精品解析：山东省菏泽市曹县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

高中二年级下学期第一次月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义计算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 2. 函数的单调递减区间是，则（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据是的实数根即可求解. 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 3. 曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性，结合及充分、必要性定义即可得答案. 【详解】对应，有，故在R上单调递增， 若，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ） A. 是函数的极大值点； B. 是函数的最小值点； C. 在区间上单调递增； D. 在处切线的斜率小于零． 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的导函数的图象对A，B，C，D四个选项逐个判断即可． 【详解】解：由函数的导函数的图象可知， A．左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以是函数的极小值点，故错误，不符合题意； B．左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，不是函数的最小值点，故B错误，不符合题意； C．当时，，单调递增，故C正确，符合题意； D．由图象得，所以在处切线的斜率大于零，故D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项． 【详解】解：，定义域为， ， 令，得， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C， 当时，，，，所以，排除B， 只有D中图象符合题意； 故选：D 7. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数运算法则及求导公式，逐项计算即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 在处取得最大值 C. 有两个不同零点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A、B，令函数等于0，求出零点即可判断C，利用函数单调性即可判断D. 【详解】函数的导数， 令得， 则当时，，函数为增函数， 当时，，函数为减函数， 则当时，函数取得极大值，极大值为， 故A正确， 由上述可知当时，函数的极大值即为最大值，且最大值为， 故B正确， 由，得，得，即函数只有一个零点， 故C错误， 由， 所以， 由时，函数为减函数，知， 故成立， 故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，以及时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当，函数取得极小值； 当，函数取得极大值， 当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确； 对于B中，函数既存在极大值又存在极小值，所以B正确； 对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确； 对于D中，若方程有且只有两个实根， 即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有_______. 【答案】48 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列计数问题列式计算得解. 【详解】求不同的涂色方法有两类办法：用4种颜色涂4个区域有种；若同色，用3种颜色，有种， 由分类加法计数原理，不同的涂色方法共有（种）. 故答案为：48 13. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可. 【详解】， 由题意知，在上有实数解， 即有实数解， 当时，显然满足， 当时，只需 综上所述 故答案为： 【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题. 14. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由零点的定义，将问题等价于函数图象交点，结合图象，利用导数与切线，可得答案. 【详解】因为有三个不同零点，所以有三个不同实根， 所以，的图象有三个交点， 在同一平面直角坐标系中作出，的图象， 当经过点时，代入坐标可得，解得； 当与的图象相切时， 设切点为，因为此时，所以， 所以切线方程为，即， 所以，可得； 结合图象可知，若，的图象有三个交点，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数在处有极值4. （1）求a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最小值是，最大值是. 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义得到关于，的方程组，即可求出，. （2）判断函数在上的单调性，结合函数的极值和端点函数值求解. 【小问1详解】 ， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4， 故，. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. 16. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数无零点，用第（1）问结论求的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的极值. （2）根据的极小值列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得：定义域为，； 令，解得：， 则当时，；当时，； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为，无极大值. 小问2详解】 由（1）知：的极小值即为的最小值，即； 若无零点，则，即，∴，解得：， 则的取值范围为. 17. 不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ 【答案】当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小. 【解析】 【分析】设速度为海里/时的燃料费是p元/时，由题设的比例关系得，由数据可得，列出航行1海里的总费用为，再利用导数求出最值即可. 【详解】设速度为海里/时的燃料费是p元/时， 由题设比例关系得，其中k为比例系数. 由，，得， 于是. 设船的速度为海里/时，航行1海里所需的总费用为y元， 而每小时所需的总费用是元，航行1海里所需时间为， 所以航行1海里的总费用为 . 所以. 令，解得. 因为当时，；当时，， 所以当时，y取得最小值. 故当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小. 【点睛】本题考查了分式函数模型、利用导数求最值，考查了考生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题. 18. 已知函数． （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）若是函数的极值点，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由参数分离整理不等式，并构造函数，利用导数求得新函数的最值，可得答案； （2）根据极值点与导数的关系，可得极值点的取值范围以及等量关系，整理所证的不等式，可得答案. 【小问1详解】 由，则可得不等式， 由，则，令， 求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得. 【小问2详解】 由，则，令， 求导可得在上恒成立， 则函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 由是函数的极值点，则，即， 由，则， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 【答案】（1）极小值0，无极大值． （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即可； （2）利用导数与函数单调性间关系，分类讨论求的单调区间即可； （3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解. 【小问1详解】 函数，， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且为增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 当时，函数是“函数”， 求导得， 设曲线与直线切点， 则，故，即， 所以且， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中二年级下学期第一次月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间是，则（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 0 3. 曲线在处切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ） A. 是函数的极大值点； B. 是函数的最小值点； C. 在区间上单调递增； D. 在处切线的斜率小于零． 6. 函数大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 在处取得最大值 C. 有两个不同零点 D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有_______. 13. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是________. 14. 已知函数，若函数有三个不同零点，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数在处有极值4. （1）求a，b值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数无零点，用第（1）问结论求的取值范围. 17. 不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ 18. 已知函数． （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）若是函数的极值点，求证：． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$