精品解析：山东省济南第十四中学2024—2025学年下学期3月月考七年级数学试题

济南第十四中学七年级（下）月考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若∠1=40°，则∠2=（ ） A. 100° B. 120° C. 140° D. 150° 4. 如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是（　　） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 8. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 两直线平行，内错角相等 9. 若计算所得的结果中不含的一次，则常数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 在数学中，为了书写简使，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．例如：简记为； 简记为；已知，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 11 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，则的补角等于___________． 12. 计算：_______． 13. 一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为__________． 14. 已知，则的值为________ 15. 如图，四边形为一长方形纸带，，将纸带沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为___________． 16. 规定表示，之间的一种运算．现有如下的运算法则：，．例如：，，则_________________． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） （3）利用乘法公式简便运算： 19. 先化简，再求值：．其中，． 20. 如图，已知，，求的大小． 21. 如图：已知：，， 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， 又∵， ∴____（_____）． ∴（_____）． ∴（_____）． 22. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形(阴影部分)修建一个文化广场． （1）用含，的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当，时，求文化广场的面积． 23. 若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　　　　；图2：　　　　；图3：　　　　． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，求的值． 类比迁移： （2）若，则　　； （3）如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 25. 如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线、之间有一动点P，满足． （1）试问满足怎样的数量关系？ 解：由于点P是平行线之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论；如图1，当P点在的左侧时，满足数量关系为______________，如图2，当P点在的右侧时，满足数量关系为______________． （2）如图3，，分别平分 和，且点P在左侧． ①若，则_______°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南第十四中学七年级（下）月考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 3. 如图，，若∠1=40°，则∠2=（ ） A. 100° B. 120° C. 140° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质及邻补角的性质，即可求得． 【详解】解：，∠1=40°， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质及邻补角的性质，熟练掌握和运用平行线的性质是解决本题的关键． 4. 如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是（　　） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂线段最短的原理即可判断． 【详解】解：从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走且，所以由垂线段最短的原理可以知，沿线路PB行走距离最短， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂线段最短的原理，解题的关键是：掌握垂线段最短的原理． 5. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方，积的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原结果错误，不符合题意； B、，原结果正确，符合题意； C、，原结果错误，不符合题意； D、，原结果错误，不符合题意； 故选B． 6. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：（a＋b）（a−b）＝，找出整式中的a和b，进行判定即可． 【详解】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，故选项A错误； B、（−x＋y）（x−y）＝，不符合平方差公式的特点，故选项B错误； C、（2x−y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，故选项C正确； D、（−x−y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键． 7. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 8. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】∵∠DPF=∠BAF， ∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 9. 若计算所得的结果中不含的一次，则常数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法结合一次项次数为零进而得出答案． 【详解】解：（x+m）（4x-3）-5x =4x2-3x+4mx-3m-5x =4x2+（4m-8）x-3m， ∵（x+m）（4x-3）-5x所得的结果中不含x的一次项， ∴4m-8=0， 解得：m=2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 10. 在数学中，为了书写简使，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．例如：简记为； 简记为；已知，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给的求和运算方式，将所给算式进行展开即可解决问题．本题考查数字形式的规律，理解题中所给的求和运算是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， 因为， 则项的系数为2， 所以此等式的右边只有两项， 故， 则， 所以，， 所以． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，则的补角等于___________． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的补角，根据相加等于的两个角互补，即可解答． 【详解】解：，则的补角等于， 故答案为：． 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．根据积的乘方等于各因数乘方的积求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 13. 一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式除以单项式，根据长方形的面积除以宽即可得到长，代入数值进行计算即可． 【详解】解：长方形的长， 故答案为：． 14. 已知，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 15. 如图，四边形为一长方形纸带，，将纸带沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质和折叠的性质求出、的度数，再相减即可得出答案． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 由折叠的性质可得：，， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 16. 规定表示，之间的一种运算．现有如下的运算法则：，．例如：，，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握并理解题中的新定义及有理数的乘方．根据新定义对原式变形为，再计算可得． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算乘方、零指数幂和负整指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2） （3）利用乘法公式简便运算： 【答案】（1） （2） （3）810000 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除法及应用．熟练掌握单项式乘多项式，多项式除以单项式，利用平方差公式简便计算，是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式的运算法则直接计算即可； （2）利用多项式除以单项式的法则计算即可； （3）将写成，然后使用平方差公式求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：． 19. 先化简，再求值：．其中，． 【答案】，2024 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，再合并同类项，然后计算除法运算即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入， 原式 ． 20. 如图，已知，，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据“同位角相等，两直线判断”证明，然后根据“两直线平行，同位角相等”求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图：已知：，， 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， 又∵， ∴____（_____）． ∴（_____）． ∴（_____）． 【答案】 两直线平行，同位角相等；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形(阴影部分)修建一个文化广场． （1）用含，的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当，时，求文化广场的面积． 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把，代入求解即可． 【小问1详解】 解： “”型区域的面积为： ． 【小问2详解】 当，时， (平方米) 答：“”型区域的面积是平方米． 23. 若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的性质：同底数的两个幂相等，指数相等．熟练掌握同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方法则，解题的关键是熟练逆用幂的乘方与积的乘方法则对式子进行变形． （1）逆用幂的乘方法运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）逆用积乘方法则把化为，根据同底数幂的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　　　　；图2：　　　　；图3：　　　　． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，求的值． 类比迁移： （2）若，则　　； （3）如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），，；7；（2）10；（3）7 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，灵活运用乘法公式是解题的关键． （1）根据阴影部分面积的不同表示方式，列式后即可得出能解释的数学公式；再根据完全平方公式的变形求出对应的值即可； （2）将和看作是整体，然后利用完全平方公式变形，化简后整体代入求解即可； （3）设，则，根据可得，然后根据列式求出，进而可得答案． 【详解】解：（1）解：图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图3中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； ∵， ∴； 故答案为：，，；7； （2）∵，， ∴， 故答案为：10； （3）设，则， ∵两正方形的面积和， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 故答案为：7． 25. 如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线、之间有一动点P，满足． （1）试问满足怎样的数量关系？ 解：由于点P是平行线之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论；如图1，当P点在的左侧时，满足数量关系为______________，如图2，当P点在的右侧时，满足数量关系为______________． （2）如图3，，分别平分 和，且点P在左侧． ①若，则_______°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①150； ②与的数量关系为， 理由：由（1）和（2）①可知 ∵，分别平分和， ∴ ∴ ∴； ③． 【解析】 【分析】（1）如图1，过点P作，证得 ，然后根据平行线的性质证得结论，如图2，过点P作，证得，然后根据平行线的性质证得结论； （2）①如图3，过点P作，过点Q作，然后根据平行线的性质得到，由，，分别平分和，即可求得结论；②同①即可得结论；③由（2）②知，进而，，由规律即可求得结论． 【详解】（1）如图1，过点P作， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ 如图2，过点P作， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）①如图3，过点P作，过点Q作， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ 同理： ∵， ∴ ∴ ∵，分别平分和， ∴， ∴； ②略 ③由（2）②知， 同理可证： …… ， 【点睛】本题需要作辅助线，考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，图形规律问题，难度较大．需要掌握平行线的传递性：如果两条线都与第三条线平行，那么这两条线平行；平行线性质：两直线平行内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．通常探究图形规律问题都是从简单入手，总结发现规律得到答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $