精品解析：广东省广州市骏景中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

骏景中学2024学年第二学期3月考试卷 九年级（数学） 本试卷共三大题25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1、3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的班别、考号、姓名；再用2B铅笔把对应考号的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．填空题和解答题都不要抄题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔．圆珠笔和涂改液（带）．不按以上要求作答的答案无效． 4．必频保持答题卡的整洁．者试结束后、将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 月饼是中秋节的美食代表，承载着深厚的中华文化底蕴．如图所示是一个月饼盒，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的俯视图．理解三视图的意义是正确判断的前提． 根据俯视图是从物体的上面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：C． 2. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴或， 解得，． 故选：C 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A正确； ，故选项B错误； 和不是同类项，无法进行计算，故选项C错误； 和不是同类项，无法进行计算，故选项D错误； 故选A． 5. 透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 6. 地面上铺满了正方形的地砖，现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键，根据频率估计概率即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，圆碟与地砖间的间隙相交的频率在左右， 可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为 故选：B 7. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：C 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 若双曲线经过点，则点在双曲线上 D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．对各个命题逐个判断即可得到答案． 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，是真命题，故选项A不符合题意； 对角线相等的菱形是正方形，是真命题，故选项B不符合题意； 若双曲线经过点，故，则双曲线解析式为， 将代入，， 则点在双曲线上，是真命题，故选项C不符合题意； 有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，是假命题，故选项D符合题意； 故选D． 10. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，掌握完全平方公式的变形运用是解题的关键． 将转化为，设，则， 代入得，整理得，由根的判别式，解得或，从而求出的最小值． 【详解】解： ， ∵， 原式 设，则， ∴ 整理，得， 当，解得或，方程有解， 当时，原式， 当时，原式， 的最小值是0 故选：C． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练应用提取公因式和平方差公式是解题的关键．先提取公因数，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则关于x的不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，根据同小取小的原则，结合数轴进行求解即可． 【详解】解：由数轴可得， 所以关于x的不等式组的解集是． 故答案为：． 14. 如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，在正方形中，E为上一点，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接交于点G．若，，则的长为__． 【答案】6 【解析】 【分析】设，表示出，，，，然后证明出，得到，然后代入解方程即可求解． 【详解】∵四边形是正方形 ∴设 ∵，， ∴， ∵将绕点D按逆时针方向旋转，得到， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得或（不符合题意，舍去） 经检验，是原方程的解 ∴的长为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，解分式方程和一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 如图，顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的m，均有③；④若，则；⑤⑥不等式的解集为其中正确的为____（填序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了函数与不等式，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质，将二次函数与不等式结合，逐个进行判断即可． 【详解】解：顶点为的抛物线， 设顶点式为， 把代入， 解得，故⑤正确； ， 即， ， ，故①正确； 当时，有最小值， 对于任意的m，均有，即故②错误； ，故③正确； 抛物线的对称轴为， 当或时，， 当，则或，故④错误； 解方程得 抛物线与直线的交点的横坐标分别为， 当或时，， 故不等式的解集为或，故⑥错误． 故答案为：①③⑤． 三．解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出详细过程或计算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 18. 在和中，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键． 由，可得，由，可得，进而结论得证． 【详解】略 19. 已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，根据点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点，可得，代入可解得，故点的坐标为． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点， ∴， ∵两点都在函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 20. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】（1） 解：依题意作图如下，则即为所求作的高： （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可； （2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，是边上的高， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键． 21. 我市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表． 志愿服务时间(小时) 频数 请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题： （1）表中_____；扇形统计图中“”部分所占百分比为_____，若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为_____人； （2）若陈老师和李老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图，画树状图法求概率； （1）先根据“”部分的人数与占比求得总人数，进而求得的值，根据“”的人数除以总人数求得占比，进而根据样本估计总体求得志愿服务时间多于小时的教职工人数； （2）设三个路口分别为，，，画树状图法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为人， ∴， 扇形统计图中“”部分所占百分比为 若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为 故答案为：；，． 【小问2详解】 设三个路口分别为，，，画树状图如下： 共有种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有种． 所以， 22. 某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为． （1）起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）； （2）若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长． 【答案】（1）； （2）原正方形空地的边长为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据题意，列出的代数式即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，起飞区的边的长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解∶ 根据题意可得：，即， 解得：，舍去 答：原正方形空地的边长为． 23. 1综合与实践 【发现并提出问题】 在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？ 【分析并解决问题】 探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系 （1）以正方形的顶点O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为，再以正方形的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，然后按图2的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子． 请在图1中画出正方形，此时盒子的高h为______； 探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系 （2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形中，若，，则盒子的高为______；（用含a的代数式表示） 【推广并创新应用】 探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系 （3）如图6，矩形硬纸片中，，，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高．（用含有m，n的代数式表示） 【答案】（1）如图1， 正方形即为所求； 1； （2）； （3）PQ＝ 【解析】 【分析】本题考查了图形的位似，正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形等； （1）按要求作出位似图形，即可求解； （2）由位似的性质得，解和，即可求解； （3）四个阴影部分四边形是四个全等的正方形，由正方形的性质得，设，则，，由盒子得底部面积和盖子面积可得，即可求解； 掌握位似图形的画法，正方形的性质、菱形的性质，能熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， 正方形即为所求； 正方形与正方形相似比为， ， ， 点B的坐标为， ， 盒子的高h为1； 故答案为：1； （2）如图2，过作交于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）如图3， 由题意得， 四个阴影部分四边形是四个全等的正方形， ， 设， 则，， 由盒子得底部面积和盖子面积可得， ， ， 24. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； （2）当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）①直线；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）①将点代入函数表达式得到，再利用二次函数的性质求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数的最大值为，进而求得c值即可； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则当时，该函数的最小值为，然后分当时和当时两种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值，再根据已知列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又∵时， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由得抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，该函数的最小值为， 当时，当时，该函数取得最大值， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，当时，该函数取得最大值c， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，符合题意的b值为或． 25. 某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ （1）小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． （2）当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整： 解：作的外接圆，作于H，设 （3）请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示） （4）如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）8，16 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）当和点重合时，，此时最小为4，从而得出； （2）作的外接圆，作于，设，依次表示出，，，，根据列出，从而得出的最小值，进一步得出结果； （3）同（2）步骤相同：作的外接圆，作于，设圆的半径为，依次表示出，，，根据列出方程，从而得出的最小值，进一步得出结果； （4）作，交于，可证得，从而得出，可证得，从而得出由（3）结论知：的最小值，进而变形得出的最小值，可得出，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：， ， 当和点重合时，，此时最小为4， ， 最小， 故答案为：8，16； 【小问2详解】 解：如图1， 作的外接圆，作于，设， ， ， ，， ， ， ， 当点在上时，，此时最小， ； 【小问3详解】 解：如图2， 作的外接圆，作于，设， ， ，， ， ，， ， ， ， 当点在上时，，此时， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图3， 作，交于， ， ， ， ，， ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等有关知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 骏景中学2024学年第二学期3月考试卷 九年级（数学） 本试卷共三大题25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1、3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的班别、考号、姓名；再用2B铅笔把对应考号的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．填空题和解答题都不要抄题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔．圆珠笔和涂改液（带）．不按以上要求作答的答案无效． 4．必频保持答题卡的整洁．者试结束后、将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 月饼是中秋节的美食代表，承载着深厚的中华文化底蕴．如图所示是一个月饼盒，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 地面上铺满了正方形的地砖，现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 8. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 若双曲线经过点，则点在双曲线上 D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 10. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 因式分解：______． 13. 如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则关于x的不等式组的解集是______． 14. 如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为______． 15. 如图，在正方形中，E为上一点，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接交于点G．若，，则的长为__． 16. 如图，顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的m，均有③；④若，则；⑤⑥不等式的解集为其中正确的为____（填序号）． 三．解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出详细过程或计算步骤） 17. 计算： 18. 在和中，，，求证：． 19. 已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 20. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 21. 我市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表． 志愿服务时间(小时) 频数 请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题： （1）表中_____；扇形统计图中“”部分所占百分比为_____，若我市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工人数大约为_____人； （2）若陈老师和李老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率． 22. 某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为． （1）起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）； （2）若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长． 23. 1综合与实践 【发现并提出问题】 在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？ 【分析并解决问题】 探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系 （1）以正方形的顶点O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为，再以正方形的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，然后按图2的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子． 请在图1中画出正方形，此时盒子的高h为______； 探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系 （2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形中，若，，则盒子的高为______；（用含a的代数式表示） 【推广并创新应用】 探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系 （3）如图6，矩形硬纸片中，，，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高．（用含有m，n的代数式表示） 24. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； （2）当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 25. 某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ （1）小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． （2）当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整： 解：作的外接圆，作于H，设 （3）请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示） （4）如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $