆周角定理和角平分线定义可得平分，再根据圆周角定理，结合圆内接四边形的性质可证明平分，进而根据“张望角”的定义可得结论； （3）连接，，先证明得到，进而证明得到，过F作于M，在上截取，连接，，证明，求得， ，，过I作于K， ，在中，由勾股定理求得，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，， 是中的“张望角”， ∴， ∵， ∴，又， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴，又， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴，又， ∴，即， ∴， ∴， 过F作于M，在上截取，连接，，则垂直平分， ∴， ∴， 设，则， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 设，又， ∴，解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 由得，则； ∵， ∴， ∴， 过I作于K，则是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去），即， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，过点A作直线交y轴正半轴于点D，，点P在第二象限抛物线上，点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交直线于点Q，的长为d，求d与t之间的函数关系式，不必写出自变量t的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，以为边作等边三角形（点F在第二象限），点G在x轴正半轴上，连接，点H在上，连接交于点I，连接，平分，，过点I作x轴的平行线交的平分线于点M，，求d值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后利用待定系数法可求函数解析式； （2）由题意易得，，则有，，然后根据三角函数可得，进而问题可求解； （3）过点E作，交的延长线于点R，交于点N，过点F作于点U，延长，交于点S，由题意易得，，然后通过证明，得到，进而可得，，最后利用勾股定理解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∵抛物线经过， ∴， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点P在抛物线上，设点P的横坐标为t， ∴当时，， ∵点P在第二象限， ， 当时，， ， ， ， ， 在内，， ， ∵， 在内，，， ， ， ∴d与t之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：过点E作，交的延长线于点R，交于点N，过点F作于点U，延长，交于点S，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，，， 由（2）可知：，d与t之间的函数关系式为， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则有， ∵， ∴， 作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：； ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合、三角函数、勾股定理、全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $