精品解析：广东省佛山市禅城区2024-2025学年上学期九年级数学期末试题

2024—2025学年第一学期期末考试 九年级数学 说明：本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在试卷上． 2．要作图或画表，要先铅笔进行画线，绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将方程改写成的形式，则的值分别为（ ） A. 1，4，2 B. 1，4， C. 1，，2 D. 1，， 2. 人从路灯下走过时，影子变化是（ ）． A 长→短→长 B. 短→长→短 C. 长→长→短 D. 短→短→长 3. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（ ） A. 每条边的长度 B. 每个内角的度数 C. 面积 D. 周长 4. 若双曲线经过点，则实数的值为（ ） A. B. 12 C. 24 D. 5. 某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，，（单位：），则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. 4.5 C. 3.5 D. 3 7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高为（ ） A. B. C. D. 8. 某超市推出促销活动吸引顾客：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”，“10”，“20”，“30”，顾客只要在超市一次性消费满200元，便可从箱子同时摸出两个小球，并根据两球所标金额之和换取等值的购物券，陈叔叔消费了200元，则他所获得购物券的金额不低于30元的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为，则它的两条对边的距离应为（ ） A. B. C. D. 10. 某市举行中学生梦想杯才艺大赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校成绩的优秀率与该校参赛人数的情况，乙、丁两校对应的点在同一双曲线上，则四所中则优秀人数最多的是（ ） A. 甲校 B. 乙校 C. 丙校 D. 丁校 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡相应位置） 11. 日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”） 12. 在函数中，函数值随增大而______． 13. 若关于x的方程有一个根是2，则另一个根为___________． 14. 某污水净化站今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，则这两个月净化污水量每月平均增长率为______． 15. 如图，过扇形圆弧边上点动在内部作正方形（四个顶点分别在扇形的半径和弧上），若，，则的长为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题每小题7分，共24分．） 16. （1）填空：方程的根为______； （2）解方程： 17. 如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，判断的形状并说明理由． 18. 某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： （1）估计完好的橙子的质量约有 千克； （2）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？（精确到元） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，现有一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在O点左侧处挂一个重的物体，在点O的右侧处用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤的示数F（单位：）与相应的L的部分实验数据如下表： … 10 15 20 25 … … 30 20 15 a … （1）填空：表中a的值为______． （2）猜想并验证F与L之间的函数关系式． （3）保持木杆处于水平状态，移动弹簧秤到什么位置时，弹簧秤的示数F最小？是多少？ 20. 中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？ 21. 项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究． 【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2： 表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 经过放置区的师生人数 80 110 70 90 使用共享雨伞的人数 6 8 7 6 表2：雨天经过放置区平均人流量 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 人流量（单位：人） 280 330 200 225 【问题解决】 （1）经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？ （2）请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合探究 如图1，在矩形中，，动点在边上，连接． （1）过点作交于， ①当，求证：． ②当时，求的值（用含的代数式表示）． （2）如图2，动点在边上，将矩形沿折叠，点、折叠后的位置分别是点、，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 23. 综合运用 如图，中，，点在的下方，，平分，在线段上取点，使，设． （1）如图1，当时，求证：． （2）如图2，当时，判断、、之间的数量关系并说明理由． （3）如图3，现以所在的直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，、两点的坐标分别为，（实数）．若（为常数且），求面积关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末考试 九年级数学 说明：本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在试卷上． 2．要作图或画表，要先铅笔进行画线，绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将方程改写成的形式，则的值分别为（ ） A. 1，4，2 B. 1，4， C. 1，，2 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【详解】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为1，，2， 故选：C． 2. 人从路灯下走过时，影子的变化是（ ）． A. 长→短→长 B. 短→长→短 C. 长→长→短 D. 短→短→长 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，离光源是由远到近再到远的过程，根据中心投影的特点，即可得到身影的变化特点． 【详解】解：因为人在路灯下行走的这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以人在地上的影子先变短后变长． 故选：A． 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 3. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（ ） A. 每条边的长度 B. 每个内角的度数 C. 面积 D. 周长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质．根据相似多边形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变． 故选：B． 4. 若双曲线经过点，则实数的值为（ ） A. B. 12 C. 24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，代入求值是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴．   故选：D ． 5. 某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，，（单位：），则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线等分线段定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ，即， 解得：． 故选B． 6. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. 4.5 C. 3.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：， 在中，是的中线， 故选：D． 7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．先证明，得到，求出的长度即可． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， ， 即树高为， 故选：D． 8. 某超市推出促销活动吸引顾客：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”，“10”，“20”，“30”，顾客只要在超市一次性消费满200元，便可从箱子同时摸出两个小球，并根据两球所标金额之和换取等值的购物券，陈叔叔消费了200元，则他所获得购物券的金额不低于30元的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及他所获得购物券的金额不低于30元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 0 10 20 30 0 10 20 30 共有12种等可能的结果，其中他所获得购物券的金额不低于30元的结果有：，，，，，，，，共8种， 他所获得购物券的金额不低于30元的概率为． 故选：B． 9. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为，则它的两条对边的距离应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查菱形有性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形的边长是解题的关键．设最外层菱形为菱形，它的对角线、相交于点，，，由，得，而，，所以，设菱形两条对边的距离，则，解方程求出的值即得到问题的答案． 【详解】解：如图，菱形的对角线、相交于点，，， ， ， ，， ， 设菱形两条对边的距离， ， ， 解得， 它的两条对边的距离应为， 故选：A． 10. 某市举行中学生梦想杯才艺大赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校成绩的优秀率与该校参赛人数的情况，乙、丁两校对应的点在同一双曲线上，则四所中则优秀人数最多的是（ ） A. 甲校 B. 乙校 C. 丙校 D. 丁校 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用题，读懂题意、并熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 根据反比例函数图象与性质求解即可． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数，则： ①，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数＜乙学校优秀人数=丁学校优秀人数＜丙学校优秀人数， ∴在这中学生梦想杯才艺大赛中成绩优秀人数最多的是丙学校． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡相应位置） 11. 日晷是我国古代一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可． 【详解】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线， ∴晷针在晷面上形成投影是平行投影， 故答案：平行． 【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影． 12. 在函数中，函数值随的增大而______． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据在每一象限内，函数值随的增大而减小可得答案． 【详解】解：在函数中，函数值随的增大而减小， 故答案为：减小 13. 若关于x的方程有一个根是2，则另一个根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2t=-8，然后解一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得2t=-8， 解得：t=-4， 即方程的另一个根为-4. 故答案为：-4． 【点睛】本题考查根与系数的关系，注意掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 14. 某污水净化站今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，则这两个月净化污水量每月的平均增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两个月净化污水量每月的平均增长率为x，根据今年10月份净化污水6万吨，12月份增加到7.26万吨，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这两个月净化污水量每月的平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 故答案为：． 15. 如图，过扇形圆弧边上点动在内部作正方形（四个顶点分别在扇形的半径和弧上），若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理进行几何计算是解决问题的关键．也考查了正方形的性质．连接，如图，设正方形的边长为，则，利用△为等腰直角三角形得到，，再利用勾股定理计算出，所以，然后求出，从而得到的长． 【详解】解：连接，如图， 设正方形的边长为，则， ， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题每小题7分，共24分．） 16. （1）填空：方程的根为______； （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 或， ，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 或， ， 17. 如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，判断的形状并说明理由． 【答案】是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判断，证明，得到，，推出，即可得出结果． 【详解】解：是等腰直角三角形 理由：矩形与矩形全等， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 18. 某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： （1）估计完好的橙子的质量约有 千克； （2）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？（精确到元） 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，一元一次方程应用，解题的关键是在图中得到必要的信息，求出柑橘损坏的概率；用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据图形即可得出橙子损坏率，再用整体减去橙子损坏率即可得出橙子完好率，然后乘以即可得出答案； （2）设每千克的售价应为元，根据每千克的利润乘以总斤数等于总利润，列出方程，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据所给的图可得：橙子损坏率估计值为， 橙子完好率估计值为， 估计完好的橙子的质量约有（千克）； 故答案为：； 小问2详解】 解：设每千克的售价应为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每千克的售价应大约为元． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，现有一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在O点左侧处挂一个重的物体，在点O的右侧处用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤的示数F（单位：）与相应的L的部分实验数据如下表： … 10 15 20 25 … … 30 20 15 a … （1）填空：表中a的值为______． （2）猜想并验证F与L之间的函数关系式． （3）保持木杆处于水平状态，移动弹簧秤到什么位置时，弹簧秤的示数F最小？是多少？ 【答案】（1）12 （2）猜想：，见解析； （3）距离为时，弹簧秤的示数最小，为 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用； （1）由的乘积为定值，再列式计算可得的值； （2）先猜想，再进行验证即可； （3）根据反比例函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：猜想： 验证：，， 与成反比例函数关系，且（求三个点的乘积 确定定值） 猜想正确； 【小问3详解】 解：，， 当时，随的增大而减小 ， 当取最大值时，取最小值， 木杆长100cm，为木杆的中点，故， 当时，， 距离为50cm时，弹簧秤的示数最小，为6N． 20. 中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？ 【答案】每辆汽车的售价应定为24万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意正确找到题中的等量关系是解题的关键． 设每辆汽车售价降低万元，则多买辆，根据题意列出方程，解答分析即可． 【详解】解：设每辆汽车售价降低万元，则多卖辆， 由题意得：， 化简得：， 解得：，， 要尽可能给顾客更多优惠， 取， ， ∴每辆汽车的售价应定为24万元． 21. 项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究． 【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2： 表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 经过放置区的师生人数 80 110 70 90 使用共享雨伞的人数 6 8 7 6 表2：雨天经过放置区的平均人流量 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 人流量（单位：人） 280 330 200 225 【问题解决】 （1）经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？ （2）请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求． 【答案】（1）经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是； （2）投放方案是教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把 【解析】 【分析】本题主要考查了统计与概率，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由表格直接代入公式求解即可； （2）先计算4个放置区使用共享雨伞的平均人数，从而得到雨天使用的平均人数，进而根据比例求解即可． 【小问1详解】 解：由表1可知，经过饭堂的师生有70人，使用共享雨伞的有7人， ∴经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是． 答：经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是； 【小问2详解】 解：4个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼： 图书馆： 饭堂： 宿舍楼： ∴雨天使用共享雨伞的平均人数约为：， ∴教学楼： 图书馆： 饭堂： 宿舍楼： ∴投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把． 答：投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合探究 如图1，在矩形中，，动点在边上，连接． （1）过点作交于， ①当，求证：． ②当时，求的值（用含的代数式表示）． （2）如图2，动点在边上，将矩形沿折叠，点、折叠后的位置分别是点、，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①，从而，，从而，从而得出，从而， ②可推出，，从而，从而； （2）取的中点，连接，作，交于，可证得四边形是平行四边形，从而；根据对称得出点和点关于对称，，，从而得出，从而，从而，进一步得出结果． 【小问1详解】 ①证明：如图1， 设，交于点， 当，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ②解：由①知， ，， ， ； 【小问2详解】 解：如图2， 取的中点，连接，作，交于， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， ， 矩形沿折叠，点、折叠后的位置分别是点、，点恰好是线段的中点， 点和点关于对称，， ， ， 由②知，， ， 不妨设，，则， ， ， ， ． 23. 综合运用 如图，中，，点在的下方，，平分，在线段上取点，使，设． （1）如图1，当时，求证：． （2）如图2，当时，判断、、之间的数量关系并说明理由． （3）如图3，现以所在的直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，、两点的坐标分别为，（实数）．若（为常数且），求面积关于的函数表达式． 【答案】（1）见解析； （2），见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，，证明，则可得出结论； （2）过点C作于M，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （3）与（2）同理可得：，得出，由题意可知：，，则，过点C作于H，证明，得出，求出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：． 理由：过点C作于M， ∵，， ∴、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等腰与等腰的底角相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：依题意得：，， ∴， ∴， 与（2）同理可得：， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于H， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 即S关于n的函数表达式为． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$