精品解析：上海市青浦高级中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试卷

上海市青浦高级中学2024学年第二学期3月质量检测 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 函数的最小正周期是___________． 2. 已知扇形的圆心角是2，半径为2，则扇形的面积为__________. 3. 已知锐角满足，则__________. 4. 化简：__________. 5. 在△ABC中，若，，，则__________.（用角度表示，精确到小数点后1位） 6. 已知，且，则______. 7. 不等式的解集是__________. 8 已知，则__________. 9. 将点绕着原点顺时针旋转45°得到，则的坐标是__________. 10. 函数的最大值为__________. 11. 已知，则__________. 12. 计算：__________.（填近似值不得分） 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 是第四象限角，,，则（ ） A. B. C. D. 14. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 无法判断 15. 某参考书中有这样一道题：“△ABC中，与是方程的两根，则 ”.对于这道题目，评价最恰当的是（ ） A. 这道题将三角与一元二次方程相结合，考察了韦达定理的应用，是一道好题 B. 这道题先求出的值，再利用诱导公式求得的值，是一道好题 C. 通过计算，可得 D. 这道题数据有误，是一道错题 16. 已知函数，，则下列说法正确是（ ） A. 与的定义域都是 B. 为奇函数，为偶函数 C. 值域为，的值域为 D. 与都不周期函数 三、解答题（本大题共有6题，满分62分） 17. （1）已知，，求的值； （2）证明：. 18. 已知函数. （1）求函数的最大值及x的取值； （2）求函数的单调增区间. 19. 已知均锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 20. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 21. 已知. （1）用a表示的值； （2）用a表示的值； （3）用反证法证明：是无理数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市青浦高级中学2024学年第二学期3月质量检测 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 函数的最小正周期是___________． 【答案】 【解析】 【详解】的最小正周期是， 故答案为： 2. 已知扇形的圆心角是2，半径为2，则扇形的面积为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知，扇形的圆心角是，半径， 则弧长， 所以. 故答案为：4 3. 已知锐角满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用和角正切公式求值即可. 【详解】. 故答案为： 4. 化简：__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式化简即可. 【详解】. 故答案为： 5. 在△ABC中，若，，，则__________.（用角度表示，精确到小数点后1位） 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦定理解三角形即可得. 【详解】由正弦定理有，则. 故答案为： 6. 已知，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，求出，进而根据角的范围判断出的符号，最后得到答案. 【详解】由题意，， 因为，所以，则，所以. 故答案为：. 7. 不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知有，结合余弦函数的性质解不等式求解集. 【详解】由，即，可得， 所以解集为. 故答案为： 8. 已知，则__________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 9. 将点绕着原点顺时针旋转45°得到，则的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，结合已知及和角正余弦公式求的坐标. 【详解】令，则， 所以， 由， ， 所以. 故答案为：. 10. 函数的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数、余弦函数的性质求函数的最大值. 【详解】令，则， 显然，，而时，， 所以时，函数最大值为2. 故答案：2 11. 已知，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质有，结合已知有且，再应用诱导公式求目标函数值. 【详解】由，而， 所以，故且， 所以， 所以. 故答案为：1 12. 计算：__________.（填近似值不得分） 【答案】 【解析】 【分析】令，则，应用三角恒等变换可得，即可求函数值. 【详解】令，则，故， 由 ，而， 所以，可得，故（负值舍）， 所以. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 是第四象限角，,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果. 【详解】因为，由同角三角函数基本关系可得：， 解得：， 又是第四象限角，所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 14. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦边角关系及差角正弦公式可得，即可得. 【详解】由题设及正弦边角关系有，即， 由，故，即三角形为等腰三角形. 故选：A 15. 某参考书中有这样一道题：“△ABC中，与是方程的两根，则 ”.对于这道题目，评价最恰当的是（ ） A. 这道题将三角与一元二次方程相结合，考察了韦达定理的应用，是一道好题 B. 这道题先求出的值，再利用诱导公式求得的值，是一道好题 C. 通过计算，可得 D. 这道题数据有误，是一道错题 【答案】D 【解析】 【分析】由题设有，，则一个为钝角一个为锐角，结合和角正切公式求，即可得. 【详解】由题设， 则，，则一个为钝角一个为锐角， 又，则， 所以是一个钝角，而在三角形中不可能存在两个钝角， 所以该题数据有误，为错题. 故选：D 16. 已知函数，，则下列说法正确是（ ） A. 与的定义域都是 B. 为奇函数，为偶函数 C. 的值域为，的值域为 D. 与都不是周期函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】．与的定义域都是，故错误， ．，则是偶函数，故错误， ．，，的值域为，，的值域，，故正确， ．则是周期函数，故错误， 故选． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共有6题，满分62分） 17. （1）已知，，求的值； （2）证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知及平方关系有且，结合二倍角余弦公式列方程求； （2）应用二倍角正余弦公式化简，即可证 【详解】（1）由，，则且， 由（负值舍）. （2），得证. 18. 已知函数. （1）求函数的最大值及x的取值； （2）求函数的单调增区间. 【答案】（1）时，； （2）单调增区间为. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简函数式，结合正弦函数的性质求最大值，并确定对应自变量取值； （2）由正弦函数的性质及整体法求单调增区间. 【小问1详解】 由， 当，即时，. 【小问2详解】 令，则， 所以函数的单调递增区间为. 19. 已知均为锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），然后根据两角差的余弦公式展开，结合题目条件，分别算出每个量即可； （2）结合（1）的结果，求出，然后利用正切的角差公式，二倍角公式计算. 【小问1详解】 因为为锐角且， 所以， 因为，且， 所以 所以. 【小问2详解】 ，是锐角，则， 于是， 所以， 所以. 20. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 【答案】（1） （2）预算资金够用 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解； （2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可. 【小问1详解】 解：由， 得， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去）． 在中，， 所以， 又， 解得． 在中，， 所以． 由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用． 21. 已知. （1）用a表示的值； （2）用a表示的值； （3）用反证法证明：是无理数. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正弦公式及平方关系、商数关系有，即可得； （2）由二倍角正切公式得，再由和角正切公式求解； （3）假设为有理数，应用三角恒等变换依次得到为有理数，最后应用和角正切公式得到为有理数，得到矛盾，即可证. 【小问1详解】 由； 【小问2详解】 由，则； 【小问3详解】 假设为有理数，则也是有理数， ， 所以也为有理数，同理可得为有理数， 由也是有理数，而为无理数， 所以，与假设有矛盾，则是无理数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $