精品解析：2025年山东省济南市历下区九年级学业水平第一次模拟考试数学试题

2025年九年级学业水平第一次模拟考试 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 大汶口文化以一群特点鲜明的陶器为主要特征．如图是山东博物馆收藏的涡纹彩陶壶，关于它的三视图，说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据几何图形确定三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，均为涡纹彩陶壶的纵向剖面图，俯视图为同心圆，与左视图和主视图不相同； 故选：A． 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：3370万． 故选：． 4. 将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．先求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵直尺两边平行， ∴， 故选：B． 5. 剪纸是中国独特的民间艺术，如图是我国传统文化中的“福禄寿喜”剪纸图，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，平方差公式，单项式乘以单项式，积的乘方．据此相关运算法则进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意得到共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是， 故选：A． 8. 某射击比赛，甲、乙两名运动员成绩如图所示，根据此统计图，下列结论错误的是（ ） A. 甲队员成绩的中位数是环 B. 乙队员成绩的众数是环 C. 乙队员的成绩比甲队员的成绩更稳定 D. 乙队员成绩的平均数是环 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、中位数、众数、平均数，解决本题的关键是根据中位数、众数、平均数的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：从折线统计图中可以看出甲的成绩分别是、、、、、、、、、，把这一组数据按照从小到大的顺序排列，可得：、、、、、、、、、，中位数为，故A选项错误； B选项：乙队员成绩中环出现了次，所以乙队员成绩的众数是环，所以B选项正确； C选项：从折线统计图中可以看出乙队员的成绩比甲队员的成绩更加稳定，所以C选项正确； D选项：乙队员成绩的平均数是，故D选项正确． 故选：A ． 9. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到． 10. 定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的变换，理解并掌握“完美点”的定义，是解题的关键．令，得到，求出的值判断①，求出的解析式，将完美点代入，求出的值判断②，求出点坐标，得到轴时，直线为，根据抛物线的解析式，得到抛物线恒过，进而得到存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴，判断③． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：， ∴抛物线L上的完美点是或；故①正确； ∵将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线L上的完美点也在抛物线上， ∴当在直线上时，，解得：； 当在直线上时，，解得：， ∴或；故②正确； ∵， ∴当时，， ∴， ∵轴，则：直线为， ∵， ∴当时， ， ∴抛物线恒过点， ∴存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴；故③正确； 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为______个． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案． 【详解】解：设绿球的个数为x个，则这个不透明的盒子中共装有个球， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴绿球的个数为12个． 故答案为：12． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法的步骤及平方差公式的结构特征是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，等边是的内接三角形，若的半径为，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，连接并延长并于点，根据垂径定理和等边三角形的性质求出的面积，再利用扇形的面积公式结合图形求解． 【详解】解：连接、，连接并延长并于点，如下图， 则． 等边是的内接三角形， ， ，， ，， ， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积公式，垂径定理，含的直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算，作出辅助线求出的面积是解答关键． 14. 虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴， 又∵时，， ∴设， 将代入得，解得， ∴， ∵甲容器向乙容器注水，始终有， ∴， ∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点M与点N分别在边与上，，将沿翻折得到，连接并将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由折叠的性质得，，证明是等边三角形得，可得点在与夹角为 的射线上运动，设 交于点，证明是等边三角形得，由 可知将逆时针旋转后所得线段在上，证明，求出，得出点在直线上运动，作于点，则当与重合时，的值最小．求出即可求解． 【详解】解：连接并延长， ∵在中，， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， ∴是等边三角形， ， ∴点在与夹角为的射线上运动， 设交于点， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴将逆时针旋转后所得线段在上， ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴点在直线上运动， 作于点H，则当E 与H 重合时，的值最小． ， ∴的值最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点和点运动的轨迹是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，首先根据绝对值的定义、指数幂、负值数幂、特殊角的三角函数值把算式中的各部分分别计算出来，可得：原式，然后再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1． 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集是， 整数解为，0，1． 18. 已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据平行四边形的性质证明得到，再由等角的补角相等得到，即可证明平行． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 19. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% （1）填空：______；______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）87，89，40 （2）七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 （3）估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为86与88的平均数， 由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：87，89，； 【小问2详解】 解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由： 由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前信息技术的了解的优秀率； 【小问3详解】 解：由题意可得， （人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 20. 中国集装箱船的制造能力位居全球前列．某校“综合实践”小组想了解大型集装箱船的相关内容，收集得到如下记录表： 探究大型集装箱船的相关数据 素材1 图1是一艘大型集装箱船实物图与示意图，靠近船尾的塔台与甲板垂直．在驾驶舱|A处观测船头C的俯角为，已知米，． 素材2 我们把船体在水面以下的高度叫做吃水深度．如图2，当集装箱船满载时，船体吃水深度为15米．此时在驾驶舱A处观测船头障碍点M的视线与水面l交于点P，俯角为．已知，船头夹角，集装箱船总高为66米（塔台顶端A至船底距离）． 素材3 如图2，根据相关安全规定，点P与点Q的距离不能超过500米． 图示 图1 图2 问题解决 任务（1） 求驾驶塔台的高度； 任务（2） 请通过计算说明，满载时该船是否符合相关安全规定？ （结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，，，，） 【答案】任务（1）米；任务（2）满载时该船符合相关安全规定． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用任务． （1）由题意得，代入数据，计算即可求解； 任务（2）延长交水面l于点，作于点，先求得米，米，在中，求得的长，在中，求得和的长，据此求解即可判断． 【详解】解：任务（1） 由题意得， ∵，米， ∴米； 任务（2）满载时该船符合相关安全规定．理由如下： 延长交水面l于点，作于点， 则四边形是矩形， 由题意得米，米，， 在中，，， ∴米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴， ∴满载时该船符合相关安全规定． 21. 如图，在中，是的内接三角形，是的直径，在上取一点D，使，过点C的切线分别与的延长线交于点E，F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理和切线的性质求得，，推出，由等边对等角求得，推出，由等角对等边即可证明； （2）先推出，推出，求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径，是的切线，切点为点C， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. “明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 （1）该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ （2）因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； （2）第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得到，求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件， 根据题意得，， 解得， 答：该文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； 【小问2详解】 解：由题知：， 解得，， ， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 23. 直线与双曲线交于点，交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可； ②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵在的图象上， ， 解得：． 【小问2详解】 解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设，则有， ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ； ②连接，由平移可得：，即， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知， ∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到． 24. 已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． （1）如图1，求该抛物线的解析式； （2）作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）①或；②点E的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分两种情况讨论：当在轴上方时和当在轴下方时，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理确定点的坐标，然后代入函数解析式并求解，进一步即可获得答案； ②分两种情况讨论，当点在的上方时，作于点，设，求得，，利用待定系数法求得；当点在的下方时，点在的垂直平分线上，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①分两种情况讨论： 当在轴上方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴； 当在轴下方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴． 综上所述，点的坐标为或； ②当点在的上方时，，且，如图，作于点， ∴，，，设， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，代入得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴； 当点在的下方时，，且，如图， ∴点在的垂直平分线上， ∴， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏． 25. 在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连． （1）如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______； （2）如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H． 求证：； （3）在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，推出，，得到，，据此即可得到答案； （2）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，推出，据此即可证明； （3）连接，，推出，，证明得到，得到，利用勾股定理求得，，得到，从而证明，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设与相交于点， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下，如图，连接，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级学业水平第一次模拟考试 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 大汶口文化以一群特点鲜明的陶器为主要特征．如图是山东博物馆收藏的涡纹彩陶壶，关于它的三视图，说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 剪纸是中国独特的民间艺术，如图是我国传统文化中的“福禄寿喜”剪纸图，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某射击比赛，甲、乙两名运动员成绩如图所示，根据此统计图，下列结论错误的是（ ） A. 甲队员成绩的中位数是环 B. 乙队员成绩的众数是环 C. 乙队员的成绩比甲队员的成绩更稳定 D. 乙队员成绩的平均数是环 9. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为______个． 12. 因式分解：______． 13. 如图，等边是的内接三角形，若的半径为，则阴影部分的面积为______． 14. 虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______． 15. 如图，在中，，，，点M与点N分别在边与上，，将沿翻折得到，连接并将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 19. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% （1）填空：______；______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 20. 中国集装箱船的制造能力位居全球前列．某校“综合实践”小组想了解大型集装箱船的相关内容，收集得到如下记录表： 探究大型集装箱船的相关数据 素材1 图1是一艘大型集装箱船实物图与示意图，靠近船尾的塔台与甲板垂直．在驾驶舱|A处观测船头C的俯角为，已知米，． 素材2 我们把船体在水面以下的高度叫做吃水深度．如图2，当集装箱船满载时，船体吃水深度为15米．此时在驾驶舱A处观测船头障碍点M的视线与水面l交于点P，俯角为．已知，船头夹角，集装箱船总高为66米（塔台顶端A至船底距离）． 素材3 如图2，根据相关安全规定，点P与点Q的距离不能超过500米． 图示 图1 图2 问题解决 任务（1） 求驾驶塔台的高度； 任务（2） 请通过计算说明，满载时该船是否符合相关安全规定？ （结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，，，，） 21. 如图，在中，是的内接三角形，是的直径，在上取一点D，使，过点C的切线分别与的延长线交于点E，F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. “明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 （1）该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ （2）因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 23. 直线与双曲线交于点，交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 24. 已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． （1）如图1，求该抛物线的解析式； （2）作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 25. 在矩形中，，点E，F分别为直线上的动点，且，连． （1）如图1，若点E，F分别在边上，则与的位置关系为______，数量关系为______； （2）如图2，若点E，F分别在边的延长线上，EC的延长线与DF交于点H． 求证：； （3）在（2）的条件下，点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $