精品解析：湖北省武汉市育才高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年度武汉市育才高中3月月考 高二数学试卷 命题教师：何幼林 审题教师：范晶 考试时间：2025年3月21日 试卷满分：150分 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 下列等式中，不正确是（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列数列的前项和为，若，则（ ） A. 30 B. 28 C. 26 D. 24 3 等比数列中，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数有（ ） A. 极大值为5，无极小值 B. 极小值为，无极大值 C. 极大值为5，极小值为 D. 极大值为5，极小值为 5. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极小值1，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（ ）． A. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 和是中的最小项 C. 是数列中的最小项 D. 满足的的最大值为25 11. 设函数，则（ ） A. 有极大值，且有最大值 B. 有极小值，但无最小值 C. 若方程恰有一个实根，则 D. 若方程恰有三个实根，则 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 有两排座位，前排10个座位，后排10个座位，现安排2人就座，规定前排中间的两个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是___________ 13. 某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同排课方法共有____种． 14. 将数据，，，…排成如图三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________. 四、解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知函数. （1）求解析式； （2）判断在上的单调性. 16. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. （1）求的值; （2）已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值. 17. 设数列的前n项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和. 18. 名男生和名女生站成一排． （1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ （2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ （3）男、女分别排在一起的站法有多少种？ （4）男、女相间的站法有多少种？ （5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性并求极值. （2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度武汉市育才高中3月月考 高二数学试卷 命题教师：何幼林 审题教师：范晶 考试时间：2025年3月21日 试卷满分：150分 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 下列等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数和排列数公式分别计算可判定ABC，利用组合数的性质，组合数与排列数的关系可判定D. 【详解】故A正确； ,故B错误； ,故C正确； ,故D正确. 故选：B. 2. 设等差数列数列的前项和为，若，则（ ） A. 30 B. 28 C. 26 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质，结合前项和公式，即可直接求得结果. 【详解】根据等差数列的下标和性质，由可得：，故； 则. 故选：C 3. 等比数列中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，进而求出首项即可得解. 【详解】依题意，等比数列的公比，则，解得， 因此，所以. 故选：B 4. 函数有（ ） A. 极大值为5，无极小值 B. 极小值为，无极大值 C. 极大值为5，极小值为 D. 极大值为5，极小值为 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可求出结果. 【详解】, 由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取得极大值，无极小值. 故选：A 5. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合导数判断函数的单调性，即可求出函数的最大值. 【详解】解：函数的定义域为，则令，解得， 当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减， 则当时，函数有最大值，为， 故选:D. 6. 已知函数在处取得极小值1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值定义进行求解即可. 【详解】由， 因为在处取得极小值1， 所以有， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以是函数的极小值点，故满足题意， 于是有. 故选：C 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的区间单调性，应用导数可得在上恒成立，构造并研究单调性即可求的取值范围. 【详解】由，得， 由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立. 令，在上， ∴在上单调递减，即， ∴，故的取值范围. 故选：. 8. 已知函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求导确定函数的单调性，再由已知得，则不等式可转化为，即可得解集. 【详解】设，则，所以在上单调递减， 又，原不等式可化为，即， 所以，即不等式的解集为. 故选：B. 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（ ）． A. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 【答案】AC 【解析】 分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】对于AB选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法， 后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误； 对于CD选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择， 第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择， 根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误． 故选：AC. 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 和是中的最小项 C. 是数列中的最小项 D. 满足的的最大值为25 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可计算出，结合可判断ABC，写出的表达式可判断D. 【详解】对于选项A：因为即，所以，即， 所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确； 对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误； 对于选项D：由不等式，可得，又因为， 所以满足的的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AB 11. 设函数，则（ ） A. 有极大值，且有最大值 B. 有极小值，但无最小值 C. 若方程恰有一个实根，则 D. 若方程恰有三个实根，则 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程的根的情形． 【详解】由题意， ∴当或时，，当时，， 在和上递增，在上递减． 极大值＝，极小值＝， 或时，，时，，时，， ∴也是最小值．无最大值． 作出的图象，和直线，如图， 当或时，有一个根，当时，有三个根． 故选：D． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解． 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 有两排座位，前排10个座位，后排10个座位，现安排2人就座，规定前排中间的两个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是___________ 【答案】276 【解析】 分析】分情况讨论，结合分类计数原理可得答案. 【详解】分为下列三类情况： 第一类：两人分别坐前后两排，共有种； 第二类：两人都坐后排，共有种； 第三类：两人都坐前排，共有三种情况，分坐左右4个座位有32种；都坐左边4个座位有6种；都坐右边4个座位也有6种；共有种； 由分类加法计数原理可得，共有种. 故答案为：276 13. 某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有____种． 【答案】 【解析】 【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果. 【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法； 接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法. 由间接法可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 14. 将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________. 【答案】 【解析】 【分析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可. 【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为， 则①， ②， 由①-②得： ， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用常见数列的通项公式和求和知识求解. 四、解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性. 【答案】（1） （2）在上的单调递减. 【解析】 【分析】（1）先对求导，再将代入到函数可求出，进而求出的解析式； （2）先对求导，当时，，，所以恒成立，即可得出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 则，所以， 所以. 【小问2详解】 ， 当时，，， 所以恒成立， 所以在上的单调递减. 16. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. （1）求值; （2）已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断的单调性，结合的最小值为，求出，并求出最大值. 【小问1详解】 由已知，得， 由题知，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 的变化情况如表所示： 1 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 ，，， 即在区间上的最大值为1. 17. 设数列的前n项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系即可求出数列的通项公式 （2），利用裂项相消法即可求出数列的和. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，，， 即，即， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以 . 18. 名男生和名女生站成一排． （1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ （2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ （3）男、女分别排在一起的站法有多少种？ （4）男、女相间的站法有多少种？ （5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 （4）种 （5）种 【解析】 【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解； （2）按有特殊位置元素的排列方法求解； （3）按捆绑法排列即可； （4）按插空法排列即可； （5）按部分均匀的排列方法求解即可. 【小问1详解】 先排甲有种，其余有种， 共有种排法. 【小问2详解】 先排甲、乙，再排其余人， 共有种排法. 【小问3详解】 把男生和女生分别看成一个元素， 男生和女生内部还有一个全排列，共种. 【小问4详解】 先排名男生有种方法， 再将名女生插在男生形成的个空上有种方法， 故共有种排法. 【小问5详解】 人共有种排法， 其中甲、乙、丙三人有种排法， 因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法， 故共有种排法． 19 已知函数，. （1）讨论的单调性并求极值. （2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，然后可得单调性和极值； （2），然后求出当时的单调性，要使函数在内有两个不同的零点，则有，解出，然后证明即可. 【小问1详解】 因为在上单调递增， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，， 所以当或时，在上单调，至多只有一个零点，不满足题意， 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以要使函数在内有两个不同的零点，则有， 由可得，下面证明当时， 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以当时， 综上：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$