精品解析：江苏省无锡市梁溪区2024-2025学年九年级上学期期末联考数学试题

2024－2025学年第一学期期末试卷九年级数学 一、选择题（共30分） 1. 在中，，若各边都扩大倍，则值（ ） A. 缩小倍 B. 扩大倍 C. 不变 D. 不能确定 2. 下列方程中，属于一元二次方程是 ( ) A. 2x2﹣y﹣1＝0 B. x2＝1 C. x2﹣x（x+7）＝0 D. 3. 已知扇形的半径为12，圆心角为，则这个扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 三个点确定一个圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 直径所对的圆周角是直角 D. 正五边形是中心对称图形 7. 已知二次函数，则下列说法错误的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标是 B. 当时，y随x增大而减小 C. 图像与轴的交点坐标是， D. 图像的顶点坐标是 8. 在△ABC中，AC＝4，AB＝5，则△ABC面积的最大值为（　　） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 9. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 10. 如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（共24分） 11. 若，则=_______． 12. 若两个相似三角形面积之比为，则它们的相似比为____． 13. 设、是关于x的方程的两个根，则_________. 14. 某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价元/盒，则该药品平均降价率是____． 15. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 16. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的正切值为____． 17. 如图，矩形中，，，P是上一点，，将沿着翻折到，连接，则面积为____． 18. 已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为______． 三、解答题（共96分，其中19－20题每题8分，21－28题每题10分） 19 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求长． 22. 已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 23. 如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． （1）求半径； （2）求阴影部分面积． 24. 已知中，． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，若，求的长． 25. 如图，矩形，E是边上的定点． （1）用无刻度直尺和圆规在上作出所有使的点F．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，边上使得与相似的点F有且只有两个，求的长． 26. 某种纪念品的成本价为每件10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为20元时，每天可售出600件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件．设每天的销售量为y（件），销售单价为x（元件）． （1）直接写出y关于x之间的函数关系式； （2）若销售该纪念品每天的利润为6720元，求该纪念品的销售单价； （3）若商家决定，每销售一件纪念品就捐赠a元（）给慈善机构，当每天销售最大利润为6400元时，求a的值． 27. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值． (3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标． 28. 如图，中，，点I是的内心． （1）O是边上一点，以r为半径的恰好经过B、I两点，求r的值； （2）过点I的直线l分别交边、边于点M、N．以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，判断哪个结论正确并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期期末试卷九年级数学 一、选择题（共30分） 1. 在中，，若各边都扩大倍，则值（ ） A. 缩小倍 B. 扩大倍 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，则扩大后三边长是，，，根据等于的对边比斜边，代入求出即可．本题考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握：若在中，∠C=90°，则等于对边比斜边，等于邻边比斜边，等于对边比邻边． 【详解】解：设，，， ∵， ∴， ∵各边都扩大倍， ∴扩大后三边长是，，， ∴， ∴值不变， 故选：C． 2. 下列方程中，属于一元二次方程是 ( ) A. 2x2﹣y﹣1＝0 B. x2＝1 C. x2﹣x（x+7）＝0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、含有2个未知数，故选项错误； B、含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故选项正确； C、化简后未知数的最高次数是1，故选项错误； D、是分式方程，故选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 已知扇形的半径为12，圆心角为，则这个扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式．根据直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵扇形的半径为3，圆心角为， ∴， 故选：D． 4. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的关系解答. 【详解】∵点在外，的半径为3， ∴点到圆心的距离为>3， 故选：A. 【点睛】此题考查点与圆的位置关系：点与圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内． 5. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握图象的平移规律“上加下减”是解题的关键． 根据函数图象平移规律，可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度所得图象的解析式为， 故选：C． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 三个点确定一个圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 直径所对的圆周角是直角 D. 正五边形是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理，以及中心对称和轴对称定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故选项说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项说法错误，不符合题意； C、直径所对的圆周角是直角，说法正确，符合题意； D、正五边形是轴心对称图形，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定圆的条件、等弧的认识，圆周角定理的知识，以及中心对称和轴对称定义，解题的关键是掌握有关的定义及定理． 7. 已知二次函数，则下列说法错误的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标是 B. 当时，y随x增大而减小 C. 图像与轴的交点坐标是， D. 图像的顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．求出当时，的值即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式，由此即判断选项B正确、选项D错误；求出当时，的值即可判断选项C正确． 详解】解：对于二次函数， 当时，，即图像与轴的交点坐标是，选项A正确，不符合题意； 抛物线的开口向上，化成顶点式为， 则当时，随的增大而减小，图像的顶点坐标是，选项B正确，不符合题意、选项D错误，符合题意； 当时，，解得或， 即图像与轴的交点坐标是，，选项C正确，不符合题意； 故选：D． 8. 在△ABC中，AC＝4，AB＝5，则△ABC面积的最大值为（　　） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】把AB边作为底边，则AB边上的高的最大值为AC的长度，同理把AC边作为底边，则AC边上的高的最大值为AB的长度，即三角形为直角三角形时面积最大，求出即可． 【详解】解：把AB边作为底边，则AB边上高的最大值为AC的长度， 同理把AC边作为底边，则AC边上的高的最大值为AB的长度， 即三角形为直角三角形时面积最大； 所以，在△ABC中，AC=4，AB=5， 则△ABC面积的最大值为， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的面积，解题的关键是弄清三角形面积最大时的条件． 9. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， ， ， 代数式有最大值2， 故选：D． 10. 如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，取中点M，连接，取中点M，连接，，点E为的中点，由三角形中位线定理推出，判定，推出，得到，求出，即可得出结果． 【详解】解：取中点M，连接， ∵点G是的重心， ，点E为的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（共24分） 11. 若，则=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】先把分式化简成已知的形式，再把已知整体代入即可 【详解】根据题意可得：原式=+1=． 【点睛】本题考查了分式的化简以及代入求值，解题的关键是运用整体思想代入求值． 12. 若两个相似三角形面积之比为，则它们的相似比为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴它们的相似比为； 故答案为：． 13. 设、是关于x的方程的两个根，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用，可得，，即可解答，熟记根与系数的关系的公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， ， 故答案为：． 14. 某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价元/盒，则该药品平均降价率是____． 【答案】 【解析】 【分析】设该药品每次的降价率是x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，检验后可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该药品每次的降价率是x， 依题意，得：， 解得：（舍去）， 答：该药品每次的降价率是， 故答案为：． 15. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案：50 16. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的正切值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，正确添加辅助线是解题的关键． 取格点H，连接，可根据勾股定理逆定理证明，由勾股定理得，显然，那么，由勾股定理得，再由正切定义即可求解． 【详解】解：取格点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，矩形中，，，P是上一点，，将沿着翻折到，连接，则的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作，则四边形是矩形，由折叠的性质可，，，设，，利用勾股定理得到，，利用代入消元法得到关于的一元二次方程，求解得到，进而得出，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作， 四边形是矩形， ，， 又， 四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可，，， 设，， ，， 在中，，即， 在中，，即， 整理得：， ， ， ， 将代入①得：， 解得：或（舍） ， ， 的面积， 故答案为：． 18. 已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，由函数解析式得二次函数的图象经过点，进而根据将二次函数先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到二次函数，可得平移后点，的坐标分别为，，据此即可求解，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象经过点， 将二次函数先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到二次函数， ∵二次函数的图象经过点，， ∴平移后点，的坐标分别为，， 即函数的图象经过的定点坐标为，， 故答案为：，． 三、解答题（共96分，其中19－20题每题8分，21－28题每题10分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，立方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用特殊锐角三角函数值，立方根的定义计算即可； （2）利用特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 21. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （）设，则，由相似三角形的性质得，代入数据即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴． 22. 已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值； （2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 【详解】解：（1）根据题意，将x=1代入方程， 得：， 解得：m=． （2）∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查根判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键. 23. 如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． （1）求的半径； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、扇形面积公式以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． （1）连接，，由圆周角定理得，进而利用勾股定理即可得解； （2）利用求解即可． 【小问1详解】 解：连接，，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的半径为； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， ∴ ． 24. 已知中，． （1）如图1，若，则______； （2）如图2，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． （1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，矩形，E是边上的定点． （1）用无刻度直尺和圆规在上作出所有使的点F．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，边上使得与相似的点F有且只有两个，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2）或4 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，以为圆心，为直径作圆，交与点，，即为所求； （2）分与相切和与的一个交点恰好经过，两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点，即为所求； 对于点，由题意和作图可知：，， ∴. 【小问2详解】 ∵边上使得与相似的点F有且只有两个， ∴①当与相切于点，如图，连接，则：， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当与的一个交点恰好经过时，如图： 则：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）； 经检验是原方程的解， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查尺规作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 26. 某种纪念品的成本价为每件10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为20元时，每天可售出600件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件．设每天的销售量为y（件），销售单价为x（元件）． （1）直接写出y关于x之间的函数关系式； （2）若销售该纪念品每天的利润为6720元，求该纪念品的销售单价； （3）若商家决定，每销售一件纪念品就捐赠a元（）给慈善机构，当每天销售最大利润为6400元时，求a的值． 【答案】（1）y关于x之间的函数关系式为 （2）该纪念品的销售单价为22 （3）a的值为4 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数，二次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）由600减去减小的数量，再列函数关系式即可； （2）由单件利润乘以销售数量可得总利润，再建立方程求解即可； （3）由单件利润乘以销售数量可得总利润，再建立二次函数解决问题即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价3倍， ∴． 【小问2详解】 解：由题意，得：， 解之得：， ， ∵， ∴． 答：该商品的销售单价为22元． 【小问3详解】 解：由题意可得：， 整理得：， 对称轴为直线：， ∵， ∴当，函数取得最大值， 最大值为：， 解得：； 27. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值． (3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或． 【解析】 【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解； （2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解； （3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解． 【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：…①； (2)设直线PD与y轴交于点G，设点， 将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则， ， ∵，故有最大值，当时，其最大值为； (3)∵，∴， ∵，故与相似时，分为两种情况： ①当时，，，， 过点A作AH⊥BC与点H， ，解得：， ∴CH＝ 则， 则直线OQ的表达式为：…②， 联立①②并解得：， 故点或； ②时， ， 则直线OQ的表达式为：…③， 联立①③并解得：， 故点或； 综上，点或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 28. 如图，中，，点I是的内心． （1）O是边上一点，以r为半径的恰好经过B、I两点，求r的值； （2）过点I的直线l分别交边、边于点M、N．以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，判断哪个结论正确并求出该定值． 【答案】（1）r的值为 （2）②正确，定值为 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，等边对等角得到，内心得到是的角平分线，推出，三线合一推出，证明，得到，设，则：，进行求解即可； （2）连接并延长，交于点，作，连接，三线合一结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的值，等积法求出为定值，三角函数求出，进行判断即可． 【小问1详解】 解：连接并延长，交于点，连接，则：， ∴， ∵点I是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ②正确，理由如下： 连接并延长，交于点，作，连接， ∵点I是的内心， ∴点I是的三条角平分线的交点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在中，， ∴在中，， ∵， ∴， 即：， ∴； 故为定值； 在中，， 在中，， ∴，， ∴， ∵，随着的变化而变化，不是定值， ∴不是定值． 【点睛】本题考查与三角形的内心有关的计算，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等积法求线段的长等知识点，熟练掌握内心是三角形的三条角平分线的交点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$