精品解析：山东省泰安市新泰一中老校区（新泰中学）2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

新泰中学2023级高二下学期第一次大单元考试 数学试题 2025.3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 52 B. 58 C. 56 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】分两类，末位为0，则从剩余元素中选2个并排列；末位为2或4，则优先考虑首位非0，再从其余元素中选1个即可. 【详解】偶数可分为两类： ①末位为0：共种 ②末位为2或4：首位有4种选择，共有种 则共有52种. 故选：A 2. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值. 【详解】因为，所以， 令，得或；令，得； 所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极大值，极大值为； 在处有极小值，极小值. 故选：B. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求定义域，再解不等式即可. 【详解】定义域为， ，则， 则得；得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为 故选：C 4. 若函数f(x)＝(a＞0)在[1，+∞)上的最大值为，则a的值为 A. ＋1 B. C. D. −1 【答案】D 【解析】 【分析】 对函数进行求导，讨论研究函数在上的单调性，而求出最大值，即可得到的值． 【详解】解：的导数为， 当时，时，，单调减， 当时，，单调增， 当时，取得最大值， 解得，不合题意； 当时，在递减，最大，且为，不成立； 当时，在递减，最大， 即，解得， 故选：． 【点睛】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，注意运用分类讨论的思想方法，属于研究最值问题的中档题． 5. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 6. 函数图像是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，即可排除AD，再由导函数求得极值点和极值点左右两侧的单调性，并求得当函数的函数值符号，即可判断选项. 【详解】由函数，知，是奇函数，图像关于原点对称，排除A，D； 当时，， 则， 令，解得， 当时，则单调递增， 当时，则单调递减，且当时，， 结合选项可知，C为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图像的方法，注意奇偶性、单调性、特殊值与极限值的方法，由导数判断函数单调性的方法，属于基础题. 7. 关于函数，下列判断错误的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线方程为 B. 是函数的一个极值点 C. 当时， D. 当时，不等式的解集为 【答案】B 【解析】 【分析】 先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为，所以，， 所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确； 当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错； 当时，，由得；由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 因此，即；故C正确； 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确； 故选：B. 【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型. 8. 已知函数，若存在 ，使得，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由可得：存在，使得，转化成：存在，使得，求出，问题得解． 【详解】因为， 所以存在 ，使得，可转成： 存在 ，使得， 即：存在 ，使得， 即：，又 所以 故选B 【点睛】本题主要考查了导数的运算公式及计算能力，考查了转化能力及函数的最值求法，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得，即可知，再根据极大值为3可解得或；易知当时，在处取得极小值，与题意不符，当时，函数在处取得极大值，符合题意，可得，，即，即可判断出结论. 【详解】由题意可得， 且是函数的极大值点，即，可得， 又极大值为3，所以，解得或； 当时，，此时， 时，，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去； 当时，，此时， 时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 此时函数在处取得极大值，符合题意， 所以，，即，所以A正确，B错误； 此时，所以，，即C错误，D正确. 故选：AD 10. 一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（ ） A. 第二次摸出红球的概率为 B. 第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C. 第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D. 已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用概率公乘法式求解；B利用条件概率求解；C 利用概率的乘法公式求解；D由条件概率公式可得. 【详解】对于A、第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为， 可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确； 对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件， 由选项A的分析可知，， 根据条件概率公式，所以选项B正确； 对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为， 所以选项C错误； 对于D、设第一摸出黄球求事件，第二次摸出红球为事件， 由前面的计算可得， 由条件概率公式，所以选项D正确. 故选：ABD. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令可得选项A正确；令可得选项B错误；分析二项展开式中系数的正负可得选项C正确；令可得选项D错误. 【详解】A.令得，，故，选项A正确. B.令得，，故，选项B错误. C.二项式展开式的通项为， ∴， 当为偶数时，，当为奇数时，， 令得，，选项C正确. D. 令得，， ∵，∴，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数可知的单调增区间为，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，得，可知的单调增区间为， 若函数在区间内单调递增，依题意，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意求得，然后根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】由题意，即， 即，解得（舍去）， 根据展开式的通项， 令，则， 故常数项为. 故答案为： 14. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，恒为正， 当时，，， 当时，，当时，， 故上单调递减，在上单调递增， 且， 画出的图象如下： 要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可， 显然当时，符合要求. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）若，求的值. （3）化简求值：. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用排列数和组合数公式计算； （2）利用排列数和组合数公式化简，得到关于的一元二次方程，结合可求； （3）根据且以及得出的值，再计算即可. 详解】（1） （2）依题意，，则， 整理得：，而，所以. （3）由题意知，需满足且 即满足不等式组，即，解得 所以原式. 16. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中项的系数； （2）求展开式中项的系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二项式系数和，得出，再应用通项公式计算即可得出系数； （2）根据通项公式列不等式组计算求出，再结合，则最后计算即可. 【小问1详解】 次二项式的展开式中各项的二项式系数和， 由题意，得，即， 由二项式通项公式，得， 即，令，得 展开式中项的系数为. 小问2详解】 设展开式中第项的系数最大， 则有， 化简得，即为， 解得， ，则， 展开式中项的系数最大的项为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调性； （2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得. 【小问1详解】 当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故的单调递增区间是， 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 由任意，知恒成立. 因，故，在上恒成立. 设，则， 令，得，（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 18. 已知函数，其中． （1）若是函数的极值点，求a的值； （2）若，讨论函数的单调性． 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用极值点列方程求出值，再回代入导函数进行验证即得； （2）对函数求导，分解因式后求得导函数的零点，根据参数的范围分类讨论函数的单调性即可. 【小问1详解】 由可得，，且， 因是函数的极值点，故，解得. 当时，， 由可得，由可得或， 即函数在上递减，在上递增，在上递减，故是的极小值点. 故； 【小问2详解】 由（1），，因， 由，解得或. ① 若，则， 当时，，当或时，. 即函数在上递减，在上递增，在上递减； ② 若，即， 当时，，当或时，. 即函数在上递减，在上递增，在上递减； ③ 若，则， 则，故函数在上递减. 综上所述， 当时，函数在上递减，在上递增，在上递减； 当时，函数在上递减； 当时，函数在上递减，在上递增，在上递减. 19. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可； （2）利用第一问求的单调性判断最值； （3）函数，解不等式即可. 【小问1详解】 ，则， 因函数在处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故. 【小问2详解】 由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而， 则在区间上的最大值为和最小值. 【小问3详解】 令，则， 则与单调性相同， 因方程有三个不同的实数根， 则，得， 则实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰中学2023级高二下学期第一次大单元考试 数学试题 2025.3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 52 B. 58 C. 56 D. 50 2. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. ， B. C. D. 4. 若函数f(x)＝(a＞0)在[1，+∞)上最大值为，则a的值为 A. ＋1 B. C. D. −1 5. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 6. 函数图像是 A. B. C. D. 7. 关于函数，下列判断错误的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线方程为 B. 是函数的一个极值点 C. 当时， D. 当时，不等式的解集为 8. 已知函数，若存在 ，使得，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 10. 一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（ ） A. 第二次摸出红球的概率为 B. 第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C. 第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D. 已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间内单调递增，则取值范围是______． 13. 已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为_________. 14. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）若，求的值. （3）化简求值：. 16. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中项的系数； （2）求展开式中项的系数最大的项. 17 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数，其中． （1）若是函数的极值点，求a的值； （2）若，讨论函数的单调性． 19. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上最大值和最小值. （3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$